基于LoG 算子改進的自適應閾值小波去噪算法

董 雪，林志賢，郭太良

（福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州350002）

1 引 言

隨著科學技術的進步，以及各種數碼產品和電子設備的日益普及，人們習慣于通過圖像或者視頻的形式獲取事物的信息，但圖像傳輸過程中會受到各種噪聲干擾，導致圖像質量降低［1］。因此，對圖像進行降噪處理以提高圖像質量就顯得尤為重要。傳統的小波閾值去噪算法由于閾值函數選取不恰當，以致去噪效果較差，同時去噪過程中會造成圖像邊緣信息的丟失，導致圖像模糊［2］。人眼視覺系統理論顯示，人眼對于邊緣等細節信息較敏感，因此邊緣信息的丟失會導致圖像視覺質量降低。

本文提出一種基于邊緣的自適應閾值小波去噪改進算法，首先利用LoG 算子提取圖像的邊緣信息。然后在分析、改進傳統自適應閾值函數的基礎上，對圖像非邊緣部分的閾值函數加入一個閾值誤差修正系數；對圖像邊緣部分，通過將邊緣部分小波系數附近的能量和閾值相結合，提出一種新的閾值函數。最后利用改進的閾值函數對圖像R、G、B 3個通道分別處理［3］。該算法能夠較好的保留圖像的邊緣特征，提升去噪后圖像的質量。

2 基于LoG 算子的邊緣檢測

常用的邊緣檢測算子是直接對圖像邊緣進行檢測得到突出邊緣信息的圖像，如Sobel算子，Prewitt算子，Canny算子，Roberts算子等，沒有考慮目標圖像封閉的輪廓內部包含的信息結構的保留，因此不適用于提取含噪圖像的邊緣輪廓。LoG 算子將拉普拉斯銳化濾波器和高斯平滑濾波器結合起來，先對圖像進行平滑處理去掉噪聲，再進行邊緣檢測，對噪聲有一定抑制作用，因此本文選擇用LoG 算子進行邊緣檢測，提取邊緣信息。

用LoG 算子提取邊緣信息時，首先對圖像進行平滑處理，然后用拉普拉斯算子對平滑圖像進行邊緣檢測，最后得到邊緣圖像，具體過程如下所示：

（1）假設原始圖像為f（x，y），對其進行平滑處理得到圖像g（x，y）：

其中：h（x，y）為平滑函數：

（2）平滑后的圖像g（x，y）相較于原始圖像f（x，y）會變模糊，標準差δ決定圖像的模糊程度。

再次對g（x，y）采用拉普拉斯算子進行邊緣檢測［4］，即：

2g（x，y）為拉普拉斯算子：

3 改進的自適應閾值小波去噪算法

3.1 數學模型以及算法介紹

傳統的基于邊緣的小波閾值去噪算法基本思路是：首先，用邊緣檢測算子對含噪圖像進行邊緣檢測；其次，對圖像邊緣部分和非邊緣進行小波分解，得到兩組小波系數，分別比較小波系數與閾值的大小；然后，利用閾值函數得到新的小波系數；最后，通過小波反變換，得到重構圖像［5］。其算法框架如圖1所示。

傳統的算法由于邊緣檢測算子選取不恰當，導致邊緣檢測圖像中比較粗糙，為后續去噪帶來一定難度。同時，傳統算法在邊緣部分圖像的閾值選取中，忽略了小波系數附近的能量對圖像的影響，造成圖像邊緣信息丟失，以致圖像模糊［6］。因此，本文對傳統的自適應閾值小波去噪算法進行了改進，為了保留圖像的所有細節信息，不再直接對圖像進行處理，而是先將圖像分解成R、G、B 3個通道，然后分別處理這3個通道。改進的算法在采用對噪聲有一定抵抗能力的LoG 算子提取邊緣信息的基礎之上，將邊緣部分小波系數附近的能量與修正閾值相結合，得到改進的閾值函數。本文提出的改進算法思路整體框架如圖2所示。

