基于匹配追蹤算法的波達方向估計方法＊

鄭生華，李景峰

（中國電子科技集團第三十八研究所，安徽合肥230088）

0 引言

在雷達、聲納、通信和電子戰等領域中，確定接收信號的DOA參數具有重要意義。DOA估計的波束形成法將陣列輸出加權求和，使陣列天線方向圖主瓣指向所需方向上，對期望信號得到最大輸出功率的方向為信號源的DOA估計值。在波束形成器中，Bartlett波束形成器基于經典Fourier分析對傳感器陣列數據進行延時相加處理，使波束形成器的輸出功率對于某個入射信號為最大。和周期譜圖譜估計類似，其分辨率低。為了克服這個缺點，Capon最小方差法使用一部分自由度在期望觀測方向形成一個波束，同時利用剩余的自由度在干擾信號方向形成零陷來提高Bartlett波束形成器的性能。

波束形成器分辨率受限于瑞利限，而天線的波束寬度與陣列的孔徑密切相關，為了獲得超過瑞利限的更高DOA分辨率，可采用基于子空間的超分辨算法。其中，典型代表是Schmidt提出的多重信號分類（MUSIC）算法［1］和Roy等人提出的借助旋轉不變技術估計信號參數（ESPRIT）算法及其修正算法［2－3］。這些算法是把線性空間概念引入到參數估計中，屬于特征結構的子空間方法。其中，MUSIC算法通過構建所謂的MUSIC空間譜，根據其譜峰所對應的角度來確定DOA。由文獻［1］的分析可知，只要數據長度足夠長或信噪比足夠高，且信號模型準確，MUSIC算法就可得到任意精度的DOA估計值。但在低信噪比和小樣本情況下，分辨率損失較大，尤其對于高度相關信號更是如此。ESPRIT算法采用對稱子陣的特殊陣列結構，根據子陣輸出協方差矩陣之間的旋轉不變性估計信號參數。基于特征子空間的DOA估計算法，為了準確獲得信號子空間，需具有空間信號源數目的先驗知識，或通過估計來確定信號源的數目。通過對以上常用DOA估計算法的研究和最大似然算法［4－5］思想的啟發，本文提出了基于匹配追蹤原理的多輻射源DOA估計新算法。該算法的主要優點有：低信噪比下增強的分辨率；不需要信源數的先驗信息；不受不同方向到達信號相干性的影響且算法直接給出DOA估計值及其對應的幅度等。

1 Hilbert空間上的MP算法

匹配跟蹤算法［6］（MP）是Mallat和Zhang提出的一種信號稀疏表示的基于迭代的貪心算法。算法將任意信號分解為一個從冗余字典中選擇函數波形的線性展開，選擇這些函數波形使其與信號結構最匹配，從而在一個冗余波形集上展開函數。

設H為一Hilbert空間，D＝（gγ）γ∈Γ，‖gγ‖＝1為此空間的過完備字典。對于字典D，如果其中的原子能夠張成N維歐式空間RN，則D稱為完備字典，而當原子的數目Γ＞N時，字典D是冗余的，如果還能張成N維歐式空間RN，則稱此時的字典是過完備的。令f∈H，在D中選擇的一個矢量集上，計算f的一個線性展開，使其與信號的內部結構最匹配，這可通過f在D中元素上的正交投影逐次逼近得到。

令gγ0∈D，則f可分解為：

式中，Rf是分解后的余量，顯然，f在gγ0方向上分解逼近后，gγ0與Rf正交，因此下式成立：

為了最小化‖Rf‖，應該選擇gγ0∈D使｜〈f，gγ0〉｜最大化，即可找到一個gγ0在如下意義上是最佳的：

式中，α是優化因子，0＜α≤1。

MP算法通過迭代將Rf再次分解，將其投影到D中一個矢量上，使其與Rf最佳匹配，這個過程重復進行，然后得到下一個余量。

令R0f＝f，假設已經計算出的第n次分解后的余量為Rnf，n≥0，按照上述步驟選擇一個元素gγ0∈D與余量Rnf匹配，使其滿足：

Rnf再次分解的表示式為：

顯然，n＋1階余量Rn＋1f與gγn正交。

經過m次迭代分解，信號f就被分解為：

進一步可表示為：

同樣，‖f‖2可表示為：

由式（6）得到能量守恒方程：

通過選擇字典元素，使其不斷與分解余量最佳匹配，在第m步時滿足迭代終止準則，則信號f被分解為字典元素的一個和，這種分解是非線性的，則通過式（8）的和式恢復信號，逼近誤差為Rmf。

2 基于匹配追蹤的DOA估計

在DOA估計中，一般只有少數方向上包含入射到陣面上的信號。因此，DOA估計問題的解是稀疏的［7－8］。MP算法是信號稀疏分解的一種有效算法。MP算法應用于DOA估計時，算法通過確定一個來自大冗余矢量集的小的矢量子集來選擇信號分解的一個基，將其匹配給定陣列數據矢量。這個矢量集通過天線陣元的可能輸出建模，選擇這些陣元的正確的線性組合問題就等效選擇準確的DOA。

