方差分析在激光點(diǎn)光源質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

安其昌，張景旭，楊 飛，郭 鵬

(1．中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033;2．中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

1 引言

激光點(diǎn)光源由于相干性好、能量強(qiáng)在各種光學(xué)系統(tǒng)的檢測(cè)與裝調(diào)中，都有較為廣泛的應(yīng)用。大多數(shù)波前檢測(cè)元件，使用前，都需要點(diǎn)光源作為初始的標(biāo)定工具，同時(shí)，如果在點(diǎn)光源之前加上特定的補(bǔ)償光學(xué)元件，就可以將其發(fā)出的球面波轉(zhuǎn)化為需要的波前。如在一代哈特曼傳感器之前，附加分光棱鏡與點(diǎn)光源，就可以檢測(cè)球面鏡的低階面形誤差;將上述裝置應(yīng)用于主動(dòng)光學(xué)的定標(biāo)之中，也有較好的效果［1－15］。

由于激光點(diǎn)光源常常作為光學(xué)系統(tǒng)的標(biāo)校工具，故對(duì)于其本身的誤差需要嚴(yán)格的控制。傳統(tǒng)上，一般使用精度較高的波前探測(cè)元件直接測(cè)量，通過波前的均方根來評(píng)價(jià)點(diǎn)光源發(fā)光的均勻性，這樣的方法將所有的誤差源都作為隨機(jī)誤差，難以對(duì)于系統(tǒng)誤差的水平做出合理的判斷［16－19］。

方差分析是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾在上個(gè)世紀(jì)所提出的，最初用于分析農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量的變化是由于隨機(jī)誤差還是因?yàn)槠贩N改良，后來逐漸應(yīng)用于其他各個(gè)領(lǐng)域。其核心思想是:在重復(fù)以及隨機(jī)化的前提下，將采集到的數(shù)據(jù)看作由理想值與隨機(jī)誤差相加合成得到，之后利用假設(shè)檢驗(yàn)來權(quán)衡分析其變異情況。對(duì)于點(diǎn)光源發(fā)光質(zhì)量評(píng)價(jià)，將多次測(cè)量得到的數(shù)據(jù)合理的排布，就會(huì)出現(xiàn)和麥田類似的情況，每一個(gè)像元得到的數(shù)據(jù)，相當(dāng)于一株麥子的產(chǎn)量，利用方差分析，就可以得到激光點(diǎn)光源波前的系統(tǒng)誤差以及隨機(jī)誤差情況。

本文類比農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量分析的方法，引入方差分析來研究激光點(diǎn)光源的系統(tǒng)誤差以及隨機(jī)誤差。利用維納過程理論推導(dǎo)了理想激光點(diǎn)光源的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型為高斯分布;之后，針對(duì)一種檢驗(yàn)激光點(diǎn)光源發(fā)光均勻性的檢測(cè)方法并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本文的工作對(duì)于點(diǎn)光源的發(fā)光質(zhì)量評(píng)價(jià)有著一定指導(dǎo)意義;同時(shí)，對(duì)于光電系統(tǒng)的誤差分析也有很好的幫助作用。

2 基本推導(dǎo)

對(duì)于點(diǎn)光源所產(chǎn)生的絕對(duì)理想的波前，測(cè)量?jī)x器不可避免的檢測(cè)誤差，也會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)產(chǎn)生不規(guī)則的影響;另一方面，由于在實(shí)際的操作過程中的不可控因素(比如大氣湍流的擾動(dòng)以及隔振效果不理想)，實(shí)際得到的波前數(shù)據(jù)也是由各種不規(guī)則的起伏構(gòu)成。系統(tǒng)經(jīng)過去除掉低階波像差之后，分析其波前信息的過程與分析隨機(jī)過程的方法類似。

維納(Wiener)過程是愛因斯坦(Einstein)對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，建立的數(shù)學(xué)模型。其本質(zhì)在于針對(duì)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)內(nèi)部的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行了提煉，下面將參考維納(Wiener)過程對(duì)于點(diǎn)光源波前誤差進(jìn)行分析。

