淺談幾何概型的測度

韋克琳

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測度.

教材關于幾何概型的定義的本質內涵：設D是一個可度量的區域（如線段（或圓弧），平面圖形，立體圖形等）.每個基本事件可視為從區域內D隨機地取一點，區域D內的每個點被取到的可能性都一樣；隨機事件A的發生可視為恰好取到區域D內的某個指定區域d中的點.那么事件A發生的概率與d的測度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關.因此上述公式也可表示為P（A）=

關于公式中的測度應該這樣去理解：（1）測度是一個由等可能的點組成的區域D，這個區域可以是線段（或圓弧），平面圖形或立體圖形等.（2）隨機事件A的發生所取到的區域d的測度與區域D的測度一致，且由D的測度確定.（3）區域D是可以度量的，度量的帶有單位的結果就是該區域的測度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關于這兩個問題的解答，前者學生是容易理解的，但后者學生就難以接受了.原因是同是AB上的點M，為什么前者能用長度作為測度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個問題上引導學生進行認真的分析和探究，厘清它們的本質區別，實現教學的有效突破.

我們發現，例1中的點M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測度是正確的.但例2卻不是，點M的取得是在角內作射線（其實是在角內作角）與AB相交而得，因此，應當用角度作為測度才能保證在角內作射線實現“等可能”.

所謂等可能是指每一個對象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點M與在AB上取點M不是一回事.在AB上取點是任意的，故每個點被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點的變化，因此這交點在AB上未必是等可能出現的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個角度轉換為長度的等價轉換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當射線CQ由CA勻速運動到CQ，再勻速運動到CN時，這角度（或弧）的變化是均勻相等的，但與邊AB的交點P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據以上的分析我們不難看到，對于一個幾何概型的一個幾何量能否作為測度，關建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對以上關于測度的分析與思考進行總結，可以得到關于測度的一些性質：

（1）測度是多樣的（它可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測度是可求的（相應圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測度是可轉換的（其轉換必須是等可能的等價轉換）.endprint

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測度.

教材關于幾何概型的定義的本質內涵：設D是一個可度量的區域（如線段（或圓弧），平面圖形，立體圖形等）.每個基本事件可視為從區域內D隨機地取一點，區域D內的每個點被取到的可能性都一樣；隨機事件A的發生可視為恰好取到區域D內的某個指定區域d中的點.那么事件A發生的概率與d的測度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關.因此上述公式也可表示為P（A）=

關于公式中的測度應該這樣去理解：（1）測度是一個由等可能的點組成的區域D，這個區域可以是線段（或圓弧），平面圖形或立體圖形等.（2）隨機事件A的發生所取到的區域d的測度與區域D的測度一致，且由D的測度確定.（3）區域D是可以度量的，度量的帶有單位的結果就是該區域的測度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關于這兩個問題的解答，前者學生是容易理解的，但后者學生就難以接受了.原因是同是AB上的點M，為什么前者能用長度作為測度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個問題上引導學生進行認真的分析和探究，厘清它們的本質區別，實現教學的有效突破.

我們發現，例1中的點M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測度是正確的.但例2卻不是，點M的取得是在角內作射線（其實是在角內作角）與AB相交而得，因此，應當用角度作為測度才能保證在角內作射線實現“等可能”.

所謂等可能是指每一個對象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點M與在AB上取點M不是一回事.在AB上取點是任意的，故每個點被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點的變化，因此這交點在AB上未必是等可能出現的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個角度轉換為長度的等價轉換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當射線CQ由CA勻速運動到CQ，再勻速運動到CN時，這角度（或弧）的變化是均勻相等的，但與邊AB的交點P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據以上的分析我們不難看到，對于一個幾何概型的一個幾何量能否作為測度，關建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對以上關于測度的分析與思考進行總結，可以得到關于測度的一些性質：

（1）測度是多樣的（它可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測度是可求的（相應圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測度是可轉換的（其轉換必須是等可能的等價轉換）.endprint

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測度.

教材關于幾何概型的定義的本質內涵：設D是一個可度量的區域（如線段（或圓弧），平面圖形，立體圖形等）.每個基本事件可視為從區域內D隨機地取一點，區域D內的每個點被取到的可能性都一樣；隨機事件A的發生可視為恰好取到區域D內的某個指定區域d中的點.那么事件A發生的概率與d的測度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關.因此上述公式也可表示為P（A）=

關于公式中的測度應該這樣去理解：（1）測度是一個由等可能的點組成的區域D，這個區域可以是線段（或圓弧），平面圖形或立體圖形等.（2）隨機事件A的發生所取到的區域d的測度與區域D的測度一致，且由D的測度確定.（3）區域D是可以度量的，度量的帶有單位的結果就是該區域的測度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關于這兩個問題的解答，前者學生是容易理解的，但后者學生就難以接受了.原因是同是AB上的點M，為什么前者能用長度作為測度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個問題上引導學生進行認真的分析和探究，厘清它們的本質區別，實現教學的有效突破.

我們發現，例1中的點M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測度是正確的.但例2卻不是，點M的取得是在角內作射線（其實是在角內作角）與AB相交而得，因此，應當用角度作為測度才能保證在角內作射線實現“等可能”.

所謂等可能是指每一個對象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點M與在AB上取點M不是一回事.在AB上取點是任意的，故每個點被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點的變化，因此這交點在AB上未必是等可能出現的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個角度轉換為長度的等價轉換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當射線CQ由CA勻速運動到CQ，再勻速運動到CN時，這角度（或弧）的變化是均勻相等的，但與邊AB的交點P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據以上的分析我們不難看到，對于一個幾何概型的一個幾何量能否作為測度，關建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對以上關于測度的分析與思考進行總結，可以得到關于測度的一些性質：

（1）測度是多樣的（它可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測度是可求的（相應圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測度是可轉換的（其轉換必須是等可能的等價轉換）.endprint