一種分塊壓縮感知變采樣率的指紋圖像水印算法*

趙慧民，蔡 君，魏文國

(廣東技術師范學院電子與信息學院,廣東 廣州 510665)

數字內容保護是多媒體信息安全應用的一個重要組成部分。數字媒體的特點使得對其內容的修改和攻擊十分容易，越來越多的新技術被用于對數字媒體進行不留明顯痕跡的更改和編輯，使數字媒體內容的真實性存在很大的疑問，阻礙了數字信息在重要、正式場合的應用[1-3]。目前，解決這一問題的一個主流方法是基于數字水印實現的主動認證技術。數字水印數據一般需要通過酉變換(如FFT、DCT、DWT或DCT+DWT等)對圖像進行處理后，再結合隨機擾亂和加密產生。但是，從數字信號處理和信息理論來看，這種技術的最大問題是，以酉變換為準則得到的水印數據很難折中水印碼長、嵌入容量、水印透明性以及魯棒性之間的關系[4-5]。

近年來一個新的理論—壓縮感知在信號處理中的出現引起了學術界的特別關注。 壓縮感知(Compressed Sensing,簡稱CS)理論由美國科學院院士D.Donoho、E.Candes 及菲爾茲獎獲得者華裔數學家陶哲軒等人所開創。CS的原理是將圖像數據的壓縮與采樣合并進行。其核心技術是信號的稀疏變換、稀疏信號的非相關測量矩陣及信號的重建算法，它突破了Shannon’s/Nyquist采樣理論的極限，能夠以隨機采樣的方式用更少的數據采樣點來準確地恢復原始信號。因此，CS 觀測值作為原圖像的完整描述，涵蓋了其所有的特征并且數據量遠少于原圖像,符合水印透明性對數據量的要求。CS 觀測值所具有的計算保密性(Computational secrecy) 保證了攻擊者在不具備密鑰先驗知識的情況下無法通過觀測值推測原始圖像的內容,滿足了水印對安全性的要求。因此，與現有其他水印算法相比,基于CS的水印算法對原始圖像的信息提取更加全面、安全性更好。

另一方面，用生物指紋數據作為水印是信息隱藏及其保密電子信息交互研究的焦點。它需要安全地保護指紋圖像數據，且可逆地提取圖像特征并構造完整性指紋[6-9]。

綜合壓縮感知生成水印數據的特點以及指紋圖像水印化的要求，本文提出了一種基于分塊壓縮感知的指紋圖像水印算法(Block compressive sensing based fingerprint image Watermarking,BCSW)，用以解決數字圖像信息認證和版權保護的準確性和安全性問題。

本文對指紋圖像進行DWT變換，并在變換的每一級每個子帶根據指紋特征數據大小對圖像進行分塊且同時進行多尺度變采樣率觀測，這樣保證了水印數據量的問題。接著，再對所有圖像子塊觀測值組合并生成隨機水印數據，并嵌入到載體圖像的系數中。指紋圖像恢復時，在DWT域利用多尺度變換和SCS-SPL技術高精度重構指紋圖像，這樣解決了指紋圖像的可靠性恢復和完整性的應用目的。

1 分塊CS采樣與BCS-SPL技術

CS理論說明[7]，假設信號x∈RN為從M個采樣信號中獲得的長度為N的信號，且M?N。那么，我們可以從(1)式中恢復信號x：

y=Ax

(1)

其中，y的長度為M，而A為M×N測量矩陣(也稱為觀測矩陣)，且具有子采樣率S=M/N。如果x在某個變換矩陣Ψ(如DCT，DWT等)下是稀疏的，即有：

x=Ψα,‖α‖0

(2)

這里，α為稀疏系數，‖α‖0表示0-范數，即稀疏系數非0的個數。這時，(1)式變為：

y=AΨα

(3)

可以證明，當測量維數滿足K

對于一維信號測量矩陣A可采用高斯隨機矩陣或伯努利二值隨機矩陣等生成。但是，對于二維圖像信號，N的長度非常大，如128×128的圖像N的長度為104等級。因此，A的計算量很大且難以存儲。這樣，CS在2D圖像中應用受到較大限制。為此，文獻[10]提出一個分塊CS技術(Block-based CS,BCS)。在BCS中，一個圖像被分成B×B塊，并使用一個近似大小的測量矩陣進行采樣。假設xi表示了通過Z行掃描輸入的第i個圖像塊的向量，那么有：

yi=Φ·xi

(4)

