覃永晝
(1.桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西桂林541004;2.河池學院數學與統計學院,廣西宜州546300)
眾所周知,研究非線性微分方程的重要工具之一是Gronwall-Bellman型積分不等式[1-2].最基本的Gronwall-Bellman型積分不等式是指:如果c≥0是常數,u和f是區間[a,b]上的非負連續函數,滿足積分不等式

則

Bihari[3]對下面的積分不等式作出了重要貢獻:

其中a>0是一個常數。
文獻[4]研究了時滯線性積分不等式

和弱奇異線性時滯積分不等式

本文受文獻[4]與文獻[5]的啟發,研究下面的非線性弱奇異時滯積分不等式

和

在本文中, RR+=[0,+∞).
為了敘述方便,我們在給出主要研究結果之前先介紹幾個引理和定義。
定義1[5]:我們說函數w: RR+→ RR滿足條件(q),如果

成立,其中R(t)是連續的非負函數,q和T是兩個正常數。
引理1[5]:(1)若β>1/2,則有

(2)若β∈(0,1/2),p=1+β,則有

引理2[6](離散Jensen不等式):假設A1,A2,…,An是非負實數,r是大于1的實數,n是自然數,則有不等式成立。

引理3[7-8](比較原理):假設w(t,x)是區域Ω:={(t,x):t,x∈ RR+}上的連續的實值函數,u(t)是 RR+上的可微函數。如果函數u(t)滿足不等式

又假設x(t)是微分方程

的最大解,而且有u(0)≤x(0).則有

現在給出我們的主要結果與證明。
定理1:假設a,b,c,u,φ是定義在區間[t0-r,T)上的連續非負函數,t0,r,T是正常數,函數w是定義在非負實數集 RR+上的非負函數,w滿足下列條件:
(1)次可加性,即對于任意t,s∈ RR+,不等式w(t+s)≤w(t)+w(s)成立;
(2)對于任意t∈[t0-r,T),不等式w(t)≤Lt成立,L是正常數;
如果函數u滿足不等式(5),則對任意t∈[t0,t0+r)有

對任意t∈[t0+r,T)有

證明:定義函數z(t)如下

那么z(t0)=0,u(t)≤a(t)+z(t),z(t)是非負、非減單調函數,且有

如果t∈[t0,t0+r)那么由w滿足的條件,可以推出

另一方面,根據微分方程的常數變易公式知道下面微分方程

的解為

根據比較原理,即引理3,由式(17)我們可以推出

如果t∈[t0+r,T),那么由w滿足的條件,可以推出

再次利用微分方程的常數變易公式和比較原理,由式(21)我們可以推出對任意t∈[t0+r,T)有

利用關系式u(t)≤a(t)+z(t),由式(20)和式(22)得到我們要證明的結果式(14)和式(15)。
定理2:假設a,b,c,u,w,φ,r滿足定理1的條件,β是正常數,w還滿足(q)條件,即滿足不等式(7)。如果函數u滿足不等式(6),則有下列估計式:
(1)當β>1/2時,對任意t∈[t0,t0+r)有估計式

對任意t∈[t0+r,T)有估計式


上式中,函數A(t),B(t),C(t),Φ(t)分別由

定義,其中λ=max{3,e2r}.
(2)當β∈(0,1/2],p=1+β時,對任意t∈[t0,t0+r)有估計式

對任意t∈[t0+r,T)有

上式中,函數E(t),F(t),G(t),Ψ(t)分別由

以及Ψ(t):=ρ[e-t0φ(t)]q定義,其中q=1+,ρ又由ρ=max{3,eqr}定義。
證明:(1)當β>1/2時,對任意t∈[t0,T),利用Cauchy-Schwarz不等式,由式(6)我們推出

因為函數w滿足(q)條件,利用定義1中的式(7)和引理1中的式(8),由式(27)我們推出

對于任意t∈[t0,T)成立。利用引理2中的Jensen不等式(10),由式(28)我們得到


我們觀察到當t∈[t0-r,t0)時,有v(t)=[e-tu(t)]2≤[e-tφ(t)]2≤e2r[e-t0φ(t)]2≤λ[e-t0φ(t)]2.根據函數A(t),B(t),C(t)的定義:

由式(30)我們看出

其中Φ(t)=λ[e-t0φ(t)]2.不等式(31)具有不等式(5)的形式,并且函數A(t),B(t),C(t)滿足定理1中的相應條件。根據定理1,由式(31),我們得到所要證明的結果式(23)和式(24)。

因為函數w滿足(q)條件,利用定義1中的式(7)和引理1中的式(9),由式(32)我們推出

對于任意t∈[t0,T)成立。利用引理2中的Jensen不等式(11),由式(33)我們得到
令v(t)=[e-tu(t)]q,ρ=max{3,eqr},由式(34)我們有

我們觀察到當t∈[t0-r,t0)時,有v(t)=[e-tu(t)]q≤[e-tφ(t)]q≤eqr[e-t0φ(t)]q≤ρ[e-t0φ(t)]q.根據函數E(t),F(t),G(t)的定義:



由式(35)我們看出

其中Ψ(t)=ρ[e-t0φ(t)]q.不等式(36)具有不等式(5)的形式,并且函數E(t),F(t),G(t)滿足定理1中的相應條件,根據定理1,由式(36),我們得到所要證明的結果式(25)和式(26)。
[1] Gronwall T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Ann Math,1919,20:292-296.
[2] Bellman R.The stability of solutions of linear differential equations[J].Duke Math J,1943,10:643-647.
[3] Bihari I A.A generalization of a lemma of Bellman and its application touniqueness problem of differential equation[J].Acta Math Acad Sci Hung,1956,7:81-94.
[4] Ye H,Gao J.Henry–Gronwall type retarded integral inequalities and their applications to fractional differential equations with delay[J].Applied Mathematics and Computation,2011,218:4 152-4 160.
[5] Medved M.A new approach to an analysis of Henry type integral inequalities and their Bihari type versions[J].J Math Anal Appl,1997,214:349-366.
[6] M Kuczma.An introduction to the theory of functional equations and inequalities:Cauchy’s equation and Jensen’s inequality[M].Katowice:U-niversity of Katowice,1985.
[7] Wlter W.Differential and Integral Inequalities[M].Berlin,Ner York:Springer-Verlag,1970.
[8] B G Pachpatte.Comparison theorems related to a certain inequality used in the theory of differential equations[J].J Math,1996,22:383-394.
[9] Medved M.On singular versions of Bihari and Wendroff-Pachpatte type integral inequalities and their application[J].Tatra Mt Math Publ,2007,38:163-174.
[10] Ye H,Gao J,Ding Y.A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation[J].J Math Anal Appl,2007,328:1 075-1 081.