基于Unscented卡爾曼濾波器的反應堆周期計算算法研究

熊華勝，李 鐸

（清華大學 核能與新能源技術研究院 先進反應堆工程與安全教育部重點實驗室，北京 100084）

核反應堆周期T 直接關系到核反應堆的運行和安全，需專門儀器來監測［1］。周期太短表示反應堆內中子通量或功率水平增長太快，如果周期超過整定值就需觸發保護系統緊急停堆動作，關閉反應堆。若不能及時準確地計算出反應堆周期，有潛在地引起核事故的可能性。

本文基于Unscented卡爾曼濾波器（UKF）對反應堆周期的計算算法進行研究。

1 反應堆周期計算的離散隨機狀態空間模型

1.1 反應堆周期的定義

反應堆周期是指核反應堆內中子密度增加到初始時的e倍所用的時間。

式中：n0為t=0 時刻反應堆內的中子密度；n為t時刻的中子密度。

反應堆周期反映了核反應堆所處狀態。

1.2 離散隨機狀態空間模型推導

在數字化核測量系統中，通常在系統的前置放大模塊中將探測器輸出的弱電流信號I進行放大，然后轉變為電壓信號，再使用A／D 模塊實現對電壓信號的采集。根據核反應堆工程原理可知：反應堆功率與中子密度呈正比；探測器輸出的電流信號與反應堆功率呈正比［2］。因此，電壓信號V 直接反應了核反應堆的功率水平，即有下面的關系式：

其中，V0為0時刻的電壓信號。

將式（3）離散化得到：

其中：Tc為V（k+1）與V（k）之間的時間間隔，s；T（k）為k時刻的反應堆周期。

在實際的工程中，Tc一般較小，為ms級，而T（k）一般至少為s級，通常滿足Tc／T（k）?1。對式（3）進行泰勒展開，得到：

其中：θ（k）=Tc／T（k）。

令w1（k）=V（k）·ο（θ（k）），可得：

并假設反應堆周期T（k+1）與T（k）滿足T（k+1）=T（k）+ο（T（k）），o（T（k））為遠小于T（k）的增量，令：

可得：

在數字化核測量系統中，將探測器輸出的電流信號轉變為電壓信號，可表示為：

其中：y（k）為觀測向量；v（k）為測量噪聲。

由式（6）、（7）、（8）得到離散的非線性模型：

其中：

w（k）是非線性模型的系統噪聲，是對系統建模產生的誤差進行補償。式（9）即為用于計算核反應堆周期的離散隨機狀態空間模型。

2 基于UKF的反應堆周期的計算方法

2.1 反應堆周期的計算公式

對于式（9），如果根據測量電壓y（k）估計出離散非線性模型的狀態向量x（k），那么就可計算出核反應堆周期T（k），即：

因此，反應堆周期的計算問題就轉化為離散隨機狀態空間模型的狀態估計問題。

2.2 UKF算法

由于擴展卡爾曼濾波器（EKF）方法是將非線性函數利用泰勒公式展開，并保留一階項［3］，從而實現非線性函數的線性化并保留一階精度。針對EKF 的缺陷，Julier等［4］提出了基于Unscented變換的UKF 方法。該方法直接利用非線性模型進行遞推估計，避免了線性化誤差的引入，且遞推估計過程不需計算Jacobian矩陣，比EKF 更為簡單，并在執行濾波時可有二階以上的精度。

