用mixed模型解決單因素方差分析中方差不齊時的隨機模擬及SAS實現*

復旦大學公共衛生學院衛生統計與社會醫學教研室公共安全教育部重點實驗室（200032） 肖林海 趙耐青

用mixed模型解決單因素方差分析中方差不齊時的隨機模擬及SAS實現*

復旦大學公共衛生學院衛生統計與社會醫學教研室公共安全教育部重點實驗室（200032） 肖林海 趙耐青△

目的用m ixed模型處理完全隨機設計的三組資料方差不齊時的I類錯誤率和對各組總體均值的估計，并與Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA方法比較檢驗的把握度。方法利用SAS9.3產生模擬數據，并分別用proc mixed過程、proc npar1way過程和proc glm過程進行m ixed模型參數估計、Kruskal-Wallis秩和檢驗和one-way ANOVA分析。模擬試驗重復1000次。結果方差不齊時，對不均衡資料，m ixed法的檢驗把握度要高于Kruskal-Wallis秩和檢驗和one-way ANOVA法。對均衡資料，三種方法的檢驗效能接近，但后兩者的Power受方差不齊的影響較大。結論研究設計時盡量使各組樣本均衡或接近則三種方法的I類錯誤率最小，Power達到最大。對不均衡資料方差不齊時，m ixed法的檢驗把握度要高于Kruskal-Wallis秩和檢驗和one-way ANOVA法，且其I類錯誤率能得到控制。

方差不齊 mixed模型 Kruskal-Wallis秩和檢驗 把握度

在一般的醫學統計教科書中，當各組資料滿足獨立、正態和方差齊性時采用的是方差分析；當資料不服從正態分布或組間方差不齊時，通常考慮非參數的檢驗方法，如Kruskal-Wallis秩和檢驗（以下簡稱K-W法）。

本文的研究是基于完全隨機設計的三組資料進行均數間差異的比較，在滿足了各組資料相互獨立、服從正態分布的條件下，考慮方差不齊時用mixed方法分析，并綜合考慮樣本量對I類錯誤發生率的影響，及與Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法比較檢驗的把握度。

研究方法

1.m ixed模型［1］

依據背景，所采用的統計分析模型如下：

yij＝μ＋τi＋εij，其中i＝1，2，3，表示組別；j＝1，2，…，ni，表示各組第j個體，每組對應有ni個體；yij表示第i組第j個體的觀測值，μ表示總體均數，τi表示第i組總體均數與第3組總體均數的差異（i＝1，2，τ3＝0），εij表示第i組第j個體的觀測誤差，則εij～N表示第i組的總體方差。

在SAS9.3中，利用procm ixed［2］過程即可進行編程分析，所用程序如下：

2.模擬研究

利用SAS9.3產生服從正態分布的模擬數據，分別采用mixed模型、Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法進行分析，并考慮在樣本量均衡和各組樣本量不等的情況下，該mixed法的I類錯誤率和檢驗效能，并與Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法作比較。

為便于模擬，本研究擬將樣本量設定為n1＝n2＝n，以n∶n3分別為1∶1，1∶2，1∶3，1∶4和1∶5進行模擬，各組總體方差亦按照兩種情境進行模擬。重復模擬試驗1000次。

模擬結果

1.總體方差相同時，mixed方法的Ⅰ類錯誤發生率

參數的設定：各組總體均值設為μ1＝μ2＝μ3＝20，對應mixed模型中的τ1＝τ2＝0。各組總體標準差設為σ1＝σ2＝σ3＝1。各組樣本量的設置及相應模擬結果見表1。

表1 總體方差相同時，樣本量對I類錯誤率的影響（檢驗水準α＝0.05）

由表1中結果可以看出，樣本量均衡時，三種方法的Ⅰ類錯誤率均很低，而隨著組間樣本量差異變大，則檢驗的Ⅰ類錯誤率均增高，當n∶n3≤1∶4時，Ⅰ類錯誤率無法控制。由此結果也可以看出，當各組總體方差相同時，ANOVA法相對Kruskal-Wallis秩和檢驗的I類錯誤率稍低，而m ixed法的一類錯誤率較高，因此組間總體方差相同且資料不均衡時，mixed方法不是最優的。

2.總體方差相同時，m ixed方法的檢驗效能［3］

參數的設定：各組總體均值設為μ1＝20，μ2＝21，μ3＝22，對應mixed模型中的τ1＝-2，τ2＝-1。各組總體標準差設為σ1＝σ2＝σ3＝1。各組樣本量的設置及模擬結果見表2。