其中，Φ為MB×B2大小的測量矩陣。因此,整個圖像的采樣子率為S=MB/B2。這時，(1)式中整個圖像的測量矩陣A具有對角型結構性矩陣A=diag(Φ)，其形式為：

(5)

在文獻[10]提出的BCS算法中，圖像的采樣通過分塊基的隨機矩陣實現，而圖像的重構結合平滑濾波器由投影Landweber算法實現。因此，它的整個實現技術稱為BCS-SPL。BCS-SPL技術在采樣觀測端實現了對圖像結構的近似描述，而在圖像恢復時實現了高精度逼近。因此，利用BCS-SPL技術對指紋圖像進行水印化處理可以充分利用水印數據的稀疏表示性和隨機性特點，同時能夠兼顧主動信息認證對指紋圖像重構的準確性要求[11]。這就是本文研究應用的出發點。

2 指紋圖像的多尺度BCSW算法

2.1 DWT對指紋圖像的BCS采樣設置

指紋圖像是方向性極強的紋理圖像，因此，結合多尺度DWT域對BCS-SPL算法的實現研究，我們利用(5)式對指紋圖像進行方向性觀測。把測量矩陣A分成兩個部分：一個是DWT多尺度變換矩陣Ω，另一個是多尺度分塊測量矩陣Φ′，即A=Φ′Ω。這時圖像的觀測結果為

y=Φ′Ω·x

(6)

(7)

由于不同級的小波分解對圖像重構有不同的重要性，因此，本文在每一個l級都會調整采樣過程以產生不同的采樣子率Sl。其中，設置DWT基帶子率為全采樣子率，即S0=1。

設Wl為l級的子率加權系數，那么l級的子率Sl為

Sl=Wl·S′

(8)

則，整個圖像的采樣子率為

(9)

可見，當已知圖像的目標采樣率S和加權系數Wl后，由(9)式很容易求出S′，由此再通過(8)式得到l級的子率Sl。但是，這種處理會產生一個或多個Sl>1的情況。所以，我們必須要對此進行改進并迫使所有l級情況下Sl≤1。由(8)和(9)式求得S′和S1后，我們檢查是否S1>1。如果S1>1成立，設置S1=1，代入(9)式，可以得到：

(10)

求出S′，再次通過(8)式重新確定l=2,…,L情況下的子率Sl。重復此過程，直到所有l級情況下Sl≤1。

特別地，經過多次實驗，子率加權系數Wl通過下式確定：

Wl=16L-l+1

(11)

2.2 BCSW數據的構造

圖像作為對成像場景的一個采樣,其像素數量的下限是受采樣定律限制的。 而CS突破了采樣定律的限制,可以進一步通過線性投影的方式將圖像映射成一個更為簡潔的形式[12]。圖1為本文提出的BCSW的實現過程。

圖1 BCSW實現過程

在圖1中，首先將原始指紋圖像進行9/7 Harr小波變換，在每級每個子帶上進行Bl×Bl分塊,再對各子塊進行BCS采樣設置，并通過觀測矩陣Φl對各個子塊進行變采樣觀測,最后將觀測值組合在一起生成水印數。圖中，圖像分塊的大小由期望生成的水印數據量和指紋圖像的重構精度決定。

(12)

由于采用了CS理論,所以水印的生成僅是一個簡單的線性投影過程。水印生成的時間復雜度取決于觀測矩陣的大小。設生成BCSW觀測矩陣的種子為k1，分塊大小策略為k2，那么k1和k2可以作為水印密鑰進行保存。 將水印密鑰k1和k2注冊到相關內容認證和完整性保護數據庫中,并獲得一個唯一的注冊ID號,該ID號與圖像信息、水印密鑰信息均登記在案,如此指紋圖像即處在水印技術的保護之下了。

為了進一步提高水印數據的安全性，基于擴頻技術原理，本文用擴頻系數cr對圖像觀測數據的二進制水印序列YW={yi,i=1,2,...,M}進行處理，經過擴頻形成擴展序列E，再與密鑰隨機種子函數s=randseed(K,M)進行置亂調制形成水印數據向量基W：

yi={y1,y2,…,yM},yi∈{0,1},i∈M

(13)

E={e1,e2,…,en},ei=yi,

j·cr≤i≤(j+1)·cr,cr>1,i,j,cr∈M

(14)

