一類帶有Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的定性分析*

李海俠， 李艷玲

(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062；2.寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系， 陜西 寶雞 721013)

近年來(lái)，許多專家研究了生物數(shù)學(xué)中模擬各種系統(tǒng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程。由于物種動(dòng)力系統(tǒng)中捕食者和食餌之間關(guān)系的普遍性和重要性，所以在生態(tài)數(shù)學(xué)中最重要的研究之一就是考察捕食者和食餌之間的關(guān)系。因此，帶有各種不同反應(yīng)函數(shù)和不同邊界條件的捕食-食餌模型被許多生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家所青睞。這些研究包括了經(jīng)典的Holling 型，Beddington-DeAngelis型，比率依賴型和改進(jìn)的Leslie-Gower 型的反應(yīng)函數(shù)。可見(jiàn)文獻(xiàn)[1-8]。

然而，目前對(duì)于帶有Crowley-Martin(C-M)反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的研究并不多見(jiàn)，可看文獻(xiàn)[9-10]，作者討論了帶有C-M反應(yīng)函數(shù)的食物鏈和捕食-食餌常微模型，得到了正常數(shù)平衡解的局部、全局穩(wěn)定性和系統(tǒng)的持久性。C-M 反應(yīng)函數(shù)

f(u,v)=bu/(1+cu+ev+ceuv)

是一類依賴捕食者的經(jīng)典反應(yīng)函數(shù)之一。這里正常數(shù)b，c和e分別描述了捕食者的捕獲率、處理時(shí)間和捕食者間的強(qiáng)度。它與Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)很像，不同之處在于分母多了體現(xiàn)物種間相互干擾的一項(xiàng)ceuv。而且，無(wú)論某個(gè)捕食者目前是否尋找食餌，C-M反應(yīng)函數(shù)都允許存在捕食者之間的干擾，這是比B-D 反應(yīng)函數(shù)優(yōu)越之處,也非常符合現(xiàn)實(shí)中的一些生物現(xiàn)象。因此研究帶有C-M反應(yīng)函數(shù)的模型具有很大的生物意義。顯然，如果c=0,e=0，則C-M反應(yīng)函數(shù)就會(huì)變成Holling-I 反應(yīng)函數(shù)；如果c>0,e=0，則C-M反應(yīng)函數(shù)就會(huì)變成Holling-II 反應(yīng)函數(shù)。

本文在齊次Dirichlet 邊界條件下討論如下帶有C-M反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型

(x,t)∈Ω×(0,∞),

(x,t)∈Ω×(0,∞),

u(x,t)=v(x,t)=w(x,t)=0,

(x,t)∈?Ω×(0,∞),

u(x,0)=u0(x)≥0,?0,x∈Ω,

v(x,0)=v0(x)≥0,?0,x∈Ω,

w(x,0)=w0(x)≥0,?0,x∈Ω

(1)

其中Ω∈RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域。系統(tǒng)(1)是三物種的捕食-食餌模型，其中u是食餌，v和w是兩個(gè)以u(píng)為食物的捕食者，而且v和w相互競(jìng)爭(zhēng)的捕食u。d是食餌u的增長(zhǎng)率。k代表了u的容納能力。r1和r2代表了轉(zhuǎn)化率。p1和p2表示兩捕食者之間的相互競(jìng)爭(zhēng)率。q1和q2是兩捕食者的死亡率。初值u0(x),v0(x)和w0(x)是連續(xù)函數(shù)。參數(shù)d,k,bi,ci,ei,pi,qi,ri(i=1,2)都是正常數(shù)。如果系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者w且e1=0，則(1)成為帶有Holling-II反應(yīng)項(xiàng)的兩物種捕食-食餌模型。文獻(xiàn)[4]和[11]在Neumann邊界條件下討論了該模型，運(yùn)用Leray-Schauder度理論和分歧理論研究了非常數(shù)平衡態(tài)正解的存在性和不存在性。文獻(xiàn)[12]考慮了帶有非單調(diào)反應(yīng)項(xiàng)的類似兩物種捕食-食餌模型，利用譜分析和分歧理論研究了系統(tǒng)分歧解的存在性和穩(wěn)定性。而且，我們也指出文獻(xiàn)[1,13,14]在Neumann 邊界條件下分別討論了帶有B-D反應(yīng)項(xiàng)和非單調(diào)反應(yīng)項(xiàng)的類似兩物種捕食-食餌模型。

本文還將考慮系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

u=v=w=0,x∈?Ω

(2)

正解的存在性和不存在性。

種群的持續(xù)生存性是對(duì)生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)重要刻畫，是人們普遍關(guān)注的問(wèn)題。而且，從生物意義上講，研究物種的共存條件對(duì)捕食-食餌模型有很現(xiàn)實(shí)的生物意義。

1 預(yù)備知識(shí)

為得到重要的結(jié)論，首先給出一些預(yù)備知識(shí)。

-Δφ+q(x)φ=λφ,x∈Ω;φ=0,x∈?Ω

則λ1(q)連續(xù)依賴q，λ1(q)是簡(jiǎn)單的。而且，如果q1≤q2,q1?q2，則λ1(q1)<λ1(q2)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，定義λ1(0) 為λ1。

考慮如下問(wèn)題

-Δu=uf(x,u),x∈Ω;u=0,x∈?Ω

(3)

