準(zhǔn)變量思維：賦予學(xué)生代數(shù)思維生長(zhǎng)的力量

毛新薇

【摘 要】準(zhǔn)變量思維作為算術(shù)思維和代數(shù)思維之間的中介，是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶，能促進(jìn)算術(shù)學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)的有效聯(lián)結(jié)。在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)充分挖掘算術(shù)中的代數(shù)特性，精心呵護(hù)與扶植學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

【關(guān)鍵詞】準(zhǔn)變量思維 算術(shù)思維 代數(shù)思維

一、意蘊(yùn)解讀：學(xué)生準(zhǔn)變量思維培養(yǎng)的內(nèi)涵詮釋

算術(shù)思維是數(shù)的運(yùn)算，是一種程序性思維；代數(shù)思維是式的運(yùn)算，是一種關(guān)系性思維。小學(xué)數(shù)學(xué)傾向于算術(shù)和程序思維，初中數(shù)學(xué)傾向于代數(shù)和關(guān)系思維，從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須經(jīng)歷的一個(gè)極為重要的階段。

準(zhǔn)變量思維作為學(xué)生算術(shù)程序思維的最近發(fā)展區(qū)，它的對(duì)象主要是準(zhǔn)變量（表達(dá)式）及其代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)的非符號(hào)化陳述，核心是超越算術(shù)的思維方式，充分利用算術(shù)中所隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，識(shí)別、提取出關(guān)鍵的數(shù)字和包含在表達(dá)式中的關(guān)系性元素，對(duì)潛在的結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)和轉(zhuǎn)換，對(duì)算術(shù)及其問題進(jìn)行“代數(shù)地思考”。對(duì)學(xué)生準(zhǔn)變量思維培養(yǎng)的研究將有助于緩解算術(shù)思維與代數(shù)思維之間的割裂狀態(tài)，促進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)的順利銜接，降低學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的困難。同時(shí)，學(xué)生在運(yùn)用準(zhǔn)變量思維解決不同的算術(shù)問題時(shí)，其間隱含的等價(jià)觀念、抵消意識(shí)、建模思想、概括思想、變化與函數(shù)的思想等，有利于學(xué)生的代數(shù)思維的發(fā)展，能為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)建構(gòu)起強(qiáng)有力的橋梁。

二、實(shí)踐滋養(yǎng)：引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維的教學(xué)尋繹

（一）基于教材——挖掘算術(shù)中的準(zhǔn)變量思維因子

在教學(xué)中，教師要習(xí)慣于“代數(shù)地思考”算術(shù)及其問題，敏銳地挖掘可以培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維的素材，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|和滲透。

一年級(jí)學(xué)生在計(jì)算“9+4”時(shí)，一般采用“湊十法”：4由一個(gè)1和一個(gè)3組成，1和9相加和是10，所以“9+4=13”。這時(shí)教師可做恰當(dāng)?shù)臐B透，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注關(guān)系與結(jié)構(gòu)：無(wú)論9加幾，都應(yīng)該先加1，使其構(gòu)成一個(gè)10，然后在后面的加數(shù)中減去1，加的1與減去的1剛好抵消，結(jié)果與原來(lái)相等，即“（9+1）+（4-1）=9+4”，隱含的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)是“一個(gè)加數(shù)加1，另一個(gè)加數(shù)減1，和不變”。

（二）立足學(xué)生——找尋學(xué)生準(zhǔn)變量思維真實(shí)的起點(diǎn)

教師要遵循學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的規(guī)律，充分把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和潛在困難，制訂出培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的具體要求和合理目標(biāo)，既不能用準(zhǔn)變量思維代替算術(shù)思維，也不能用代數(shù)思維來(lái)取代準(zhǔn)變量思維。

看到算式“6+4”時(shí)，學(xué)生往往會(huì)條件反射般地寫上等號(hào)，這個(gè)等號(hào)被理解成執(zhí)行加法運(yùn)算的標(biāo)志。我們針對(duì)學(xué)生在等號(hào)方面出現(xiàn)的問題進(jìn)行了訪談，對(duì)學(xué)生眼中的等號(hào)有了更深的了解。在學(xué)生眼中，等號(hào)用來(lái)顯示“做某件事的信號(hào)”，是表示一個(gè)計(jì)算的過程，具有程序意義；等號(hào)代表運(yùn)算結(jié)果“得到”，是分隔符號(hào)；等號(hào)的左邊是運(yùn)算的式子，右邊是答案；等等。可見，學(xué)生比較關(guān)注等號(hào)的“程序性質(zhì)”，而忽視了等號(hào)的“關(guān)系性質(zhì)”。我們可以有意識(shí)地讓學(xué)生構(gòu)造這樣一些等式：先是兩邊都有一個(gè)運(yùn)算的，如“4+3=6+1”；接著是兩邊都有兩個(gè)運(yùn)算的，如“5+2-3=6+3-5”；隨后是兩邊都有三個(gè)運(yùn)算的，如“8×2-2+1=5×4+1-6”，幫助學(xué)生識(shí)別出算式中隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系，做出清晰的關(guān)系性解釋。

（三）引領(lǐng)學(xué)生——讓準(zhǔn)變量思維向著深刻的方向生長(zhǎng)

1.巧設(shè)拓展延伸點(diǎn)，層層推動(dòng)，孕育學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

