二次函數在高中數學中的應用淺探

謝永香

筆者通過對近三年高考試題的統計分析，發現有以下的命題規律.

1.考查熱點：二次函數的性質及應用，尤其是“三個二次”的綜合應用，常與數形結合和等價轉化思想聯系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現.

3.考查角度：一是以二次函數的圖像為載體，利用數形結合的思想，解決二次函數的單調區間，最值問題及與此相關的參數范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數、二次方程及二次不等式的關系，其中以二次函數為核心，通過二次函數的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢：與其他初等函數復合在一起考查函數性質.因三次函數的導數為二次函數，所以與導數結合在一起也是高考的命題方向.

一、進一步深入理解函數概念

學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，特別是以二次函數為例來更深刻地認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數的圖像、單調性及最值

在高中階段學習二次函數的性質時，必須讓學生加深對二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對稱軸以及定義域和值域的理解，在區間（-∞，-上的單調性用定義進行嚴格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并求出函數的單調區間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系.掌握把含有絕對值符號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動區間上的最值問題）設f（x）=2x2-x-1在區間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達式.

變式訓練：已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時有最大值2，求a的值.

（1）（動軸定區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：函數的對稱軸為x=-a，當-5<-a<5時，則f（-a）≥0；當-a≥5時，則f（5）≥0；當-a≤-5時，f（-5）≥0.該題主要考二次函數的單調性及數形結合的思想方法.

（2）（動軸動區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

分析：分類討論，結合函數圖像，利用函數單調性解決函數的最小值問題.（解答過程省略）

若函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，求a的取值范圍；

若函數f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區間（1，4）內函數f（x）的單調性.

分析：該題主要涉及二次函數的單調性及最值問題.同時也考查了導數中的基本性質及導數與二次函數的結合.

三、與二次函數緊密相關的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實數a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實數a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區域，另一種是兩根在不同區域，運用數形結合來解決，要考慮到對稱軸、判別式以及x=1的函數值的符號等.endprint

筆者通過對近三年高考試題的統計分析，發現有以下的命題規律.

1.考查熱點：二次函數的性質及應用，尤其是“三個二次”的綜合應用，常與數形結合和等價轉化思想聯系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現.

3.考查角度：一是以二次函數的圖像為載體，利用數形結合的思想，解決二次函數的單調區間，最值問題及與此相關的參數范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數、二次方程及二次不等式的關系，其中以二次函數為核心，通過二次函數的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢：與其他初等函數復合在一起考查函數性質.因三次函數的導數為二次函數，所以與導數結合在一起也是高考的命題方向.

一、進一步深入理解函數概念

學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，特別是以二次函數為例來更深刻地認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數的圖像、單調性及最值

在高中階段學習二次函數的性質時，必須讓學生加深對二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對稱軸以及定義域和值域的理解，在區間（-∞，-上的單調性用定義進行嚴格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并求出函數的單調區間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系.掌握把含有絕對值符號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動區間上的最值問題）設f（x）=2x2-x-1在區間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達式.

變式訓練：已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時有最大值2，求a的值.

（1）（動軸定區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：函數的對稱軸為x=-a，當-5<-a<5時，則f（-a）≥0；當-a≥5時，則f（5）≥0；當-a≤-5時，f（-5）≥0.該題主要考二次函數的單調性及數形結合的思想方法.

（2）（動軸動區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

分析：分類討論，結合函數圖像，利用函數單調性解決函數的最小值問題.（解答過程省略）

若函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，求a的取值范圍；

若函數f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區間（1，4）內函數f（x）的單調性.

分析：該題主要涉及二次函數的單調性及最值問題.同時也考查了導數中的基本性質及導數與二次函數的結合.

三、與二次函數緊密相關的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實數a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實數a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區域，另一種是兩根在不同區域，運用數形結合來解決，要考慮到對稱軸、判別式以及x=1的函數值的符號等.endprint

筆者通過對近三年高考試題的統計分析，發現有以下的命題規律.

1.考查熱點：二次函數的性質及應用，尤其是“三個二次”的綜合應用，常與數形結合和等價轉化思想聯系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現.

3.考查角度：一是以二次函數的圖像為載體，利用數形結合的思想，解決二次函數的單調區間，最值問題及與此相關的參數范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數、二次方程及二次不等式的關系，其中以二次函數為核心，通過二次函數的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢：與其他初等函數復合在一起考查函數性質.因三次函數的導數為二次函數，所以與導數結合在一起也是高考的命題方向.

一、進一步深入理解函數概念

學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，特別是以二次函數為例來更深刻地認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數的圖像、單調性及最值

在高中階段學習二次函數的性質時，必須讓學生加深對二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對稱軸以及定義域和值域的理解，在區間（-∞，-上的單調性用定義進行嚴格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并求出函數的單調區間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系.掌握把含有絕對值符號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動區間上的最值問題）設f（x）=2x2-x-1在區間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達式.

變式訓練：已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時有最大值2，求a的值.

（1）（動軸定區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：函數的對稱軸為x=-a，當-5<-a<5時，則f（-a）≥0；當-a≥5時，則f（5）≥0；當-a≤-5時，f（-5）≥0.該題主要考二次函數的單調性及數形結合的思想方法.

（2）（動軸動區間上的最值問題）已知函數f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

分析：分類討論，結合函數圖像，利用函數單調性解決函數的最小值問題.（解答過程省略）

若函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，求a的取值范圍；

若函數f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區間（1，4）內函數f（x）的單調性.

分析：該題主要涉及二次函數的單調性及最值問題.同時也考查了導數中的基本性質及導數與二次函數的結合.

三、與二次函數緊密相關的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實數a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實數a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區域，另一種是兩根在不同區域，運用數形結合來解決，要考慮到對稱軸、判別式以及x=1的函數值的符號等.endprint