(H1)f(x,u)關(guān)于x是Cα-函數(shù)，其中 0<α<1；

定理1[16]假設(shè)f(x,u)滿足(H1)，(H2)和(H3)。則

(ii) 如果λ1(-f(x,0))≥0，則(3)沒(méi)有正解只有零解。而且，平凡解u(x)=0全局漸近穩(wěn)定；

(iii) 如果λ1(-f(x,0))<0，則(3)有惟一全局漸近穩(wěn)定的正解。此時(shí)，平凡解u(x)=0不穩(wěn)定。

考慮如下的非線性問(wèn)題

(4)

由定理1可知，若ar>λ1，則(4)有惟一正解。定義惟一正解為Θar。特別地，Θa≤k且Θa連續(xù)依賴a。而且，如果a>λ1,e>λ1,a≤e，則Θa≤Θe。

2 正平衡態(tài)解的存在性和不存在性

本節(jié)通過(guò)考察系統(tǒng)(2)的二重分歧給出系統(tǒng)(2)正解存在的充分條件。我們同時(shí)將q1和q2作為分歧參數(shù)，利用空間分解和隱函數(shù)定理討論系統(tǒng)(2)關(guān)于(Θd,0,0)的二重分歧，進(jìn)而給出正解的近似表達(dá)式。

首先由上下解方法可得系統(tǒng)(2)的共存解的先驗(yàn)估計(jì)。

引理2 如果r1k>q1(1+c1k),r2k>q2(1+c2k)， 則系統(tǒng)(2)的任意共存解(u,v,w)有先驗(yàn)估計(jì)

u(x)≤M1,v(x)≤M2,w(x)≤M3

V=0,x∈?Ω

(5)

其次給出系統(tǒng)(2)共存解存在的充分條件和必要條件。

引理3 如果系統(tǒng)(2)有共存解，則

證明假設(shè)(u,v,w) 是系統(tǒng)(2)的共存解。 類似引理2可知d>λ1且u≤Θd。則由系統(tǒng)(2) 的第二個(gè)方程和引理1可得

x∈Ω;v=0,x∈?Ω,

x∈Ω;w=0,x∈?Ω

也有惟一正解。記惟一正解分別為v*和w*。記

引理4 假設(shè)(d,q1,q2)∈E。如果系統(tǒng)(2)有共存解(u,v,w)，則

(6)

證明類似引理2由上下解方法可證得。

引理5 如果 (d,q1,q2)∈E。則系統(tǒng)(2)有解(u,v,w)，且 (6) 式成立。

證明令

引理6 如果(q1,q2,u,v,w)是系統(tǒng)(2)的非負(fù)解且v?0,w?0，則-q1>λ1-r1/c1,-q2>λ1-r2/c2。

證明類似引理3可證得。

注本小節(jié)假設(shè)λ1c1

令L(q1,q2)是系統(tǒng)(2)在(Θd,0,0)處的線性化算子。則

L(q1,q2)=

這里

(7)

其中M=(m1,m2,m3)T∈E2,0<ε<δ,γ是參數(shù)。

G(M,ε1,ε2;ε)=

(8)

(9)

于是，綜合上述，我們有下面的結(jié)論。

最后，給出系統(tǒng)(2)共存解不存在的充分條件。

定理3 如果下面的條件之一成立，則系統(tǒng)(2)沒(méi)有共存解。

(i)d≤λ1；

(iv)d>λ1且q1+r1k/(1+c1k)≤λ1；

(v)d>λ1且q2+r2k/(1+c2k)≤λ1。

證明(i) 、(ii)和(iii)由引理3易得。下面證明(iv)、(v)類似可得。假設(shè)系統(tǒng)(2)有共存解(u,v,w)，由引理2可知u(x)≤k。則由引理1和系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得

與已知條件矛盾。因此結(jié)論成立。

3 漸近行為

本節(jié)利用比較原理考察系統(tǒng)(1)的漸近行為。由拋物系統(tǒng)的上下解方法易知系統(tǒng)(1)有惟一正解。

首先給出系統(tǒng)(1)滅絕的充分條件。

定理4 設(shè)(u,v,w)是系統(tǒng)(1)的正解。

(i)如果d≤λ1，則當(dāng)t→∞時(shí)，(u,v,w)→(0,0,0)；

證明證明類似，因此只證(ii)。因?yàn)?/p>

u(x,t)≤Θd+σ

(10)

因此，由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程可得

vt-Δv≤

再由定理1(iii)和比較原理可得

(11)

由σ→0的連續(xù)性再結(jié)合(10)式和(11)式可得當(dāng)t→∞時(shí)，u(x,t)→Θd。

和方程

下面的定理給出系統(tǒng)(1)持續(xù)性的充分條件。

u(x,t)≤Θd+σ

(12)

因此，由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程可得

v(x,t)≤v*+σ,w(x,t)≤w*+σ

(13)

另一方面，由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程可知

x∈Ω;u=0,x∈?Ω,t>0

(14)

因此，

v(x,t)≥v*-σ,w(x,t)≥w*-σ

(15)

[v*-σ,v*+σ]×[w*-σ,w*+σ]

由σ的任意性并結(jié)合文獻(xiàn)[18]中的推論2.1和定理2.1可知結(jié)論成立。

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