一類具有階段結(jié)構(gòu)的時滯捕食系統(tǒng)的周期解*

畢殿杰，陳 濤

（安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030）

引言

對捕食系統(tǒng)模型的研究目前已經(jīng)有很多的研究成果［1～5］.這些模型都是假設(shè)捕食者對食餌具有相同的捕食能力.顯然，這種假設(shè)和實際情況是不相符的，因為在自然界中的大多數(shù)種群都經(jīng)歷從幼體到成年的一個成長過程.因此，研究具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)模型更具有現(xiàn)實意義并且取得了一定的研究成果［6～9］.文獻(xiàn)［6］研究了如下具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)模型:

其中，x（t）為t時刻食餌的密度，y1（t）和y2（t）分別為t時刻幼年捕食者和成年捕食者的密度.a，a1，b，d，d1，d2，r，α與β均為正常數(shù)，均具有不同的生態(tài)含義.考慮到捕食者的狩獵時間，基于系統(tǒng)（1）將狩獵時滯引入得的如下捕食系統(tǒng)模型:

式中:常數(shù)τ≥0表示捕食者的狩獵時滯.

1 共存平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分叉的存在性

所以，我們有下面的結(jié)果.

定理1 如果條件（H2）、（H3）和（H4）成立，那么

（i）當(dāng) τ∈［0，τ0）時，系統(tǒng)（2）的正平衡點E*（x*，y1*，y2*）是局部漸近穩(wěn)定的;

（ii）當(dāng) τ＞τ0時，系統(tǒng)（2）的正平衡點E*（x*，y1*，y2*）是不穩(wěn)定的;

（iii）當(dāng)τ=τ0時，系統(tǒng)（2）在正平衡點E*（x*，y1*，y2*）處產(chǎn)生Hopf分叉.

2 Hopf分叉方向和分叉周期解穩(wěn)定性

令τ=τ0+μ，μ∈R，則系統(tǒng)（2）在μ =0處產(chǎn)生Hopf分叉.再作變換s→t/τ，仍然記s=t，系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)換為如下等價系統(tǒng):

通過以上分析，有如下結(jié)果:

定理2 對于系統(tǒng)（2）

（i）μ2取值決定分叉方向:如果μ2＞0（μ2＜0），則分叉方向是超臨界的 （次臨界的）.

（ii）β2決定分叉周期解的穩(wěn)定性:如果β2＜0（β2＞0），則分叉周期解是穩(wěn)定的（不穩(wěn)定）.

（iii）分叉周期解的周期大小由T2決定:如果T2＜0（T2＞0），則分叉周期減小（增大）.

3 仿真實例

令 r=3.5，a=0.01，a1=0.5，b=1.2，α =0.2，β =10，d=0.4，d1=0.8，d2=0.45，我們得到系統(tǒng)（2）的一個實例系統(tǒng):

顯然，a1-ar=0.465 0＞0，即系統(tǒng)（13）滿足條件（H1）:a1-ar≥0.系統(tǒng)（13）存在唯一正平衡點E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）.經(jīng)過計算得到 ω0=2.701 5，τ0=0.536 6，λ＇（τ0）=1.009 2-0.307 0i.根據(jù)定理1可知，當(dāng)τ∈［0，0.536 6）時，系統(tǒng)（13）的正平衡點E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）是漸近穩(wěn)定的，如圖1 所示.當(dāng) τ＞ 0.536 6時，系統(tǒng)（13）的正平衡點E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）是不穩(wěn)定的，如圖2所示.另外，根據(jù)式（12）計算得到 C1（0）=-1.794 4+2.938 0i，μ2=1.778 0 ＞ 0，β2=-3.588 8 ＜ 0，T2=-1.650 2 ＜0.所以由定理2 可知，系統(tǒng)（13）在正平衡點 E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）的 Hopf分叉方向是超臨界的，分叉周期解是穩(wěn)定的.

圖1 E*漸近穩(wěn)定

圖2 E*是不穩(wěn)定的

4 結(jié)論

本次研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)的時滯捕食系統(tǒng)模型.以成年捕食者的狩獵時滯為參數(shù)，分析了系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定和局部Hopf分叉的存在性.結(jié)果表明，當(dāng)成年捕食者的狩獵時滯足夠小（τ∈［0，τ0）），系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的.一旦成年捕食者的狩獵時滯超越臨界值τ0，系統(tǒng)將失去穩(wěn)定性，并在臨界值τ0處產(chǎn)生Hopf分叉周期解.接著，對分叉周期解的性質(zhì)進行了分析，利用規(guī)范型理論和中心流形定理確定了分叉方向和周期解穩(wěn)定性的計算公式.從生態(tài)學(xué)的角度來說，如果分叉周期解是穩(wěn)定的，捕食系統(tǒng)（2）中的種群以周期振蕩形式共存.從仿真實例可以看出，在一定條件下，系統(tǒng)（2）中的種群將以周期振蕩形式共存.

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