要促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的形成，早期準(zhǔn)變量思想的滲透與孕育勢(shì)在必行，這就需要教師在學(xué)生學(xué)習(xí)方程之前，提早設(shè)計(jì)一些好的問題進(jìn)行拓展延伸。

在解決“25+□=26+76”這樣的題目時(shí)，有些學(xué)生傾向于選擇計(jì)算方法解決，為了推動(dòng)學(xué)生從關(guān)系與結(jié)構(gòu)的角度進(jìn)行思考，我及時(shí)進(jìn)行了拓展：“15+□（空格A）=17+□（空格B）”，（1）你能在空格A和空格B中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使等式成立么？（2）當(dāng)?shù)仁匠闪r(shí)，空格A和空格B中的數(shù)字之間應(yīng)滿足什么關(guān)系？（3）如果用28代替15，33代替17，空格A和空格B中的數(shù)字之間又會(huì)有什么關(guān)系？這樣的拓展可以推動(dòng)學(xué)生關(guān)注算式中存在的關(guān)系與結(jié)構(gòu)：只要空格A中的數(shù)字比空格B中的數(shù)字多2（或多5），上面的式子就一定成立，學(xué)生的準(zhǔn)變量思維得以萌發(fā)。

2.捕捉意外生成點(diǎn)，借題發(fā)揮，催生學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

在算術(shù)教學(xué)中，教師要敏于捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的意外，善于利用課堂中生成的資源，催生學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

在《用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算》一課的教學(xué)中，我讓學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算“656-362”，很多學(xué)生迅速得出了結(jié)果。這時(shí)，一個(gè)學(xué)生小聲嘀咕：“老師，我的計(jì)算器鍵6失靈了，怎么辦？”我適時(shí)將問題反拋給大家：“當(dāng)鍵6壞了時(shí)，我們?nèi)绾斡?jì)算‘656-362呢？”一學(xué)生答道：“656-362=545+111-352-10。”我進(jìn)一步啟發(fā)：“還可以怎么計(jì)算更簡(jiǎn)單？”學(xué)生順利地想到“656-362=545-251”“656-362=878-584”等。至此，學(xué)生已經(jīng)關(guān)注到了代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)“a-b=（a-c）-（b-c）”或“a-b=（a+c）-（b+c）”，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)字運(yùn)算中代數(shù)性質(zhì)的關(guān)注，蘊(yùn)含著學(xué)生對(duì)數(shù)字的關(guān)系和結(jié)構(gòu)的解釋，小小的意外催生了學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

3.挖掘思維生長(zhǎng)點(diǎn)，拾級(jí)而上，培植學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

在解答算術(shù)題時(shí)，教師要找到其中的一些生長(zhǎng)點(diǎn)，為學(xué)生提供充足的代數(shù)推理的機(jī)會(huì)，使學(xué)生浸潤(rùn)于相當(dāng)豐富的代數(shù)思維之中。

有這樣一道找規(guī)律題：6個(gè)人下棋，要求每2個(gè)人之間都要下一盤棋，這6個(gè)人一共要下多少盤棋？我發(fā)現(xiàn)這道題是培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力的極好機(jī)會(huì)，于是分三步展開了教學(xué)：（1）直觀感知，通過具體情境記錄數(shù)據(jù)。2人下1盤棋，3人下3盤棋，4人下6盤棋，5人下10盤棋，6人下15盤棋，這顯然是程序思維。（2）引入關(guān)系思維，通過直觀的方式列出一些算式，引導(dǎo)他們進(jìn)行代數(shù)思維。2人下棋盤數(shù)是1，3人下棋盤數(shù)是“2+1”，4人下棋盤數(shù)是“3+2+1”，5人下棋盤數(shù)是“4+3+2+1”，6人下棋盤數(shù)是“5+4+3+2+1”，如果有10個(gè)人，那么下棋的總盤數(shù)是多少呢（只列式）？這一提問為學(xué)生提供了破譯內(nèi)在關(guān)系、表達(dá)潛在結(jié)構(gòu)的機(jī)會(huì)。（3）強(qiáng)化關(guān)系思維，通過推理尋求答案。如果下棋總盤數(shù)是“12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1”，總共有多少人下棋？盡管我不要求學(xué)生給出一般化的結(jié)論：n×（n-1）÷2，學(xué)生還是很好地發(fā)現(xiàn)了下棋人數(shù)與盤數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系，進(jìn)而能利用這一關(guān)系進(jìn)行合理推理，他們的準(zhǔn)變量思維得到了很好的培養(yǎng)。

總之，算術(shù)思維是小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的現(xiàn)有水平，代數(shù)思維是小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的可能水平。只要我們順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展需要，關(guān)注學(xué)生準(zhǔn)變量思維的培養(yǎng)，循著算術(shù)程序思維到代數(shù)關(guān)系思維這一真實(shí)的軌跡進(jìn)行，相信它的生長(zhǎng)是驚人的。■

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐文彬.試論算術(shù)中的代數(shù)思維：準(zhǔn)變量表達(dá)式[J].學(xué)科教育，2003（11）：6-10，24.

[2]Max Stephens，王旭.關(guān)系性思維中的一些重要關(guān)聯(lián)——對(duì)中國(guó)和澳大利亞6～7年級(jí)學(xué)生進(jìn)行的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（5）：36-40.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文特等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省江陰市徐霞客實(shí)驗(yàn)小學(xué)）