兩類一致等時系統的中心條件和極限環分支*

桑 波

(聊城大學數學科學學院，山東 聊城 252059)

考慮n次多項式微分系統

(1)

其中max(deg(Pn),deg(Qn))=n。當δ=0時，系統(1)以原點為中心或細焦點。如何區分稱為中心焦點判定問題。

為了獲得系統(1)具有中心的充要條件，首先需要計算系統的前面各階非零焦點量并對它們進行零點分解，從而得到原點為中心的必要條件；然后利用首次積分、形式首次積分、積分因子或時間可逆性證明所得條件都是充分的。

近二十多年以來出現了很多焦點量算法，比如奇點量算法[1]、基于偽除的形式冪級數法[2]和攝動算法[3]。但當Pn,Qn為非齊次多項式時，系統(1)的焦點量非常復雜且難于約化，為此作者基于重新參數化法給出了焦點量的約化方法[4]。

從一個奇點分支出多個小振幅極限環的現象稱為多重Hopf分支。設系統(1)以原點為M階細焦點，則對其進行適當的系數微擾，相應系統至多可分支出M個小振幅極限環。至于實際擾動出多少個極限環，還需要作進一步的分析。

下面考慮n+1次多項式微分系統

(2)

(3)

所以我們稱系統(2)δ=0為一致等時系統。

考慮如下兩類系統

(4)

(5)

1 系統(4)的中心條件和多重Hopf分支

根據文[4]的計算方法，系統(4)δ=0的前5階約化焦點量(不計非零常數因子)分別為

定理1 系統(4)δ=0以原點為中心的充要條件是下列5組條件之一成立

(ii)a1=b1=b3=b5=0;

(iii)a0=a1=0;

(iv)a0=b0=b2=b4=0;

其中

證明(必要性) 通過求解多項式集G={W3,W4,W5}，共得到定理中的5組獨立系數條件，從而必要性得證。

(充分性)當條件(i)成立時，系統(4)δ=0的向量場關于直線a0x+a1y=0對稱，因此由Poincaré對稱原理，系統(4)δ=0以原點為中心。

當條件(ii)成立時，系統(4)δ=0的向量場關于y軸對稱，因此它以原點為中心。

當條件(iii)成立時，由文獻[5]知系統(4)δ=0以原點為中心。

當條件(iv)成立時，系統(4)δ=0的向量場關于x軸對稱，因此它以原點為中心。

由系統(4)δ=0的焦點量結構和定理1知，系統(4)在原點鄰近至多存在3個小振幅極限環。以下構造由5階細焦點擾動出3個小振幅極限環的實例。

定理2 假設系統(4)滿足

x4y+b2x3y2+

其中a0≠0，則當ε=0時，系統(4)以原點為5階細焦點；當0<|ε|?1時，在原點充分小鄰域內系統(4)恰有3個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3。

當0<|ε|?1時，系統(4)的第0階至第5階焦點量依此為

v3(2π)=v5(2π)=0,

所以系統(4)在原點鄰域的擬后繼函數為

從而由文[10]知，系統(4)在原點的充分小鄰域內恰有3個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3。

2 系統(5)的中心條件和多重Hopf分支

通過計算，系統(5)δ=0的前6階約化焦點量(不計非零常數因子)分別為

W1=W2=0,

定理3 系統(5)δ=0以原點為中心的充要條件是下列7組條件之一成立：

(ii)a0=±a1,b1=-b5,b2=-b4,

b3=0,b6=-b0;

(vi)a0=b0=b2=b4=b6=0;

(vii)a1=b0=b2=b4=b6=0,

其中

證明(必要性)通過求解多項式集G={W3,W4,W5,W6}，共得到定理中的7組系數條件，從而必要性得證。

(充分性)當條件(i)成立時，系統(5)δ=0的向量場關于直線a0x+a1y=0對稱，因此由Poincaré對稱原理，系統(5)δ=0以原點為中心。

當條件(ii)成立時，系統(5)δ=0的向量場關于直線x±y=0對稱，因此它以原點為中心。

當條件(v)成立時，由文獻[5]知系統(5)δ=0以原點為中心。

當條件(vi)成立時，系統(5)δ=0的向量場關于x軸對稱，因此它以原點為中心。

當條件(vii)成立時，系統(5)δ=0的向量場關于y軸對稱，因此它以原點為中心。證畢。

由系統(5)δ=0的焦點量結構和定理3知，系統(5)在原點鄰近至多存在4個小振幅極限環。以下構造由6階細焦點擾動出4個小振幅極限環的實例。

定理4 假設系統(5)滿足

其中a0≠0， 當ε=0時，系統(5)以原點為6階細焦點；當0<|ε|?1時，在原點充分小鄰域內系統(5)恰有4個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3,4。

證明當ε=0時，由條件及焦點量公式，我們得到δ=W1=W2=W3=W4=W5=0,

當0<|ε|?1時，系統(5)的第0階至第5階焦點量依此為

v3(2π)=v5(2π)=0

所以系統(5)在原點鄰域的擬后繼函數為

從而由文[10]知，系統(5)在原點的充分小鄰域內恰有4個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3,4。

參考文獻：

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