細菌群體趨藥性算法在多元非線性回歸分析中的應用

王雪紅 劉曉青

（河海大學水利水電工程學院，南京 210098）

在實際生產、生活以及科學研究中為了及時、準確、全面、系統地掌握事物的性態及發展趨勢，需要對觀測得到的數據按照科學的理論和方法進行分析統計、回歸預測等.

隨著科技水平的提高，根據實測數據進行分析的理論、方法得到了較大的發展并已應用于工程實際中.最小二乘法容易通過計算機的簡單程序實現，程序已經模塊化，用戶使用起來比較方便，對工程觀測資料的分析多采用最小二乘法.但由于最小二乘法在求解時需要對估計目標函數求導，過程比較繁瑣，還要求優化模型具有連續、可導的性能，因而對于非線性問題，可能遇到函數不可導的情況而難以找到全局最優解.近年來，BP人工神經網絡（BP－ANNs）［7］、遺傳算法（GA）［10］、群體智能算法如：蟻群算法（ACO）［8］、粒子群算法（PSO）［9］、人工魚群算法（AFSA）［11］、人工蜂群算法（ABC）［3］等一些新興的智能算法在求解多元回歸問題中得到越來越普遍的應用，但是這些智能算法在應用中會出現易陷入局部最優、早熟、收斂速度慢、穩定性差等問題，不少學者試圖通過算法的混合來提高計算性能并取得了一定的效果.

細菌群體趨藥性算法是一種考慮單個細菌活動和細菌之間關系的混合算法，其優化速度和精度超過了其他一些常見的群體優化算法［1］.細菌群體趨藥性算法源于細菌趨藥性算法，早期細菌趨藥性算法的研究是基于Berg、Brown和Dahlquist提出的細菌趨藥性微觀模型，Sibvue D.Muller及其同事們在此基礎上進一步綜合，并且結合最新的生物學研究成果提出了細菌趨藥性算法（Bacterial Chemotaxis，BC）［6］；國內最先研究該算法的浙江大學李威武等［1］通過研究模擬細菌個體間的信息傳遞與共享機制，在基本BC算法的基礎上引入了群體交互概念，從而提出了細菌群體趨藥性算法，它極大地提高了細菌趨藥性算法的優化能力，且優化速度和精度較好.本文利用細菌趨藥性算法進行多元非線性回歸分析并將其應用到混凝土重力壩位移的監測中，為解決混凝土壩監測中的回歸問題提供了一種新方法.

1 多元回歸數學模型

1.1 多元線性回歸的數學模型

假如變量y與另外p個變量x1，x2，…，xp的內在聯系是線性的，它的第k試驗數據是（xk1，xk2，…，xkm，yk），k＝1，2，…，N，則數據有如下的結構形式：

式中，β0，β1，…，βm是m＋1個待估計參數；x1，x2，…，xm是m個觀測或可以確定的一般變量；ε1，ε2，…，εn是n個相對獨立且服從同一正態分布N（0，σ2）的隨機變量.

若令

則數學模型可以寫成：

其中，ε是n維隨機變量，它的分量是相互獨立的.

1.2 多元非線性回歸的數學模型

非線性回歸模型的一般形式為

式中，xi為系統輸入量，yi為系統輸出變量，θ＝［θ1，θ2，…，θk］T為待定參數向量，e為服從正態分布的隨機變量，（xi，yi）是已知數據對，i＝1，…，n.該非線性回歸數學模型的求解就是根據已知數據對求解向量θ，求解偏差平方和使

最小，非線性回歸模型參數優化問題實質就是非線性函數優化問題［2］.

2 細菌群體趨藥性算法（BCC）

2.1 算法的基本原理

BC算法是從生物行為中獲取靈感的方法，很多學者對生物體對自身環境的反應進行了研究［3－4］.假定細菌的軌跡是由一系列直線組成的，細菌運動速度一樣；細菌改變運動方向時，向左或向右的概率相同；細菌在各段軌跡上移動時間和各段軌跡間的夾角都由概率分布決定；夾角和時間的概率分布和先前軌跡的參數無關.BCC是在BC的基礎上提出來的，假定細菌在引誘劑環境中通過一些簡單的假設方式進行通信.細菌不僅使用自己的運動位置信息也利用其他細菌的位置信息進行函數優化［1］.

2.2 算法的計算步驟

BCC算法應用于多維函數優化的步驟：

T0為最小平均移動時間、tc為相關時間、b為與維數無關的參數［6］.

1）計算細菌的移動速度v.通常假定其為常數1；

2）計算細菌在新方向上的移動時間t.其數值由概率分布決定：

式中，T0為最小平均移動時間，fpr為當前點和上一個點的函數值的差，1pr為變量空間中連接當前點和上一個點的向量的模.

