軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場中混凝土圓柱體熱應(yīng)力的解析分析*

梁 磊，趙 文，李 藝

(1.盤錦市建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督站，遼寧 盤錦 124010；2.東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院 ，遼寧 沈陽 110819)

圓筒在溫度場中的熱應(yīng)力，呂運(yùn)冰[1]、Ding H J[2]、紹珠山[3]等做了大量的研究工作，但是應(yīng)用于混凝土的較少。在現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程中，混凝土承受50 ℃以上溫度荷載的情況日益增多，包括諸如承壓熔爐、煙囪、核反應(yīng)堆等工業(yè)安裝裝置[4-5]。此時(shí)，溫度變化產(chǎn)生的脹縮受到外部或內(nèi)部約束的限制而不能自由進(jìn)行，結(jié)構(gòu)或部件的內(nèi)部將有熱應(yīng)力產(chǎn)生。

本文結(jié)合課題，主要考慮貯存核廢料的混凝土容器—混凝土桶內(nèi)核廢料長期衰變放熱達(dá)到穩(wěn)定溫度場時(shí)的情況，對(duì)其進(jìn)行熱應(yīng)力的解析分析。利用混凝土圓柱體的測溫試驗(yàn)和Matlab7.0軟件，得到了算例的熱應(yīng)力解析解。從而得到了一種通過布點(diǎn)進(jìn)行溫度測試，由擬合的溫度場應(yīng)用熱應(yīng)力解析分析來求解軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場中混凝土圓柱體的熱應(yīng)力的方法。

1 軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場的解法思想

由文獻(xiàn)[6]可知，對(duì)于圓筒或圓柱體，無內(nèi)熱源的穩(wěn)定溫度場的熱傳導(dǎo)微分方程為

(1)

此時(shí)屬于軸對(duì)稱問題。各處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量都對(duì)稱于z軸，這些物理量只是r和z的函數(shù)，不隨θ變化，忽略體力的應(yīng)力可由位移和溫差表達(dá)[7]：

(2)

式中，u、w為質(zhì)點(diǎn)沿r方向、z軸的位移；T為溫度變化；G為剪切彈性模量，G=E/[2(1+μ)]；β為熱應(yīng)力系數(shù)，β=αE/(1-2μ)；μ為泊松比，假定其為常數(shù)；α為線膨脹系數(shù)，假定其為常數(shù)。

通過位移法，利用位移勢函數(shù)，見式(3)，可得到應(yīng)力表達(dá)如式(4)[6]：

(3)

(4)

由Ψ解得的非奇次特解往往不滿足邊界條件，因此引入能使基本方程成為雙調(diào)和方程的Love函數(shù)。由等溫彈性理論及式(2)，L對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為：

(5)

取L=-EL*∕(1+μ)，將其代入式(5)中應(yīng)力分量表達(dá)式，并把得到的結(jié)果與式(4)中的應(yīng)力分量相疊加，得到：

(6)

2 軸向溫度有變化時(shí)熱應(yīng)力分析

對(duì)于軸向溫度有變化的軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場，利用分離變量法，令T=R(r)·Z(z)，從式(1)解得：

(7)

其中X為常數(shù)，對(duì)于圓筒頂端和底端同時(shí)受熱的情況，以其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，有Z(z)=Z(-z)。當(dāng)X=0時(shí)，解得軸向溫度為常數(shù)，這不符合軸向溫度變化，因此考慮X不為零的情況。

2.1 軸向溫度為指數(shù)函數(shù)時(shí)圓筒的熱應(yīng)力

當(dāng)X<0，設(shè)X=-m2(m≠0)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，代入式(7)解出：

T=[G3J0(mr)+G4Y0(mr)](G1emz+G2e-mz)

(8)

為了方便書寫，引入如下函數(shù)：

U=U(mr)=U1J0(mr)+U2Y0(mr)

U′=U′(mr)=U1J1(mr)+U2Y1(mr)

(9)

