數學課應有“數學味”

【名師檔案】

周衛東，南京師范大學附屬小學副校長，南京師范大學、鹽城師范學院客座教授，江蘇省小學數學特級教師，中學高級教師，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象。在省級以上報刊發表論文兩百余篇，出版個人專著《應答與建構：我的數學教學行與思》。應邀在北京、上海、天津等二十多個省、市、區執教觀摩課近兩百場，以其“清新、靈動、深刻、自然”的課堂教學風格，贏得了廣大一線教師的好評。

常有老師問我：當下的教學主張、課堂標簽風起云涌，令人眼花繚亂，我們的數學課堂究竟要關注什么？每當此時，我總是跟他們說這樣一個比喻：市場上有形形色色的褲子，有牛仔褲、休閑褲和西褲，有七分褲和九分褲，有長褲和短褲……但不管形式如何變化，褲子的生產商必須要保證兩點：一是褲子必須有兩條腿，否則就不能稱其為褲子；二是必須考慮到顧客的高矮胖瘦。這一比喻中所蘊含的樸素道理，對審視當下的數學課堂具有積極的意義。它警醒我們：一是數學課要有“數學味”，即數學的內涵（褲子要有兩條腿）；二是數學課堂要重視兒童個體的特點，要關注兒童立場（如要考慮顧客的高矮胖瘦）。這兩者中，前者尤為關鍵。

問題1：什么是“數學味”？

“數學味”是數學內涵的形象表述。數學是一個多元復合體，數學內涵包含如下兩大方面：

其一，數學的理論和方法體系。最古老的數學產生于日常生活、生產中的計數和測量，經過千百年的歸納、演繹、抽象、概括、擴展，形成了一套經驗知識，構成了如算術、代數、圖形、幾何等理論體系，所以，這些顯然是數學的重要內涵。在理論體系形成的過程中逐步累積起來的演繹證明、類比歸納、靈活計算、探索發現等思想與方法體系也屬于數學內涵的范疇。

其二，數學理論和方法之上的數學精神和數學能力。汪宇先生在《西方文化中的數學》一書中的“主編贅語”部分寫道：“我們對數學的理解悖逆數學的本質到了多么嚴重的程度。功利實用傾向和計算技能崇拜遮蔽了數學的本質精神，因此，國民的科學精神和基本的思維能力依然令人失望。我們可以成規模地制造戰無不勝的奧賽選手，可是數學能力捉襟見肘。”上述論斷中的“科學精神”“基本的思維能力”都類屬于數學內涵的范疇。

“數學味”在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中受到了很好的重視。比如，在“數學思考”部分的總目標中強調：建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維；發展數據分析觀念；發展合情推理和演繹推理能力。在“解決問題”部分的總目標中強調：從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性。在“情感態度”部分的總目標中強調：養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成實事求是的科學態度。這里所倡導的各種要素，其實質都是關注數學內涵，關注“數學味”。

問題2：怎樣才能做到數學課有“數學味”？

要做到數學課有“數學味”，不是一種簡單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數學”放到湯碗里攪拌一下，就會出現“數學”的味道。

沉入教材，找尋“數學味”的配方。從教材的構成體系來看，數學教材由兩條“河流”組成：由具體知識構成的、易于被發現的“明河流”和由數學內涵構成的、具有潛在價值的“暗河流”，它們是骨架與血脈的關系。有了數學內涵作靈魂，各種具體的數學知識才不會成為孤立的、零散的東西。正因為有了數學內涵，游離狀態的知識才會凝結成優化的知識結構，形成一個有機的整體。只有做到“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西”（蘇步青），充分挖掘教材中的靈魂——數學內涵，用數學內涵引領我們的課堂教學，才能高屋建瓴，統領整個知識體系，從而進行再創造、再建構。

融入過程，品嘗“數學味”的芳香。數學的內涵往往呈隱蔽形式，凝聚在數學結論的背后，常常滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。著名數學家波利亞認為：“學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”我們應該有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，積累數學活動經驗，感受和理解數學內涵，促使學生對數學知識的理解達到領悟的水平，提升其數學思考的能力。只有如此，學生所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學習才是充滿智慧的。

聚焦思想，吮吸“數學味”的營養。從哲學角度來看，思想即觀念，即客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。而數學思想，是人們對數學研究統一的本質性認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是被人們反復運用和確認的、帶有普遍意義的、相對穩定的特征，它直接支配著數學的實踐活動，是對數學規律的理性認識。由此看來，數學思想是“數學味”（數學內涵）的核心，它決定了數學的經驗基礎、思考核心和發展目標。

從宏觀角度來看，思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學的（包括邏輯的）思想，如抽象、推理、建模、分析、綜合、演繹、歸納、類比等；二為科學的思想，如試驗法、圖表法、假設法等；三為數學的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。數學思想的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經過理解、應用、促疑、釋疑才能使學生真正領會，形成自覺運用數學思想的意識，建立起學生自我的“數學思想系統”。■

（作者單位：南京師范大學附屬小學）

閱讀延伸

要弄清“數學味”，必須厘清一個關系：“生活化”與“數學化”該如何把握？

數學“生活化”要不要？回答是肯定的！數學走向生活，這是教育的訴求，純粹例題式的教學起點，對于兒童來說，不具有可攀性。于是，我們需要各種生活情境，需要借助于現實素材。但在這個過程中，我們不能遺漏一點：即使最簡單的數學，也是抽象的產物。有人問得好：你見過純粹的三角形而不是三角形物體嗎？你見過沒有大小的點或沒有寬度的線嗎？你能說出的那些數字又在哪兒真實地看見過？所有這一切，都是從現實原型中提取出的“理想化”的思維產物。

從現實原型中提取出“理想化”的思維產物的過程，就是“數學化”的過程。“數學味”與“數學化”是密不可分的。“數學化”是荷蘭數學家弗賴登塔爾教育思想的核心，有橫向數學化和縱向數學化之分。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。可以這樣說，“橫向數學化”生成生活與數學的聯系，“縱向數學化”生成抽象數學知識之間的聯系。弗賴登塔爾認為，如果用二分法分別從橫向數學化和縱向數學化分類，數學教育可以分成四種類型，分別對應著四種不同的哲學觀：一是缺少橫向數學化，也缺少縱向數學化，是機械主義；二是橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義；三是橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義；四是橫向數學化和縱向數學化都得到成長，是現實主義。當下的數學課堂倡導現實主義的教學，亦即在“橫向數學化”和“縱向數學化”的關系中找到一個合適的地帶，能夠促使兩者均衡地發展。

為了更系統地把握“數學味”的意義，可以品讀下列資料：

1.《被壓迫者教育學》（保羅·弗萊雷著，顧建新、趙友華、何曙榮譯，華東師范大學出版社）

2.《數學內涵：數學本質在教學中的體現》（鐘麒生，《教學110：小學數學主流話題疑難問題透析》，教育科學出版社）

3.《作為教育任務的數學》（弗賴登塔爾著，陳昌平、唐瑞芬等編譯，上海教育出版社）

4.《美國核心知識課程的理論和實踐（上）》（趙中建，《外國教育資料》，1996年第5期）

5.《“人文素質”的教育形態及其知識生態》（樊浩，《教育研究》，2005年第8期）

6.《“數學味”不是泡出來的》（周衛東，《江西教育》，2011年第10B期）