完全平方公式在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的作用

陳佩山

摘要：“完全平方公式”是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用最廣泛的公式，是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)公式，在初中階段的教學(xué)中具有重要地位，是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識基礎(chǔ)。運(yùn)用這一公式可以迅速而簡捷地計算出符合公式特征的多項式乘法的結(jié)果，不能亂套公式。特別對于初學(xué)者來說，要通過具體的、學(xué)生易出錯的例子讓學(xué)生正確理解公式中的字母a和b的真正含義。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用；基礎(chǔ)公式；簡捷；正確理解

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）02-0118

“完全平方公式”是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用最廣泛的公式，是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)公式。它在整式乘法、因式分解、分式運(yùn)算及其他代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用。它是構(gòu)建學(xué)生有價值的數(shù)學(xué)知識體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容；它是讓學(xué)生感悟換元思想，感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性的好教材。在初中階段的教學(xué)中具有重要地位。所以對這個公式的教學(xué)要求很高，需要每一名學(xué)生都必須熟練掌握這個公式，從而靈活運(yùn)用公式。但是，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)這個公式后，仍對其來源、形成過程理解不透徹，對其結(jié)構(gòu)形式記憶模糊，并未深刻領(lǐng)悟到公式的本質(zhì)。

作為整式的乘法公式，北師大版教科書把完全平方公式安排在整式的乘除這一章的第六節(jié)，前五節(jié)先讓學(xué)生掌握整式乘法的各項法則，當(dāng)學(xué)生熟練掌握多項式與多項式的乘法后，再讓學(xué)生利用多項式乘法法則計算，從而推導(dǎo)完全平方公式，并由找規(guī)律得出公式的猜想，再通過幾何面積驗證方法來驗證公式猜想的正確性，從而由代數(shù)探究及幾何論證來得出公式。

完全平方公式是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識基礎(chǔ)。重點是對完全平方公式的熟記及應(yīng)用。難點是對公式特征的理解（如對公式中積的一次項系數(shù)的理解）。運(yùn)用這一公式可以迅速而簡捷地計算出符合公式特征的多項式乘法的結(jié)果.但運(yùn)用公式計算一定要看是否符合公式的特征，不能亂套公式。特別對于初學(xué)者來說，要通過具體的、學(xué)生易出錯的例子讓學(xué)生正確理解公式中的字母a和b的真正含義。

在教學(xué)完全平方公式后反思學(xué)生中常見錯誤有：①學(xué)生難于跳出原有的定式思維，如典型（a±b）2=a2±b2錯誤；（錯因：在公式（ab）2=a2b2的基礎(chǔ)上類推，隨意“創(chuàng)造”）②混淆公式（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2；③運(yùn)算結(jié)果中符號錯誤；④變式應(yīng)用對初學(xué)者來說更難于掌握。現(xiàn)結(jié)合教授完全平方公式的實踐經(jīng)驗對完全平方公式作如下解析：

一、概念理解

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

這就是說，兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或者減去）它們的積的2倍，這個公式叫做乘法的完全平方公式。

公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是二項式的完全平方，右邊是三項式。如果左邊二項式各項分別用首項、尾項代表，那么右邊三項可以記作：首平方，尾平方，首尾2倍乘積寫中央；積的符號由二式項系數(shù)符號來確定，二項式系數(shù)符號同號，則積的符號為正；二項式系數(shù)符號異號，則積的符號為負(fù)，平方項前面均為正號。在運(yùn)用完全平方公式（a±b）2= a2±2ab+b2解題時，應(yīng)注意掌握公式中各項的特征，明確公式中的“兩數(shù)”的意義。在公式中，字母a，b可以表示一個具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項式或多項式。

例如：在運(yùn)用公式（a-b）2= a2-2ab+b2計算（-2b2-5a）2時 “-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”。

二、把握運(yùn)用公式四步曲

1. “察”：計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的形式，再利用公式進(jìn)行計算，若不能變?yōu)榉瞎降男问剑瑒t應(yīng)運(yùn)用相應(yīng)乘法法則進(jìn)行計算。

2. “導(dǎo)”：正確地選用完全平方公式，關(guān)鍵是確定式子中a、b分別表示什么數(shù)或式。

3. “算”：注意每步的運(yùn)算依據(jù)，即各個環(huán)節(jié)的算理。

4. “驗”：完成運(yùn)算后學(xué)會檢驗，既回過頭來再反思每步的計算依據(jù)和符號等各方面是否正確無誤，又可通過多項式的乘法法則進(jìn)行驗算，確保萬無一失。

三、掌握運(yùn)用公式常規(guī)四變

1. 變符號

例1. 運(yùn)用完全平方公式計算：

（1）（-2x+5y）2；（2）（-a-b）2；

方法一：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[-（2x-5y）]2=（2x-5y）2；（-a-b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2再用公式計算。