式中J0(mr)、J1(mr)為第一類零、一階Bessel函數(shù)；

Y0(mr)、Y1(mr)為第二類零、一階Bessel函數(shù)；

U1～U2、G1～G4為系數(shù)。

文獻(xiàn)[6]中提到L*包括滿足拉普拉斯方程和雙調(diào)和方程兩個(gè)部分，根據(jù)式(3)、(8)、(9)、(6)，利用Bessel函數(shù)的性質(zhì)，取Ψ、L*為以下形式：

(10)

由此可得到既滿足位移法基本方程，又滿足邊界條件的應(yīng)力分量，見式(11)。式(10)、(11)中A～F、A′～F′的表達(dá)方式見式(9)中U、U′，其中A1=G3·G1，A2=G4·G1，B1=G3·G2，B2=G4·G2。

根據(jù)邊界自由條件，把圓筒的內(nèi)、外半徑代入式(11)的第一式和第四式，使指數(shù)函數(shù)的系數(shù)為零，從而可解出待定系數(shù)C1～F2。

(11)

2.2 軸向溫度為三角函數(shù)時(shí)圓筒的熱應(yīng)力

當(dāng)X>0，設(shè)X=m2(m≠0)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，代入式(7)解出：

T=[G3I0(mr)+G4K0(mr)](G1cosmz+G2sinmz)

(12)

為了方便書寫，引入如下函數(shù)：

U=U(mr)=U1I0(mr)+U2K0(mr)

U′=U′(mr)=U1I1(mr)-U2K1(mr)

(13)

式中I0(mr)、I1(mr)為第一類零、一階變型Bessel函數(shù)；

K0(mr)、K1(mr)為第二類零、一階變型Bessel函數(shù)；

U1～U2、G1～G4為系數(shù)。

文獻(xiàn)[6]中提到L*包括滿足拉普拉斯方程和雙調(diào)和方程兩個(gè)部分，根據(jù)式(3)、(12)、(13)、(6)，利用Bessel函數(shù)的性質(zhì)，取Ψ、L*為以下形式：

(14)

由此可得到既滿足位移法基本方程，又滿足邊界條件的應(yīng)力分量，見式(15)。式(14)、(15)中A～F、A′～F′的表達(dá)方式見式(13)中U、U′，其中A1=G3·G1，A2=G4·G1，B1=G3·G2，B2=G4·G2。

根據(jù)邊界自由條件，把圓筒的內(nèi)、外半徑代入式(15)的第一式和第四式，使三角函數(shù)的系數(shù)為零，從而可解出待定系數(shù)C1～F2。

{[2A+D+2(2-μ)C+mr(A′+C′)]cosmz+

[2B-E-2(2-μ)F+mr(B′-F′)]sinmz}

{[mr(A+C)+D′+2(1-μ)C′]sinmz+

[mr(-B+F)+E′+2(1-μ)F′]cosmz}

(15)

3 溫度場的試驗(yàn)測試

試驗(yàn)選用華日牌42.5#普通硅酸鹽水泥，密度為3 000 kg/m3；細(xì)度模數(shù)為2.6的中砂，密度為2 630 kg/m3；最大粒徑為20 mm的碎石，密度為2 730 kg/m3;花王萘系減水劑；鞍山鋼鐵集團(tuán)礦渣開發(fā)公司提供的礦渣微粉，密度為2 910 kg/m3，比表面積為430 m2/kg；汕特龍湖科技實(shí)業(yè)公司提供的粉狀P803消泡劑。采取配合比見表1。

表1 混凝土測溫試驗(yàn)配合比

焊接一個(gè)Φ6鋼筋網(wǎng)架，在所測點(diǎn)位置(以成型后混凝土圓柱體中心為柱坐標(biāo)系原點(diǎn)，z為0、6、12、18、24 cm，r為0、4、8 cm處)放置數(shù)字式溫度傳感器DS18B20，其不同于以往的模擬式溫度傳感器，不需要穩(wěn)定的參考電壓、信號(hào)調(diào)理電路、高位數(shù)的A/D轉(zhuǎn)換器，因此能夠利用便攜式儀表進(jìn)行測量，并可自動(dòng)識(shí)別測溫處的點(diǎn)號(hào)。將鋼筋網(wǎng)架放入內(nèi)徑為200 mm，壁厚為2 mm，長度為550 mm的GFRP空心圓筒內(nèi)，圓筒底部用4 mm厚圓形鋁塑板粘合玻璃膠封嚴(yán)，見圖1(a)。