首先考慮無系統(tǒng)誤差的情況，按照維納過程的基本假設(shè)，在測(cè)量范圍內(nèi)，假定起始點(diǎn)的波前誤差為零，同時(shí)點(diǎn)光源波像差具有下述性質(zhì):

(1)波像差各坐標(biāo)分量都是獨(dú)立的，考慮其中一個(gè)分量，記為w(l)，對(duì)于任意相互不相交的區(qū)域，

有:w(d1)－ w(u1)，w(d2)－ w(u2)，…，w(dn)－w(un)，都相互獨(dú)立。

(2)理想的誤差應(yīng)為對(duì)稱分布，因而E{(w(l)}=0。

(3)w(l+Δ)－w(l)的分布與l無關(guān)，并且σ2(Δ)=E{(w(l+Δ)－w(l))2}存在且是Δ的連續(xù)函數(shù)。

設(shè)w(l)的分布密度函數(shù)為f(l，x)其特征函數(shù):

那么:

連續(xù)性可得:

又:

令s→0

由式(1)可得較為理想的點(diǎn)光源波像差應(yīng)服從高斯(Gauss)分布，由于系統(tǒng)帶有系統(tǒng)誤差，假設(shè)檢測(cè)得到的數(shù)據(jù)為 Φij=i+ δij，(j=1，…，n;i=1，…，k)，其中i表示水平i的理論平均值，稱為水平i的效應(yīng)，即像素i的系統(tǒng)波像差;而δij表示隨機(jī)誤差，服從式(1)所表示的分布。

對(duì)于點(diǎn)光源光源質(zhì)量評(píng)價(jià)，關(guān)心的是i是否相同，如果相同通過去除低階piston可以得到完全理想的波前，即點(diǎn)光源的系統(tǒng)誤差不顯著;在實(shí)際的應(yīng)用中，“顯著”指的是與隨機(jī)誤差比較，系統(tǒng)誤差達(dá)到了一定程度，而對(duì)于程度的定量分析，需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

所要檢驗(yàn)的假設(shè)為:H0:1=2=… =n

設(shè)總平方和為:

將總平方和分為兩部分，一部分表示由隨機(jī)誤差帶來的影響記為SSe，另一部分為各個(gè)水平的理論平均值之間的差異所造成的影響，即系統(tǒng)誤差，記為SSA。對(duì)于SSe做進(jìn)一步的分析:固定一個(gè)i，考慮其一切觀察值，他們之間的差異完全是由隨機(jī)誤差所造成，故可以將 SSe表示為:SSe=，通過兩者之差可以得到:

通過以上分析可得:對(duì)于較為理想的點(diǎn)光源，系統(tǒng)隨機(jī)波像差服從高斯(Gauss)分布，同時(shí)各個(gè)像元對(duì)應(yīng)的波像差，應(yīng)該有相近的系統(tǒng)波像差，即造成測(cè)量差異的主要是隨機(jī)誤差。

下面一節(jié)將結(jié)合理論分析，利用假設(shè)檢驗(yàn)的方法，提出一種對(duì)于實(shí)際點(diǎn)光源發(fā)光質(zhì)量的評(píng)價(jià)方案。

3 方案設(shè)計(jì)、驗(yàn)證與應(yīng)用

對(duì)于口徑較小的系統(tǒng)，該方法可以作為復(fù)檢檢具精度或者高精度測(cè)量時(shí)的方法，而對(duì)于大口徑系統(tǒng)，由于光學(xué)器件的尺寸以及光路的長(zhǎng)度增加的原因，該方法成為了誤差分配與分析時(shí)需要考慮的問題。