方法二：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[5y-2x]2；（-a-b）2=[（-a）-b]2后直接用公式計算。

方法三：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[（-2x）+5y]2；（-a-b）2=[（-a）+（-b）]2后直接用公式計算。

2. 變項數(shù)：

例2. 計算：（a+b+c）2

分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項，故應(yīng)考慮將其中兩項結(jié)合運(yùn)用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運(yùn)用公式時，（a+b+c）2可先變形為或[a+（b+c）] 2或[（a+c）+b]2，再進(jìn)行計算。

3. 變結(jié)構(gòu)

例3. 運(yùn)用公式計算： （1）（a+b）·（-a-b）；（2）（a-b）·（b-a）。

分析；本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個因式作適當(dāng)變形就可以了。即（1）（a+b）·（-a-b）=-（a+b）2；（2）（a-b）·（b-a）=-（a-b）2。

4. 簡便運(yùn)算

例4. 計算：（1）9992；（2）100.12

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成兩個數(shù)的和或差，從而運(yùn)用完全平方公式計算。

即：（1）9992=（1000-1）2；100.12=（100+0.1）2

四、學(xué)會公式運(yùn)用中三拓展

1. 公式的混用

例5. 計算：（x+y+z）（x+y-z）；

分析：此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項和互為相反數(shù)的項分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計算后，再運(yùn)用完全平方公式等計算。

即：（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=……

2. 公式的變形：除了學(xué)會按照公式進(jìn)行直接、簡單的套用外，我們可以將公式進(jìn)行變形，靈活運(yùn)用，使某些問題求解十分簡單、明快。

將公式（a±b）2= a2±2ab+b2變形為： a2+b2=（a+b）2-2ab； a2+b2=（a-b）2+2ab； （a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2-（a-b）2=4ab。熟悉完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求值的關(guān)鍵。

例6. 已知實數(shù)a、b滿足（a+b）2=10，ab=1。求下列各式的值：（1）a2+b2； （2）（a-b）2。

分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a(bǔ)、b的值分別求出來，非常困難；仔細(xì)探究易把這些條件同完全平方公式結(jié)合起來，運(yùn)用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。

例7. 已知在Rt△ABC中， ∠C= 90°，△ABC的周長為18，CD是斜邊AB上的中線，CD=4，求△ABC的面積。

解：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a。

在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AB=2CD=2×4=8

則a+b= BC+AC =△ABC的周長 -AB=18-8=10

由勾股定理，得a2 +b2=c2=82=64

∵a2+b2=（a+b）2-2ab∴把已知值代入，可求得ab=36.

∴△ABC的面積=ab/2=18

五、利用完全平方公式結(jié)合整體轉(zhuǎn)化思想求代數(shù)式的值

例8. 已知a2+b2=1，a-b=■，求（a+b）4的值。

分析：要求（a+b）4，直接求a，b的值有一定的困難，因而可利用整體思想，設(shè)法求出（a+b）2，結(jié)合題目條件a2+b2=1，只需求出ab值。

解：（略）。

公式的逆用：在條件滿足的情況下，將完全平方公式反過來進(jìn)行逆向使用，能使運(yùn)算簡便得多。

例9. 計算（2x+y）2-2（x+y）（2x-3y）+（x-3y）2

分析：若先平方展開后再計算，比較復(fù)雜，但把（2x+y）看作a，（x-3y）看作b，此算式恰好是完全平方公式的右邊三項，可逆用完全平方公式，迅速得出結(jié)果。

六、利用完全平方式判斷三角形形狀

例10. 已知三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請你判斷這個三角形是什么三角形。

分析：判斷形狀的三角形一般都是特殊三角形，而進(jìn)行判斷的關(guān)鍵是分析角或邊的關(guān)系.本題所給的條件和邊有關(guān)，因而可把目標(biāo)定為證明邊相等，即證明等腰或等邊三角形。結(jié)合條件的形式，聯(lián)想到完全平方式的非負(fù)性，從而可利用完全平方公式進(jìn)行證明。

解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0兩邊同時乘以2，整理可得

（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0

所以（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

因為（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，所以（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0，所以 a=b，a=c，b=c即a=b=c。

所以這個三角形是等邊三角形。

七、完全平方公式的推廣

計算多項式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推廣得到

（a+b+c）2=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍。

例11. 計算（x+2y-z）2

解：原式=x2+（2y）2+（-z）2+2·x·2y+2·x（-z）+2·2y（-z）

=x2+4y2+z2+4xy-2xz-2yz

總之，在學(xué)習(xí)完全平方公式時關(guān)鍵是記住公式形式，把握公式特征，運(yùn)用合理的算法，注重勤練習(xí)，適時積累典例，定能收到良好的效果。

（作者單位：甘肅省靖遠(yuǎn)縣劉川中學(xué) 730604）