澆筑之前將溫度傳感器導(dǎo)線標(biāo)號(hào)并導(dǎo)出圓筒?；炷翝仓?，放入養(yǎng)護(hù)室按照GBJ81-85養(yǎng)護(hù)成型，GFRP圓筒外壁用手動(dòng)砂輪切開并卸下，成型后的混凝土圓柱體見圖1(b)。

儲(chǔ)藏低中放核廢料的混凝土的溫度能達(dá)到150 ℃[9]，但考慮到數(shù)字式溫度傳感器DS18B20在120 ℃以上的測試還不夠精確，因此混凝土圓柱體的受熱溫度選用與150 ℃相近的100 ℃和120 ℃。

混凝土圓柱體在受熱前，測得內(nèi)部溫度為20 ℃，采用電熱鼓風(fēng)干燥箱對(duì)其進(jìn)行加熱，受熱時(shí)間分別為3、6、12 h。利用測溫儀表通過導(dǎo)線測得混凝土圓柱體內(nèi)部溫度如表2。

4 圓柱體算例分析

經(jīng)過試驗(yàn)，受熱3、6 h的混凝土圓柱體中心軸處的溫度和烘箱溫度設(shè)定值有較大差距；受熱12 h的混凝土圓柱體中心軸處的溫度和烘箱溫度設(shè)定值十分相近，見表2。考慮到測溫過程中熱量隨測溫進(jìn)程的散失、溫度傳感器±0.5 ℃的誤差，以及本文所需溫差不隨時(shí)間改變的情況，故認(rèn)為受熱12 h的混凝土圓柱體內(nèi)部溫度場達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。

如上節(jié)坐標(biāo)系，因頂端、底端受熱一致，所以可將r為8 cm處的溫升表示為cosz、sin|z|、cosz+sin|z|、e|z|、e-|z|、ez+e-z的級(jí)數(shù)形式，但級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)如果過大，將導(dǎo)致溫度場精度不足。在求出結(jié)果經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)，溫升表示為e|z|的級(jí)數(shù)時(shí)，其系數(shù)最小。由于圓柱體關(guān)于z=0平面對(duì)稱，故以下只研究圓柱體上半部的情況，此時(shí)其溫度場可表達(dá)為

(16)

如果已知圓柱體內(nèi)部r=a和外部r=b的溫度函數(shù)(考慮z=0平面上部)：

(17)

則溫度場表達(dá)式中的系數(shù)為：

(18)

取a=0，b=0.08，由第二類Bessel函數(shù)的性質(zhì)可知Y0(0)為負(fù)無窮，因此A2m等于零，而A1m應(yīng)用洛畢塔法則求解，為

(19)

把A1m記為Am。代入表2中r為8 cm處的試驗(yàn)值，得到受熱100 ℃、120 ℃達(dá)穩(wěn)定時(shí)混凝土圓柱體的溫升分別為式(20)、(21)。把測點(diǎn)坐標(biāo)代入式(20)、(21)，與試驗(yàn)值對(duì)比見表2，可見二者十分接近，擬合效果較好，于是可求得熱應(yīng)力，見式(22)。

T={-360.1 1 931.6 -2 924.6 1 864.1 -436.2}·

{J0(r)ezJ0(2r)e2 zJ0(3r)e3 zJ0(4r)e4 zJ0(5r)e5 z}T

(20)

T={-225.2 1 684.7 -2 767.6 1 856.1 -452.1}·

{J0(r)ezJ0(2r)e2 zJ0(3r)e3 zJ0(4r)e4 zJ0(5r)e5 z}T

(21)

表2 解析值與試驗(yàn)值的對(duì)比

J0(mr)+mr(Am+Cm)J1(mr)}

[2(1-μ)Cm-mDm]J1(mr)}

(22)

