一類非線性時滯積分不等式中未知函數的估計

覃永晝

(1.桂林電子科技大學數學與計算科學學院，廣西桂林541004;2.河池學院數學與統計學院，廣西宜州546300)

0 引言

眾所周知，研究非線性微分方程的重要工具之一是Gronwall-Bellman型積分不等式［1-2］.最基本的Gronwall-Bellman型積分不等式是指:如果c≥0是常數，u和f是區間［a，b］上的非負連續函數，滿足積分不等式

則

Bihari［3］對下面的積分不等式作出了重要貢獻:

其中a＞0是一個常數。

文獻［4］研究了時滯線性積分不等式

和弱奇異線性時滯積分不等式

本文受文獻［4］與文獻［5］的啟發，研究下面的非線性弱奇異時滯積分不等式

和

1 主要結論

在本文中， RR+=［0，+∞).

為了敘述方便，我們在給出主要研究結果之前先介紹幾個引理和定義。

定義1［5］:我們說函數w: RR+→ RR滿足條件(q)，如果

成立，其中R(t)是連續的非負函數，q和T是兩個正常數。

引理1［5］:(1)若β＞1/2，則有

(2)若β∈(0，1/2)，p=1+β，則有

引理2［6］(離散Jensen不等式):假設A1，A2，…，An是非負實數，r是大于1的實數，n是自然數，則有不等式成立。

引理3［7-8］(比較原理):假設w(t，x)是區域Ω:={(t，x):t，x∈ RR+}上的連續的實值函數，u(t)是 RR+上的可微函數。如果函數u(t)滿足不等式

又假設x(t)是微分方程

的最大解，而且有u(0)≤x(0).則有

現在給出我們的主要結果與證明。

定理1:假設a，b，c，u，φ是定義在區間［t0-r，T)上的連續非負函數，t0，r，T是正常數，函數w是定義在非負實數集 RR+上的非負函數，w滿足下列條件:

(1)次可加性，即對于任意t，s∈ RR+，不等式w(t+s)≤w(t)+w(s)成立;

(2)對于任意t∈［t0-r，T)，不等式w(t)≤Lt成立，L是正常數;

如果函數u滿足不等式(5)，則對任意t∈［t0，t0+r)有

對任意t∈［t0+r，T)有

證明:定義函數z(t)如下

那么z(t0)=0，u(t)≤a(t)+z(t)，z(t)是非負、非減單調函數，且有

如果t∈［t0，t0+r)那么由w滿足的條件，可以推出

另一方面，根據微分方程的常數變易公式知道下面微分方程

的解為

根據比較原理，即引理3，由式(17)我們可以推出

如果t∈［t0+r，T)，那么由w滿足的條件，可以推出

再次利用微分方程的常數變易公式和比較原理，由式(21)我們可以推出對任意t∈［t0+r，T)有

利用關系式u(t)≤a(t)+z(t)，由式(20)和式(22)得到我們要證明的結果式(14)和式(15)。

定理2:假設a，b，c，u，w，φ，r滿足定理1的條件，β是正常數，w還滿足(q)條件，即滿足不等式(7)。如果函數u滿足不等式(6)，則有下列估計式:

(1)當β＞1/2時，對任意t∈［t0，t0+r)有估計式

對任意t∈［t0+r，T)有估計式

上式中，函數A(t)，B(t)，C(t)，Φ(t)分別由

定義，其中λ=max{3，e2r}.

(2)當β∈(0，1/2］，p=1+β時，對任意t∈［t0，t0+r)有估計式

對任意t∈［t0+r，T)有

上式中，函數E(t)，F(t)，G(t)，Ψ(t)分別由

以及Ψ(t):=ρ［e-t0φ(t)］q定義，其中q=1+，ρ又由ρ=max{3，eqr}定義。

證明:(1)當β＞1/2時，對任意t∈［t0，T)，利用Cauchy-Schwarz不等式，由式(6)我們推出

因為函數w滿足(q)條件，利用定義1中的式(7)和引理1中的式(8)，由式(27)我們推出

對于任意t∈［t0，T)成立。利用引理2中的Jensen不等式(10)，由式(28)我們得到

我們觀察到當t∈［t0-r，t0)時，有v(t)=［e-tu(t)］2≤［e-tφ(t)］2≤e2r［e-t0φ(t)］2≤λ［e-t0φ(t)］2.根據函數A(t)，B(t)，C(t)的定義:

由式(30)我們看出

其中Φ(t)=λ［e-t0φ(t)］2.不等式(31)具有不等式(5)的形式，并且函數A(t)，B(t)，C(t)滿足定理1中的相應條件。根據定理1，由式(31)，我們得到所要證明的結果式(23)和式(24)。

因為函數w滿足(q)條件，利用定義1中的式(7)和引理1中的式(9)，由式(32)我們推出

對于任意t∈［t0，T)成立。利用引理2中的Jensen不等式(11)，由式(33)我們得到

令v(t)=［e-tu(t)］q，ρ=max{3，eqr}，由式(34)我們有

我們觀察到當t∈［t0-r，t0)時，有v(t)=［e-tu(t)］q≤［e-tφ(t)］q≤eqr［e-t0φ(t)］q≤ρ［e-t0φ(t)］q.根據函數E(t)，F(t)，G(t)的定義:

由式(35)我們看出

其中Ψ(t)=ρ［e-t0φ(t)］q.不等式(36)具有不等式(5)的形式，并且函數E(t)，F(t)，G(t)滿足定理1中的相應條件，根據定理1，由式(36)，我們得到所要證明的結果式(25)和式(26)。

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