二次函數在高中數學學習中的應用

樊春利

摘要：初中數學教材對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對二次函數的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活運用，因此，我們還要深入學習二次函數。

關鍵詞：二次函數；高中數學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）02-0100

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而f（x）= x2-6x+6

二、二次函數的單調性、最值與圖象

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（-∞，-■]及[-■，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x-1|-1；（2）y=|x2-1| ；（3）y= x2+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ：設f（x）=x2-2x-1在區間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當t>1時，g（t）=f（t）=t2-2t-1

當t<0時，g（t）=f（t+1）=t2-2

g（t）=t2-2，（t<0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2-2t-1，（t>1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

三、二次函數的知識可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X

（Ⅱ）設函數f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0<■ 。

解題思路：

本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x

因為00，又a>0，因此f（x） >0，即f（x）-x>0。至此，證得x

根據韋達定理，有 x1x2=■∵ 0f（0），所以當x∈（0，x1）時f（x）

（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+■）2+（c- ■ ），（a>0）

函數f（x）的圖象的對稱軸為直線x=-■ ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-■，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-■，∵x2-■<0，

∴x0=-■=■（x1+x2-■）<■，即x0=■。

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

（作者單位：廣西來賓市忻城縣高級中學 546200）