圖1 傳統的自適應閾值小波去噪算法框架Fig.1 Frame of traditional self－adaptive algorithm

圖2 改進的算法整體框架圖Fig.2 Whole frame of improved algorithm

為了進一步解釋算法的具體過程，本文將含噪圖像模型定義為：

其中：g（i，j）表示含噪圖像，f（i，j）表示未加噪的大小為M×N 的原始圖像，x（i，j）表示高斯噪聲［7］。

將含噪圖像g（i，j）分解成R、G、B 3個通道的灰色圖像，分別對各個通道用LoG 算子進行邊緣檢測，得到邊緣圖像，然后對含噪圖像和邊緣圖像進行相同尺度的小波分解，得到兩組小波系數Wj，k和Wj，k1。將得到的兩組小波系數相減得 到非邊緣圖像的小波系數Wj，k2，其次對邊緣圖像的小波系數和非邊緣圖像的小波系數分別用不同的改進的閾值函數處理，得到兩組新的小波系數＾Wj，k1和＾Wj，k2，將 新 得 到 的 兩 組 小 波 系 數 對 應 相加，得到一組去噪圖像的小波系數＾Wj，k，將得到的小波系數進行小波反變換，分別得到R、G、B 3個通道的重構圖像［8］。最后將R、G、B 3個通道的灰色重構圖像合成，得到去噪圖像p（i，j）。

3.2 改進算法最佳閾值及閾值函數的選取

硬閾值函數和軟閾值函數是小波閾值去噪中最常見的閾值函數。其表現形式為：

硬閾值函數：

軟閾值函數：

式中：Wj，k為含噪圖像經小波變換后得到的小波系數，＾Wj，k為經閾值處理后得到的小波系數，λ 表示閾值。

但上述閾值函數在消除圖像中的噪聲時，經常把圖像中的有效信息當作噪聲消除掉，以致圖像失真。針對該問題，本文提出一種改進算法，分別對非邊緣部分和邊緣部分使用新的閾值函數：

（1）對于圖像非邊緣部分，本文在軟閾值函數的基礎上加以改進。對大于閾值的小波系數，軟閾值函數只是求取小波系數與閾值的差值，雖然能夠有效去除噪聲，但是對圖像本身有效信息的小波系數造成了較大誤差，以致圖像信息的丟失，造成圖像模糊［9］，因此本文提出的改進閾值函數對閾值增加了一個閾值誤差修正系數，利用其與修正閾值之間的差值對其進行誤差修正，以減少失真。改進后的閾值函數定義為：

式中：s為閾值誤差修正系數，為0.5～1的常數。

該式中，對于非邊緣平滑部分，大于閾值的小波系數直接對小波系數作修正處理，小于閾值的小波系數直接為0。

（2）對于圖像邊緣部分，簡單對小波系數誤差修正不能保證圖像輪廓的清晰，繼續對閾值函數改進。由于小波變換后的高頻子圖集中了圖像的邊緣、輪廓對應位置的大部分能量，所以要考慮到小波系數附近的能量Ej，k，比較其與修正閾值的關系，若大于修正閾值的能量，直接求取小波系數附近能量與收縮閾值差的絕對值，再求取與1的差值，然后與小波系數相乘得到新的小波系數；小于修正閾值的小波系數直接設為0。定義改進后的閾值函數為：

其中：a表示控制小波系數收縮程度，為0.5～1的常數［10］。Ej，k表示圖像邊緣部分各個方向小波系數附近的能量，表達式為：

對于閾值λ的選取，本文選擇通用閾值，因為它在正態高斯噪聲模型下，針對多維獨立正態變量聯合分布，在維數趨向無窮時，大于該閾值的系數含有噪聲信號的概率趨于零：

其中：σ表示標準噪聲方差［11］。

4 實驗驗證

4.1 實驗結果

將本文算法與小波閾值去噪算法在Matlab環境中編程實現，實驗結果如圖3所示。其中閾值函數中閾值誤差修正系數s＝0.6，邊緣部分閾值函數中小波系數收縮程度α＝0.7，LoG 算子中δ＝2，模板選用最常用的5×5LoG 算子模板，如圖4所示。

