基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問題的Noether對稱性*

丁金鳳 , 張 毅

(1. 蘇州科技學院 數理學院，江蘇 蘇州215009；2. 蘇州科技學院 土木工程學院，江蘇 蘇州215009)

1 El-Nabulsi-Pfaff變分問題

基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問題定義為[19]：

求積分泛函

(cosht-coshτ)α-1dτ

(1)

在給定邊界條件

(2)

如果aμ=aμ(τ)是El-Nabulsi-Pfaff變分問題的極值，則滿足如下的El-Nabulsi-Birkhoff方程[19]

(μ=1,…,2n)

(3)

泛函(1)稱為El-Nabulsi-Pfaff作用量。當α=1時，這個問題成為經典的Pfaff變分問題，而方程(3)成為標準的Birkhoff方程。

2 El-Nabulsi-Pfaff作用量的變分

引入r-參數有限變換群的無限小變換

(μ=1,…,2n)

(4)

其展開式

(5)

(6)

El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)在變換前后的差為

(cosht-coshτ)α-1dτ=

B(τ+Δτ,aν+Δaν)] ·

(7)

(8)

由于

(9)

利用式(9)，式(8)可寫成

(10)

將式(5)代入式(10)，得到

(11)

式(8)和(11)是基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Pfaff作用量變分的基本公式。

3 Noether對稱性的定義和判據

定義1 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是無限小群變換(4)的不變量，即對無限小群變換(4)的每一個變換，始終成立如下關系

ΔS=0

(12)

則稱無限小變換為Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether對稱變換。

根據定義1和公式(8)，(11)，得到如下判據。

判據1 如果無限小群變換(4)滿足如下關系

(13)

那么，變換是Birkhoff系統在定義1意義下的Noether對稱變換。

式(13)可寫成r個方程

(σ=1,…,r)

(14)

當r=1時，方程(14)稱為Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether等式。

通過判據1或Noether等式(14)可以判斷Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether對稱性。

定義2 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是無限小群變換(4)的準不變量，即對無限小群變換(4)的每一個變換，始終成立如下關系

(15)

其中ΔG=εσGσ，Gσ=Gσ(τ,aν)稱為規范函數，則稱無限小變換為Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether準對稱變換。

根據定義2和公式(8)，(11)，得到如下判據。

判據2 如果無限小群變換(4)滿足如下關系

(16)

那么，變換是Birkhoff系統在定義2意義下的Noether準對稱變換。

式(16)可寫成r個方程

(17)

當r=1時，方程(17)稱為Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether等式。

通過判據2或Noether等式(17)可以判斷Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether準對稱性。

4 Noether定理

在El-Nabulsi動力學模型下，由Birkhoff系統的Noether對稱性可直接導出Noether守恒量，有如下定理。

定理1 對于El-Nabulsi動力學模型下的Birkhoff系統(3)，如果無限小群變換(4)是定義1意義下的Noether對稱變換，則系統存在r個線性獨立的第一積分，形如

(σ=1,…,r)

(18)

證明由定義1，得到

ΔS=0

由公式(11)得

將方程(3)代入上式，并且考慮到εσ的獨立性和積分區間的任意性，得到

積分之，即得到守恒量(18)。于是定理1得證。

定理2 對于El-Nabulsi動力學模型下的Birkhoff系統(3)，如果無限小群變換(4)是定義2意義下的Noether準對稱變換，則系統存在r個線性獨立的第一積分，形如

(σ=1,…,r)

(19)

證明由定義(2)和式(11)，并利用方程(3)式，且考慮到εσ的獨立性和積分區間的任意性，可證明定理2。

定理1和定理2稱為Birkhoff系統基于按指數律拓展的分數階積分的變分問題的Noether定理。根據上述定理，可由El-Nabulsi動力學模型下的Birkhoff系統的Noether對稱性找到相應的守恒量。當α=1時，定理1和定理2稱為經典Birkhoff系統的Noether定理。

5 算 例

例設4階Birkhoff系統的Brkhoff函數B和Birkhoff函數組Rμ為[20]

R1=a2+a3,R2=0,R3=a4,R4=0

(20)

試研究其基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi動力學模型下的Noether對稱性與守恒量。

Noether等式(17)給出

(21)

方程(21)有解

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=0,ξ3=0,ξ4=0,G=0

(22)

生成元(22)相應于所論系統基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi動力學模型下的Noether對稱變換。根據定理1，得出相應的守恒量為

I=(a2+a3)(cosht-coshτ)α-1=const

(23)

當α=1時，守恒量(23)為標準Birkhoff系統的Noether守恒量。

6 結 語

基于按指數律拓展的分數階積分的El-Nabulsi動力學模型，文章提出并研究了Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量問題，建立了Noether定理。本文方法和結果具有普遍意義，可以進一步應用于各種約束力學系統，例如非完整非保守系統，機電耦合系統等。

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