由邊界自由得到Cm、Dm如式(23)。限于試驗(yàn)條件并考慮到彈性模量、熱膨脹系數(shù)及泊松比表達(dá)式與所求熱應(yīng)力為線性關(guān)系，見式(22),在同種情況時(shí)的結(jié)果分析中熱應(yīng)力之間比例與此無關(guān)，故混凝土的熱工參數(shù)計(jì)算采用文獻(xiàn)[10]、[11]的方法。測得同期制作的混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為55 MPa，從而得到100 ℃、120 ℃時(shí)，混凝土彈性模量和熱膨脹系數(shù)分別為3.25×1010Pa、6.07×10-6℃-1；3.15×1010Pa、6.10×10-6℃-1。將其代入式(22)，泊松比取0.2，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，應(yīng)用Matlab7.0算得混凝土圓柱體受熱穩(wěn)定時(shí)的應(yīng)力分布如圖2所示。

(23)

圖2 烘箱溫度為100 ℃時(shí)混凝土圓柱體熱應(yīng)力解析解

圖3 烘箱溫度為120 ℃時(shí)混凝土圓柱體熱應(yīng)力解析解

從圖2、3可以看出，受熱溫度有變化時(shí)，應(yīng)力分布的形狀沒有改變：徑向正應(yīng)力σr在中心軸處的變化幅度較大，頂部中心附近處于受拉狀態(tài)，在中心軸頂點(diǎn)達(dá)到最大拉應(yīng)力，在中心平面(z=0)處應(yīng)力值較穩(wěn)定，基本處于受壓狀態(tài)；環(huán)向正應(yīng)力σθ整體上較為平坦，處于受拉狀態(tài)，只是在靠外側(cè)的頂部應(yīng)力變化幅度較大，由受拉狀態(tài)急劇過渡到受壓狀態(tài)，并在外側(cè)頂點(diǎn)達(dá)到最大壓應(yīng)力；軸向正應(yīng)力σz基本上都處于受拉狀態(tài)，靠外側(cè)頂部附近應(yīng)力變化幅度較大，并在外側(cè)頂點(diǎn)達(dá)到最大拉應(yīng)力；剪應(yīng)力τrz隨柱坐標(biāo)z向變化明顯、幅度較大，應(yīng)力的方向也發(fā)生改變，其值在中心軸頂部較大，并在中心軸頂點(diǎn)達(dá)到最大值。

表3 混凝土圓柱體熱應(yīng)力解析解的最大值和最小值

圓柱體受熱穩(wěn)定時(shí)應(yīng)力最大值和最小值(考慮到應(yīng)力的方向，參照文獻(xiàn)[6]規(guī)定)，見表3?？梢钥闯?，由外部溫度試驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)求解的熱應(yīng)力，當(dāng)烘箱溫度由100 ℃變?yōu)?20 ℃時(shí)，沒有出現(xiàn)數(shù)量級(jí)的變化，但受熱溫度為120 ℃時(shí)，軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場對(duì)混凝土圓柱體產(chǎn)生的熱應(yīng)力值要比受熱溫度為100 ℃大。σr的范圍為其1.414倍；σθ的范圍為其1.421倍；σz的范圍為其1.336倍；τrz的范圍為其1.495倍。

5 結(jié) 論

軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場中熱應(yīng)力進(jìn)行解析求解時(shí)要求溫度場經(jīng)過擬合，本文通過布點(diǎn)得到混凝土圓柱體內(nèi)部測溫結(jié)果，擬合出精度較好的溫度場，從而根據(jù)解析結(jié)果，利用Matlab計(jì)算得到混凝土圓柱體內(nèi)部的熱應(yīng)力。通過以上方法及分析得知：

1)圓柱體表面溫度表達(dá)為冪為正的指數(shù)函數(shù)時(shí)，擬合的溫度場精度較好。

2)軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場的熱應(yīng)力求解中，應(yīng)由準(zhǔn)確的外部溫度試驗(yàn)值出發(fā)求解；受熱溫度由100 ℃變?yōu)?20 ℃時(shí)，混凝土圓柱體應(yīng)力分布的形狀沒有改變，內(nèi)部的應(yīng)力值處于同一個(gè)數(shù)量級(jí)，應(yīng)力范圍增大了0.4倍左右。

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