首先考慮小口徑系統(tǒng)直接測(cè)量的情況，對(duì)于實(shí)際的點(diǎn)光源，需要進(jìn)行多次測(cè)量，每次測(cè)量時(shí)都需要微量移動(dòng)點(diǎn)光源，并重新校準(zhǔn)一次。八鄰位是圖形處理中經(jīng)常使用的位置關(guān)系，一般來說得到像素點(diǎn)周圍八個(gè)點(diǎn)的信息，就可以較為全面的評(píng)價(jià)該像元，故為了盡量完整全面地分析點(diǎn)光源的發(fā)光質(zhì)量，需要至少進(jìn)行九次測(cè)量，對(duì)應(yīng)原點(diǎn)、四個(gè)象限及其角平分線。下面對(duì)于本文得到方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

本文使用PHASICS公司所生產(chǎn)的剪切干涉儀作為波前探測(cè)元件，其原理不同于使用微透鏡陣

由于δij服從高斯分布，故利用假設(shè)檢驗(yàn)，得到接受H0時(shí)，有:列進(jìn)行波前斜率測(cè)量的一代哈特曼波前傳感器，而是利用可以分離四個(gè)相位的衍波板，可以做到多像元，大視場(chǎng)測(cè)量快速測(cè)量;在測(cè)量之前，首先將點(diǎn)光源調(diào)節(jié)至剪切干涉儀的測(cè)量光軸，并進(jìn)行一次數(shù)據(jù)采集，結(jié)果如圖1所示，根據(jù)之前的方法，所有數(shù)據(jù)的平均值以及像素方差數(shù)據(jù)如圖2和圖3所示。

圖1 波前測(cè)量數(shù)據(jù)Fig．1 data ofwave － frontmeasurement

圖2 所有數(shù)據(jù)平均Fig．2 Average of all the data

圖3 各個(gè)像素點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)Fig．3 Data of standard variance of piexl

將以上數(shù)據(jù)代入式(2)可得:

由以上分析可得，在置信概率0．99下，可以接受激光點(diǎn)光源的系統(tǒng)誤差是均勻的，而對(duì)于隨機(jī)誤差的評(píng)價(jià)需要結(jié)合具體的誤差分配來討論。

對(duì)于下一代大口徑光電系統(tǒng)，30米望遠(yuǎn)鏡(TMT)計(jì)劃由美國(guó)加州理工學(xué)院(Caltech)、加州大學(xué)系統(tǒng)(UC)和加拿大大學(xué)天文研究聯(lián)盟聯(lián)合發(fā)起。其中中國(guó)承擔(dān)的三鏡系統(tǒng)主鏡為橢圓形平面鏡，長(zhǎng)軸為3．594 m，短軸為2．536 m。對(duì)于如此巨大的平面鏡反射系統(tǒng)，傳統(tǒng)上使用的檢測(cè)技術(shù)以及誤差分配標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)不再適用，需要利用子孔徑拼接與掃描技術(shù)。對(duì)于不同的檢測(cè)方案，都需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)而理想的光源，對(duì)于如此巨大口徑的系統(tǒng)的放大作用，對(duì)于檢測(cè)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)光源的隨機(jī)特性的要求會(huì)大幅升高。將符合前文分布的隨機(jī)誤差疊加到TMT三鏡仿真面形數(shù)據(jù)之上，如圖4所示，可以看出對(duì)于系統(tǒng)波像差造成了明顯影響，而小口徑系統(tǒng)(如鏡面上的一個(gè)小的子孔徑)，影響就比較小。具體的定量誤差分配需要進(jìn)一步的分析與分配。這將是之后工作的重點(diǎn)。

圖4 TMT三鏡波前Fig．4 Wave front of TMTM3

4 總結(jié)

本文引入方差分析來研究激光點(diǎn)光源的系統(tǒng)誤差以及隨機(jī)誤差。利用維納過程理論推導(dǎo)了理想激光點(diǎn)光源的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型為高斯分布;之后，對(duì)于小口徑系統(tǒng)，提出了一種檢驗(yàn)激光點(diǎn)光源發(fā)光均勻性的檢測(cè)方法。對(duì)于大口徑系統(tǒng)(如TMT)，具體的定量誤差分配需要進(jìn)一步的分析與分配。這將是之后工作的重點(diǎn)。本文的工作對(duì)于光電系統(tǒng)的誤差分析與分配有很好的指導(dǎo)作用。

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