結構化模型下可展期企業債定價

任學敏, 耿利芳

(同濟大學 數學系,上海 200092)

0 引 言

信用風險是指在金融交易中交易對手或信用質量潛在變化而導致損失的可能性,是金融風險的主要類型之一.目前,處理信用風險主要有兩種方法:結構化方法和約化方法.結構化方法是把公司資產值作為衡量標準,如果資不抵債,則公司破產并進入清算程序,最早由Merton(1974)[1]等人提出.而約化方法把公司違約看成是一個外在的過程,用Poisson過程來描述,即第一次發生跳時公司就違約.約化方法由Jarrow[2],Duffie[3]等提出.

可展期企業債券是指企業在發行債券時事先約定,企業有權在債券到期日T視當時狀況決定是否將債券到期日延長.用約化方法對可展期公司債券的定價可參見[4]和[5],兩篇文章都是采用約化方法刻畫公司的違約,而約化方法明顯的缺點就是將公司的違約看做是一個外在的過程,與公司的資產狀況無關.前者將利率當做一個常數處理,后者是在前者的基礎上做了改進,把利率當做和公司資產掛鉤的一個隨機變量.

本文作者考慮的是用結構化模型對可展期企業債券的定價,為簡化模型,僅將公司資產值作為隨機變量,利率當做常數來處理.難度在于計算在首期公司資產不碰違約邊界的前提下公司資產的條件概率分布.顯然在到期日T,如果公司的資產下降,企業的重新融資成本將提高,企業會選擇延長債券的到期日;反之,如果公司的資產上升,企業的重新融資成本將下降,企業將不會延展債券的到期日.將利率作為另外一個隨機變量是本研究繼續討論的方向.

1 普通公司債券的定價

普通的零息票公司債券是發行者在到期日支付1元面值的一份債券,它可能在到期日之前發生違約,假設債券對應的公司資產Vt滿足幾何布朗運動:

dVt=Vt(μdt+σdWt)，

其中μ,σ在此假設為正的常數,初始資產是已知的正數V0.

公司發行的零息票債券(投資期內無任何利息支付,在到期日支付票面金額),債券到期日為T,市場的無風險利率r0(r0為正的常數).在[0,T]公司的違約邊界為B1(t)=e-r0(T-t)(到期時付款的無風險貼現值),當資產達到B1(t)時,公司償還投資者現金εe-r0(T-t)(其中0<ε<1,表示回收率);若公司在到期日前沒有違約,則到期日公司支付1元給投資者.市場無套利,無摩擦.根據Δ對沖原理,得到普通零息票公司債券滿足的偏微分方程:

普通公司債券的定價可參見[6],這里直接給出結果：

2 可展期債券的定價

2.1 基本假設

(1) 公司發行m份可展期債券,每份債券對應的公司資產Vt滿足幾何布朗運動:

dVt=Vt(μdt+σdWt),

其中μ,σ在此假設為正的常數,初始資產是已知的正數V0.

(2) 公司發行的零息票債券(投資期內無任何利息支付,在到期日支付票面金額),債券首期到期日為T1,可展期到期日為T2(T2>T1),票面利率r,市場的無風險利率r0(r0為正的常數).在[0,T1]公司的違約邊界為B1(t)=e-r0(T1-t)(首期時付款的無風險貼現值),當資產達到B1(t)時,公司償還投資者現金εe-r0(T1-t)(其中0<ε<1,表示回收率);當債券發行公司未違約,在首期T1的資產值VT1小于初始資產V0且大于e(r-r0)(T2-T1)(如果進行展期,公司在T1時的債務)時,公司按照發行時的利率r將債券延期至T2(原因是現在的資產值小于初始資產又沒違約,再融資成本高),在延展期[T1,T2]公司的違約邊界為B2(t)=er(T2-T1)-r0(T2-t)(可展期到期日付款的無風險貼現值).當資產達到B2(t)時,公司償還投資者現金εer(T2-T1)-r0(T2-t)元,若不違約,在到期日T2,公司支付給投資者現金er(T2-T1)元;其它情況,公司會終止債券并將1元現金支付給投資者.

(3) 市場無套利,無摩擦(無稅收,交易費等).