3）計算新的運動方向.新方向通過在平面（xi，xi＋1）上的φi使用高斯概率密度分布來計算，其中φi從坐標軸xi測量，用來判斷向左或向右轉，分別為

其中，φi∈［0°，180°］

向左或向右采用同樣的概率密度分布，因而φi的概率密度分布為

細菌在每次移動到新位置之前，要感知它周圍的環境，試探旁邊是否有其他位置更好的細菌.如果有，那么它有可能趨向移動到這些擁有較好位置細菌的中心點.在移動步數為k時細菌i附近有更好位置的同伴的中心點由下式決定：

rand（0，2）指（0，2）之間的隨機數.

3 細菌群體趨藥性算法在回歸分析中的實現

為了驗證細菌趨藥性算法在回歸分析中應用的可行性，以混凝土重力壩位移模型為研究對象，取溢流壩段壩頂某部位測點2010年1月10日～2012年8月5日（每天觀測一次）順河向位移、水位、溫度、時間數據各142個.由于篇幅有限各數據不一一列出，僅給出某測點順河向位移及上游庫水位隨時間變化過程線，如圖1所示.

圖1 某測點順河向位移及上游庫水位隨時間變化過程線

回歸的實質就是使ffitness＝∑（δ－＾δ）2趨近于0，其中δ為實測值；＾δ為預報值.

做回歸分析之前根據3σ原則提出數據中的奇異點，首先將多項式＾δ中的每一項中的已知值計算出來，轉化為線性模型的形式，使用matlab中的lsqcurvefit進行多元非線性回歸分析；然后，采用BCC算法優化該回歸分析問題中的未知參數及∑（δ－＾δ）2，選取最大迭代步數500、細菌個數50，各參數的初始取值范圍參考利用最小二乘法得到的參數取值區間，所得結果見表1.最小二乘法和BCC算法所得到的復相關系數都比較大，可用于短期內位移的預報分析.

表1 回歸模型參數及復相關系數表

由表1可以看出，利用BCC算法所得參數與最小二乘法所得參數基本一致，說明該算法在優化多元函數回歸參數問題中是可行的、有效的，參數值也較穩定.另外，最小二乘法和BCC算法得到的∑（δ－＾δ）2分別為6.514 1、6.246 7，即BCC算法得到的∑（δ－＾δ）2較小.使用Matlab2012a進行運算，最小二乘法的系統響應時間為6.482 8s，BCC算法的系統響應時間為5.064 7s，在相同樣本數條件下，基于BCC算法回歸分析的系統響應時間小于基于最小二乘算法回歸分析系統響應時間.

4 結 論

細菌群體趨藥性算法采用了細菌群體交互模式，各細菌的移動步長按照概率分布隨機取值，具有突破局部最值限制的尋優機制，因而大大提高了細菌的全局尋優性能且具有很好的收斂速度和計算精度，具有極大的研究發展潛力.

本文利用細菌群體趨藥性算法進行回歸分析，雖然模型采用參數個數、數據較多，且各組數據具有一定的隨機性，但也取得了相對滿意的結果且比最小二乘法計算得到的觀測值和預報值之間的誤差平方和∑（δ－＾δ）2小，且基于BCC算法回歸分析的系統響應時間小于基于最小二乘算法回歸分析系統響應時間.說明了BCC算法應用于回歸模型參數估計是可行的，效果也較傳統的最小二乘法好，從而為回歸分析提供了一種新思路.另外，對細菌群體趨藥性算法采取一定的改進策略來提高尋優速率，可使其更好地應用于生產生活中.

［1］ 李威武，王 慧，鄒志君，等.基于細菌群體趨藥性的函數優化方法［J］.電路與系統學報，2005，10（1）：58－63.

［2］ 陸克中，方康年.PSO算法在非線性回歸模型參數估計中的應用［J］.計算機技術與發展，2008，18（12）：134－136.

［3］ 張姣玲.人工蜂群算法在多元線性回歸中的應用［J］.廣東技術師范學院學報：自然科學，2011（3）：31－33.

［4］ Dorigo Marco，Maniezzo Vittorio，Colorni Alberto.Ant System：Optimization by a Colony of Cooperating A－gents［J］.IEEE Transaction on SMC，Part B，1996，26（1）：29－41.

［5］ 吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］ Muller S D，J.Airaghi Marchetto S，Koumoutsakos P.Optimization Based on Bacterial Chemotaxis［J］.IEEE Transaction of Evolutionary Computation，2002，6（1）：16－29.

［7］ 辛大欣，王長元，肖 峰.BP神經網絡在回歸分析中的應用研究［J］.西安工業學院學報，2002，22（2）：129－35.

［8］ 吳新杰，陶崇娥，李 媛.混沌蟻群算法在回歸分析中的應用［J］.遼寧大學學報：自然科學版，2007，34（2）：101－103.

［9］ 劉錦萍，郁金祥.基于改進的粒子群算法的多元線性回歸模型參數估計［J］.計算機工程與科學，2010，32（4）：104－105.

［10］郭朝有，賀 國，陳國鈞.遺傳算法在非線性回歸模型辨識中的應用［J］.海軍工程大學學報，2003，15（2）：70－73.

［11］李 媛.基于人工魚群算法的多元線性回歸分析問題處理［J］.渤海大學學報：自然科學版，2011，32（2）：168－171.