假設w（k）、v（k）的統計特征為：

選取系統增廣狀態變量為：

記xak為L 維列向量，則L=2+2+1=5。增廣后的系統狀態方差為：

UKF狀態估計算法如下。

1）初始化

2）計算Sigma點

其中，χk為L×（2L+1）維矩陣。

3）時間更新方程

4）測量更新方程

算法中對應的權系數為：

其中，λ=α2（L+κ）-L。α和κ 用于控制Sigma點的傳播，β 是一與x 的分布相關的系數。這里取α=0.001，κ=0和β=2。

利用式（11）～（13）給出的UKF算法可估計出式（9）離散隨機狀態空間模型的狀態，再依據式（10）可以計算出反應堆周期。

3 反應堆周期仿真計算與實驗驗證

利用建立起來的離散隨機狀態空間模型和設計好的UKF 算法，分別利用仿真數據和實驗數據來驗證本文提出的反應堆周期的計算算法的正確性和有效性。

3.1 仿真計算

在仿真過程中利用式（4）產生反應堆周期為28.85s 的仿真測量信號，并對測量信號V（k）施加具有均值為0、方差Rk為0.000 01統計特征的高斯噪聲信號。

利用UKF 方法，對生成的仿真數據進行處理得到相應的結果如圖1所示。從仿真計算結果來看，噪聲雖然幅值很小，但對計算的影響卻非常大，造成計算結果的不確定性大。應用UKF可較好地復現信號的本來特征。

圖1 反應堆周期的仿真計算結果Fig.1 Calculation result of reactor period using simulation data

3.2 實驗驗證

在數字化核測量系統的原理樣機中，利用信號發生器生成的信號來模擬實際的電離室探測器輸出信號，并通過這種半物理實驗的方式來獲取實驗數據（圖2）。

圖2 數字化核測量系統原理圖Fig.2 Schematic of digital neutron monitoring system

信號發生器用于模擬探測器的輸出信號，產生反應堆周期為T 的弱電流信號。前置處理模塊用于信號的調理和隔離，對微電流信號進行放大，并將電流信號調理為電壓信號。信號采集模塊在計算機系統中用于對電壓信號進行A／D 轉換；信號處理及反應堆周期計算模塊用于對采集的數字信號進行變換、濾波處理，然后用本文提出的方法計算得出反應堆周期。

用信號發生器生成反應堆周期為28.85s的電流信號。實驗過程中，信號發生器產生的電流信號經前置處理模塊后電壓范圍為0.003～3V。數字化核測量系統的信號處理模塊通過采集、處理和計算后得到的計算結果示于圖3。從圖3可看出，輸入到核測量系統計算機的信號經過采集模塊后，采集的電壓信號中總是伴隨著測量噪聲，測量噪聲對計算結果有較大影響。反應堆周期的計算結果中包含著測量噪聲對周期計算的貢獻，導致計算后的反應堆周期存在較大的不確定性和隨機性，使得周期的計算結果嚴重失真，與實際的期望值存在很大的差別。利用本文基于UKF提出的反應堆周期計算方法可較好地抑制噪聲影響，得出較為理想的計算結果，從而復現了信號的本來特征。

圖3 反應堆周期的半物理實驗計算結果Fig.3 Calculation result of reactor period using experimental data

4 結論

數字化核測量系統將電離室探測器輸出的弱電流信號經過前置放大、調理和隔離后將信號轉變為與反應堆功率呈正比的電壓信號，核測量系統計算機采集的電壓信號總是伴隨著測量噪聲，從而對反應堆周期的計算帶來很大影響。本文基于UKF 對反應堆周期的計算進行了研究，推導出適于使用UKF的離散隨機狀態空間模型，提出了反應堆周期估計算法，并利用仿真數據和半物理實驗數據對提出的算法進行了計算驗證。計算結果表明：本文提出的反應堆周期計算算法可較好地抑制噪聲的影響，得到較為理想的計算結果，從而復現信號的本來特征。

［1］ 陳小軍，李保祥，李凱.數字化核測儀表的設計與算法分析［J］.核電子學與探測技術，2003，23（2）：163-165，175.CHEN Xiaojun，LI Baoxiang，LI Kai.The design＆arithmetic analysis of a digital nuclear instrument［J］.Nuclear Electronics ＆Detection Technology，2003，23（2）：163-165，175（in Chinese）.

［2］ 胡守印.反應堆周期監測裝置的研制［J］.工業儀表與自動化裝置，2000（4）：47-48，6.HU Shouyin.The development of a period monitor for nuclear reactors［J］.Industrial Instrumentation＆Automation，2000（4）：47-48，6（in Chinese）.

［3］ NEMRA A，AOUF N.Robust INS／GPS sensor fusion for UVA localization using SDRE nonlinear filtering［J］.IEEE Sensors Journal，2010，11（4）：789-798.

［4］ JULIER S，UHLMANN J，WHYTE H F D.A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators［C］∥IEEE Transactions on Automatic Control.USA：IEEE Press，2000：477-482.