考慮N單元天線陣。這些陣的輸出是一個N×1的矢量x。通常x對應來自不同方向信號的線性組合。如果考慮x的第i和第j單元，則xi和xj包含不同相移的相同信號，且依賴于入射信號的DOA和它們之間的距離。DOA估計問題就是從觀測數據x分辨每一入射信號的DOA。

基于匹配追蹤算法DOA估計的系統模型如圖1所示，天線接收的信號經接收機放大、濾波和下變頻之后再進行數字化，輸入匹配追蹤算法模塊的為數字陣列數據，字典中存儲用于MP算法分解的信號原子。

假設入射信號波前為平面波。接收信號矢量為x，對于等距線性陣列（ULA），字典D為：

式中，φi為信號來自θi的陣元間的相位差，φi＝2πd／λcos（θi），λ為波長，d為陣元間距。

圖1 基于匹配追蹤算法DOA估計的系統模型

對于（1）式中的DOA，其可能范圍分為N部分，形成DOA估計問題的原子，這些原子構成字典D。大小為M×1的接收信號矢量是字典D的列和噪聲的線性組合，依賴于入射信號的DOA。因此，DOA估計問題就轉化為尋找D的列的正確線性組合的問題。

當信號只來自一個獨立的角度時，問題很直接，基于匹配追蹤算法選擇D的列使其與接收信號矢量x的內積最大，達到最佳匹配。然而當信號來自更多方向時，x是D的列線性組合，嘗試每一可能的線性組合將給出問題的最大似然解。匹配追蹤算法的原子選擇具有很大的靈活性，可根據先驗信息或預定的分辨率和扇形區域確定字典中的原子。MP算法通過選擇字典D的列構成分解陣列接收矢量x的原子，這些列原子就對應于所需估計的信號DOA，同時算法還返回這些列原子的系數，系數對應DOA估計的幅度。

3 仿真實驗和分析

為了驗證所提方法的有效性，進行下列計算機模擬實驗。仿真中采用16陣元的等距線陣，陣元間距為半波長。

對于輻射源為線性調頻波形，分別仿真了單個輻射源（入射角為10°）和三個輻射源（入射角為10°、35°和65°）情況。圖2給出了單個輻射源的信號波形和到達角分布圖。從圖2可以看出：對于單個LFM輻射源，MP算法在入射信號角度處形成一個尖銳的峰值，準確給出入射信號的DOA估計。

圖3給出了三個輻射源的到達角分布圖。從圖3可以看出：對于三個LFM輻射源，MP算法在三個入射信號角度處形成尖銳的峰值，準確給出入射信號的DOA估計，同時圖中也出現了估計的誤差余量，但誤差余量相對于信號DOA非常小，對DOA估計結果的影響幾乎可以忽略不計。

圖2 單個LFM輻射源的到達角分布圖

圖3 三個LFM輻射源的到達角分布圖

4 結束語

本文的分析仿真表明，基于匹配追蹤的DOA估計算法具有比常用波束形成和子空間類算法優越的性能，該算法可以同時給出輻射源的DOA和其對應的幅度輸出，算法不要求入射輻射源數目的先驗知識，無需預處理，另外算法不受來自不同輻射源信號的相關性的影響，這一點在多徑情況下具有實用價值，而且算法在低信噪比和小快拍數的情況下仍具有較好的到達角分辨特性。■

［1］ Schmidt RO.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Trans.on Antennas and Propagation，1986，34：176－280.

［2］ Roy R，Kailath T.ESPRIT－estimation of signal parameters via rotational invariance techniques［J］.IEEE Trans.on Acoust.，Speech，Signal Processing，1989，37：984－995.

［3］ Roy R，Paulraj A，Kailath T.ESPRIT－A subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise［J］.IEEE Trans.ASSP，1986，34（5）：1340－1342.

［4］ Stoica P，Sharman K.Maximum likelihood methods for direction－of－arrival estimation［J］.IEEE Trans.on A－coustics，Speech，Signal Processing，38（7）：1132－1143，1990.

［5］ Stoica P，Nehorai A.MUSIC，maximum likelihood，and Cramer－Rao bound［J］.IEEE Trans.on Acoustics，Speech，Signal Processing，37（5）：720－741，1989.

［6］ Mallat S，Zhang Z.Matching pursuits with time－frequency dictionaries［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，1993，41（12）：3397－3415.

［7］ Karabulut GZ，Kurt T，Yongacoglu A.Estimation of directions of arrival by matching pursuit（EDAMP）［J］.EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking，2005，2：197－205.

［8］ Cotter SF.A two stage matching pursuit based algorithm for DOA estimation in fast time－varying environments［C］∥Wales，UK：Proceedings of 15thIntl.Conf.on Digital Signal Processing，2007：63－66.