(1 5)

(16)

這里，我們把W的擴展過程作為密鑰k3。

2.3 BCSW數據的嵌入

嵌入BCSW數據時，首先要對載體圖像進行處理，然后根據HVS特性選擇嵌入區域。具體實現過程如下：

1)對大小為N×N的載體圖像I進行DWT分解成l級，并選擇LLl作為嵌入區域。這里l的大小是由水印的不可見性、魯棒性要求以及抗攻擊能力經過實驗綜合決定。

2)LLl子帶劃分成大小為Mk×Mk的子塊Bk。其中，Bk的數量K和載體圖像大小N以及分級l的關系為N=Mk×K×2l。

3)按照公式(17)量化LLl的系數并嵌入BCSW數據到所有子塊中。

(17)

4)運用嵌入水印數據后新的小波系數重構載體圖像。

在嵌入水印數據實驗時，量化步長Q的選擇是影響圖像質量的關鍵因素。量化步長要滿足良好視覺效果情況下，保持水印具有較好的魯棒性。本文通過載體圖像信息熵和嵌入的子塊Bk的大小共同確定Q值。載體圖像信息熵為

(18)

(19)

λ為量化步長的調節因子。

2.4 BCSW數據的檢測和提取

(20)

圖2 BCSW數據的檢測和提取過程

2.5 根據BCSW重構指紋圖像

針對信息認證的準確性，需要能夠得到高質量的二維原始水印信號。因此，這里我們借鑒CS理論的BCS-SPL重構算法來恢復原始指紋圖像。設指紋圖像第l級子帶s上的第j塊數據的初始估計條件為

(21)

那么，根據BCS-SPL算法得到整幅指紋圖像數據的迭代過程如下：

(22)

(23)

3 實驗結果

為了分析本文提出算法對指紋圖像保護內容的實現性能，我們使用512×512 Lenna和Pepper作為載體圖像，并通過Veridicom公司指紋傳感器FPS200采集256×256的灰度指紋圖像作為水印圖像。實驗時，指紋圖像使用3級9/7 Harr基DWT作為尺度因子，用標準偽隨機數均勻分布序列矩陣U、V和中心傅立葉變換F生成隨機測量矩陣Ф=UFV。通過Ф對稀疏后的圖像第l級子塊Bl×Bl進行隨機觀測和采樣，其中l= 1,2,3時Bl= 16,32,和64。當子采樣率S=0.1，圖3(b)、(c)、 (d)分別說明了稀疏度K=0.66,0.59,0.5對指紋圖像的一種觀測結果。

圖3 原始指紋圖像的BCS觀測值

3.1 圖像的透明性分析

把圖3的指紋觀測值150×256的數據作為水印信息分別嵌入到Lenna和Pepper圖像中，其中載體圖像的量化步長為Q=35，圖4說明了實驗結果。為了說明原始載體圖像與嵌入指紋水印后混合載體圖像的本質區別，圖5用直方統計圖說明了信號強度統計曲線。由圖可見，原始載體圖像和混合載體圖像直方圖相似，說明了圖像的透明性較好。

圖4 圖像的透明性分析

圖5 Lena和Pepper圖像的直方統計圖

3.2 水印的魯棒性分析

為了分析水印的魯棒性，當S=0.1和Q=35時，我們分別用不同的攻擊行為對嵌入指紋數據的混合載體圖像進行攻擊實驗。攻擊行為包括對圖像進行JPEG壓縮，高斯噪聲，中值濾波以及圖像的馬賽克攻擊。圖6分別說明了攻擊后混合載體圖像相似性值NC的結果，，并在同等實驗條件下分別和文獻[13]的聯合DWT水印算法以及DCT水印算法以及文獻[14]的W-SVD算法進行了比較。

4 結 論

在DWT域基于BCS和可變采樣率，本文提出了一種分塊壓縮感知的指紋圖像水印實現算法。指紋圖像通過壓縮感知獲得的觀測值包含了原始指紋圖像攜帶的關鍵信息,可以簡潔而全面地表征圖像的全部特征。以觀測值作為水印具有操作簡單(僅需要通過一個線性變換即可)、透明性好、抵抗攻擊能力強和保密性高等優點,而且攻擊后提取的指紋數據可以通過水印信息高概率恢復，滿足了對指紋圖像安全性保護要求較高的應用場合。

圖6 不同攻擊條件下相似性值NC的比較結果

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