2.2 定價公式

T1時刻債券的現金價值：

(1) 若違約事件發生在(0,T1),在T1時刻債券的價值為ε元;

(2) 在T1時刻前未發生違約,但資產值VT1大于或等于初始資產V0,或VT1小于延展期到期日的債務貼現e(r-r0)(T2-T1)時,發行公司不進行展期,債券的價值為1元;

作變換:Q1=Q-ε,τ=T2-t,y=lnx,便有:

上面的定解問題轉化為下面半無界問題:

利用Green函數法可直接求出上述齊次半無界熱傳導方程的解:

綜合上面3種情況,得到在T1時刻,債券的價值:

(1)

2.3 [0,T1]內公司沒有違約的概率和T1時刻布朗運動的條件概率分布

Vt≥B1(t)～Wt≥g(t),

Prob(τ

引理設{W(t),t≥0}為一維標準布朗運動,f(s),0≤t1

(2)

引理的證明參見[7],也可由Feymann-Kac公式結合障礙期權得到.利用引理的結論可得:

(3)

由{-W(t),t≥0}仍為標準布朗運動,故其概率密度:

(4)

由(3)式和(4)式進一步可以計算[0,T1]內公司沒有違約的概率:

(5)

由式(3)、(4)和(5)式可得:

(6)

記Q1=Prob(τ

記Q2=1·Prob(VT1>V0|τ≥T1)+1·Prob(VT1

Q2=1·Prob(VT1>V0|τ≥T1)+1·Prob(VT1

其中

將T1時刻債券價值(1)貼現到初始時刻,則得到初始價值:

(7)

其中:

在為債券定初始價值時包含了票面利率r,而票面利率的決定應根據債券的初始價值,應滿足下面的超越方程:

e-rT1=P0(V0,T1,T2,r).

(8)

其中等式右端的P0(V0,T1,T2,r)為式(7).

3 數值結果和分析

影響可展期企業債券名義收益率的因素有很多,如發行時的利率水平,到期日,可展期限,公司的資產值和一旦違約時的回收率等.以下分析單個因素對可展期債券的收益率的影響,取參數V0=1.5,σ=0.1,T1=3,T2=6,ε=0.4,r0=0.025在對某參數進行分析時,其他參數保持不變.

從圖1可以看出,由于可展期債券的投資者需要承擔更多的違約風險,因此在其他條件相同的情況下,可展期債券的收益率會高于普通的企業債券.而收益率差隨名義到期日遞減是因為投資者可能受到的展期后的風險被分攤到了展期之前的持續期.

從圖2可以看出,回收率越大,可展期債券的收益率越小,在其他條件不變的情況下,可展期的期限越長,收益率越大,因為可展期期限越長,公司破產的風險越大,投資者需要承擔的風險更大,所以需要給投資者更高的補償.

圖1 名義到期日與收益率之間的關系

圖2 回收率和可展期期限對收益率影響

圖3和圖4分別考慮了可展期期限,利率和名義到期日,利率對債券的影響.

圖3 可展期期限和初始利率對收益率的影響

圖4 名義到期日和初始利率對收益率的影響

從圖5可以看出,隨著公司的初始資產值的增大,收益率差先增大后減小,成駝峰狀,這是因為初始資產值很大時,可展期債券的公司比較安全,很可能不展期,這樣與普通債券的收益率差就會變小.

圖5 公司初始資產值對收益率差的影響

4 結 論

本文作者用結構化模型中的首次通過模型對可展期公司債券定價,主要計算了公司在可展期債券首期期間沒有違約的概率以及在此條件下公司資產的條件分布.并通過數值分析考慮了各因素對可展期債券價格的影響.

參考文獻:

[1] MERTON R.On the pricing of corporate debt:the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance,1974,29(2):449-470.

[2] JARROW R,TURNBULL S.Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk[J].Journal of Finance,1995,50(1):50-53.

[3] DUFFIE D,SINGLETON K J.Modeling term structures of defaultable bonds[J].Review of Financial Studies,1999,12(4):687-720.

[4] 任學敏,劉紅梅.用約化方法對可展期的企業債券定價[J].同濟大學學報(自然科學版),2011,39(7):1088-1092.

[5] 任學敏,施林嵩.隨機違約強度下可展期公司債券的定價[J].上海師范大學學報(自然科學版),2012,41(5):449-453.

[6] 姜禮尚,徐承龍,任學敏,等.金融衍生產品定價的數學模型與案例分析[M].北京:高等教育出版社,2008.

[7] 徐潤,呂玉華.標準布朗運動關于曲線邊界通過概率[J].數學研究與評論,2005,25(4):709-715.

[8] 姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[9] 王沫然.MATLAB與科學計算[M].2版.北京:電子工業出版社,2003.

[10] BLACK F,COX J C.Valuing corporate securities:some effects of bond indenture provisions[J].Journal of Finance,1976,31(2):351-367.