表2 總體方差相同時，樣本量對檢驗效能的影響（檢驗水準α＝0.05）

由表2結果可知，總體方差相同時，三種方法的檢驗效能均較高，且即使各組間樣本量的不均衡性增大，三種方法的把握度并沒有顯著變化。

綜上，由表1和表2的結果可知，各組總體方差相同時，用mixed法、ANOVA法和Kruskal-Wallis秩和檢驗進行各組總體均數的比較時，三種方法的檢驗效能都很高，但組間樣本量不均衡時，m ixed法的Ⅰ類錯誤率較高，ANOVA法最低。因此各組總體方差相同時，應優先考慮ANOVA法，而不建議采用mixed法。

3.總體方差不同時，mixed方法的Ⅰ類錯誤率

各組總體均值設為μ1＝μ2＝μ3＝20，各組總體標準差分別為σ1＝σ2＜σ3和σ1＜σ2＜σ3的情景進行模擬。各組樣本量和參數的設置及相應模擬結果見表3

由表3結果可以看出，樣本量均衡時，三種方法的Ⅰ類錯誤率均很低，但隨著組間方差差異的增大，I類錯誤率有所增高。組間樣本量不均衡時，mixed法檢驗的I類錯誤率最高，但都在可控制的范圍內。而對不均衡資料，固定各組樣本量，各組總體方差差異增大時，三種方法的I類錯誤率略有降低。

表3 總體方差不同時，樣本量和方差不齊對I類錯誤率的影響（檢驗水準α＝0.05）

4.總體方差不同時，m ixed方法的把握度

設定各組總體均值分別為μ1＝20，μ2＝21，μ3＝22。各組樣本量和參數的設置及相應模擬結果見表4。

表4 總體方差不同時，樣本量和方差不齊對把握度的影響（檢驗水準α＝0.05）

由表4結果可以看出，在樣本量均衡時，不管方差的差異性如何，三種方法的Power接近，但方差的差異性越明顯，則三種方法的Power均顯著下降。而資料不均衡時，在方差的差異性較小時，三種方法的把握度均較高，但mixed法的檢驗效能要高于Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法，當方差的差異性增大時，m ixed法的檢驗效能略有下降，而Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法的檢驗效能下降明顯。

結論和討論

基于以上各種情境的模擬結果，本研究可以得到如下結論：

1.不管采用何種統計分析方法，研究設計階段盡量使各組樣本量均衡，才可使統計分析的I類錯誤率降低和把握度達到最大。

2.當各組樣本不均衡時，統計分析的把握度會降低，并且Ⅰ類錯誤率增高。在本研究中，如表1示，當n∶n3＝1∶4時，三種方法的Ⅰ類錯誤率已超過0.05。因此，即使樣本不均衡，考慮到統計檢驗的I類錯誤率和把握度，也應將樣本量的差異控制在一定范圍。

3.對各組樣本不均衡資料，mixed方法的檢驗效能要高于Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法，尤其在方差不齊時，mixed方法的檢驗效能顯著高于后兩者。當組間方差差異增大時，如本例由其中兩組方差相同到三組方差均不同時，m ixed方法檢驗的把握度僅略有下降，而Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法的把握度下降明顯，說明不均衡資料固定各組樣本量后，mixed方法的把握度受方差不齊的影響較小，而秩和檢驗和ANOVA法對方差不齊的變化較為敏感。

綜上，各組總體方差相等時，對不均衡資料的完全隨機設計，mixed方法的Ⅰ類錯誤率高于Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法而無法控制。因此在各組總體方差相等時，不建議采用m ixed方法，而建議采用ANOVA法。

各組總體方差不齊時，mixed法的Ⅰ類錯誤率較低，且mixed法的把握度受各組方差不齊程度的變化不敏感，而Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法受方差不齊的影響較大。另外，m ixed法還能給出各組總體均值和總體方差的估計，相對于Kruskal-Wallis秩和檢驗和ANOVA法有著明顯的優勢。但是，當各組樣本量相差較大時，mixed法的Ⅰ類錯誤率增大，因此試驗設計時應盡量使各組樣本均衡。

1.Brown HAPR.Applied M ixed Models in Medicine.New York：John W iley＆Sons，1999.

2.SAS Institute Inc.2011.Base SAS?9.3 Procedures Guide.Cary，NC：SAS Institute Inc.

3.姚嵩坡，劉盛元，王濱有.假設檢驗中檢驗效能的計算及SAS實現.中國衛生統計，2010，27（4）：434-436.

（責任編輯：劉 壯）

*：國家自然科學基金（81273187）

△通信作者：趙耐青