圖3中，（a）表示未加噪的原始圖像，（b）表示對原始圖像200×100截圖加入均值為0，方差為0.02的高斯噪聲后的圖像［12］，（c）表示硬閾值處理圖像，（d）表示軟閾值處理圖像，（e）表示傳統的自適應算法處理圖像［6］，（f）表示本文提出的改進的自適應算法處理圖像。

實驗結果表明，硬閾值算法圖像中帽子、眼睛的輪廓雖然比較清晰，但是在保留圖像信息的同時大部分噪聲也被保留，圖像畫面過于粗糙。軟閾值算法和傳統的自適應算法圖像中帽子、眼睛看起來過于模糊，輪廓不夠清晰，而改進的自適應算法圖像中，帽子、眼睛的輪廓非常清晰，而且加入的噪聲都被消除掉，邊緣細節也比較明顯［13］。

圖3 Lena圖像各種去噪算法實驗結果Fig.3 Experimental results of Lena image with various denoising algorithm

圖4 5×5LoG 算子模板Fig.4LoG Template of 5×5

4.2 算法數據分析

為了進一步檢測改進的自適應算法的優越性，分別用均方差MSE、峰值信噪比PSNR、平均絕對誤差MAE 等標準來客觀的評價圖像的質量［14］。PSNR 反映去噪后的圖像與原圖像的吻合程度，一般情況下，PSNR 的值越高，表示失真越小，圖像質量越高。MAE是所有單個觀測值與算術平均值的偏差的絕對值的平均，數值越小，圖像越接近。本文采用最常用的MSE、PSNR、MAE的公式，分別如式（12）～（14）所示。

其中：M、N 分別表示圖像的長、寬。f（i，j）表示經處理過的圖像，p（i，j）表示原始圖像。

在Matlab環境中比較4.1節中未加噪原始圖像M×N 截圖與經算法處理后圖像的MSE、PSNR、MAE值［15］，其中M＝200，N＝100，結果如表1所示。

表1 200×100點陣Lena圖像去噪算法實驗結果對比表Tab.1 Comparison of denoising effects in different methods with Lena image

表2 720×576點陣Barbara圖像去噪實驗結果對比表Tab.1 Comparison of denoising effects in different methods with Barbara image

表1 中，改進的自適應算法的PSNR 值為26.05，高于硬閾值算法23.22%，軟 閾值算 法13.11%，傳統自適應算法12.09%，MAE 值為9.47，低 于 硬 閾 值 算 法45.5%，軟 閾 值 算 法25.79%，傳統自適應算法22%。

繼續在Matlab 環境中比較720×576 點陣Barbara 圖像與經算法處理后圖像的 MSE、PSNR、MAE值，實驗結果如表2所示。

表2 中，改進的自適應算法的PSNR 值為28.98，高于硬閾值算法33.30%，軟 閾值算 法9.03%，傳 統 自 適 應 算 法9.40%，MAE 值 為6.98，低 于 硬 閾 值 算 法56.84%，軟 閾 值 算 法21.49%，傳統自適應算法21.58%。

綜上數據表示，經改進的自適應算法處理的圖像與未加噪之前的圖像相比吻合度最高，失真最小，進一步證明了改進的自適應算法的優越性。

5 結 論

本文提出一種改進的自適應閾值小波去噪算法：在軟閾值函數的基礎上，對圖像非邊緣部分的閾值函數加入一個閾值修正系數；對圖像邊緣部分，通過將小波系數附近的能量應用到自適應閾值函數中，構建新的閾值函數；最后對圖像的R、G、B 3 個通道分別處理，保留圖像的所有細節信息。實驗結果和算法實驗數據分析表明，采用該算法對圖像進行去噪處理，消噪后圖像與含噪圖像的PSNR 值高于傳統自適應算法12.09%；MAE 值 低 于 傳 統 自 適 應 算 法22%。可以更好的解決邊緣信息容易丟失的問題，保留圖像的細節信息，改善圖像的質量，提高去噪效果。

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