mBBM方程的含橢圓函數形式的精確解*

劉轉玲

（蘭州商學院信息工程學院，甘肅蘭州 730020）

引言

非線性偏微分方程是數學的一個非常重要的分支，常被用來描述過程控制、生態系統、經濟系統、化學循環系統和流行病學等問題.非線性偏微分方程描述上述問題能充分考慮到時間、空間、時間延遲及其他因素，所以更準確地反映了現實情況.

Benjamin －Bona－ Mahony 在水波研究中提出了 BBM 方程［1，2］，之后發展為 mBBM［3］方程，這個方程是弱非線性色散介質中長波單向傳播的重要模型，因而，對于mBBM方程的深入研究［4］，特別是對于有效地數值計算方法的研究，具有重要的理論和現實意義.

本文的目的是應用Painlevé直接截斷法對mBBM方程的精確求解作深入的探討.

1 直接截斷方法簡解

Painlevé直接截斷方法［5，6］是將Painlevé檢驗中的Laurent級數做有限截斷，其中假定奇性流形函數是具有某種特定的性質，最后，偏微分方程的精確解是通過確定截斷級數的系數來確定.這一方法簡潔直接，在一定范圍內具有相當的普適性.Painlevé直接截斷方法簡述如下.

對于給定的偏微分方程:

式中U（x，t）是一個關于x，t的多項式.假設方程（1）具有

2 橢圓函數的性質

如果f（ξ）和g（ξ）滿足以下橢圓函數的條件:

3 mBBM方程的含橢圓函數形式的精確解

4 結論

運用Painlevé直接截斷法，不僅可以求出mBBM方程的其他一些不同形式的精確解，也可求出其他一些偏微分方程的精確解.

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