空間解析幾何教學改革的一些探討

謝 正，李建平

（國防科技大學 理學院數學系，湖南 長沙 411105）

空間解析幾何教學改革的一些探討

謝 正，李建平

（國防科技大學 理學院數學系，湖南 長沙 411105）

空間解析幾何是高校教學中一門重要的數學基礎課，結合國內外幾何學科發展趨勢，開展教學改革，以緊跟國際發展趨勢是必然之舉.本文在解析幾何教學的課堂實踐經驗的總結分析的基礎上，總結提出了精簡原解析幾何課時，增加幾何系列課程教學內容，面向啟發性的習題設計等一些改革舉措，對該課程教學改革有一定有借鑒作用.

解析幾何；教學方法；啟發式教學

1 前言

從數學的觀點來課，該學科存在三大結構，即分析結構，代數結構與幾何結構.分析系列和代數系列，由于有全校公共課《高等數學》與《線性代數》的教學任務，因此我系組織了全國與全軍教學名師為核心，中青年教員為主力的強大的教學團隊，課程建設相對完備[1-3].相比之下，幾何系列課程的建設基礎與人員配置相對薄弱.這部分是因為我校數學專業的設置目的具有強烈的專業應用背景，從而弱化了一些數學方向，特別是基礎數學方向，以幾何為研究方向的教員較少.

空間解析幾何，又稱為坐標幾何或卡氏幾何，是使用代數方法進行研究的幾何學.研究工具為二維或三維的直角坐標系來研究平面、直線、曲面和圓的方程[4-6].解析幾何的提出是被認為是現代數學的開端.空間解析幾何作為幾何系列課程的第一門教學課程，是我校數學和物理專業的大學第一學期的專業必修課.全校公共課高等數學的教學內容中也包含了12學時的解析幾何內容.因此，可以看出解析幾何是高校教學中一門重要的數學基礎課，開展教學改革以緊跟國際發展趨勢是必然之舉.

為適應國防現代化和軍隊信息化建設需要，圍繞高素質新型軍事人才培養目標，我系開展了幾何系列課程的教學改革研討，通過借鑒國內外大學先進的教學改革理念和思想，結合目前我國高中幾何教學內容，對2009年所制定的幾何系列教學方案，在課程設置、課程名稱、教學內容，以及課程時間做出了較大的調整，群策群力形成了新的幾何系列課程的改革方案，完善和改進目前學校數學課程存在的一些問題，使我校的數學課程教學更加符合技術應用型人才培養的建校宗旨.為了進一步增強我校數學專業人才培養的科學性與先進性，我們根據教學實踐經驗，結合對學員背景知識和教學感受的訪查，比對高等數學中解析幾何的教學效果，分析我?！犊臻g解析幾何》課程的教學內容、課時安排，考核方式等方面存在的問題，同時也可以為我系幾何系列課程總結行之有效的教學經驗與改革舉措提供素材.

2 課程分析

2.1 教學組織與安排

《空間解析幾何》的教學目標是使學生(1)掌握平面曲線、空間直線、平面、柱面、錐面、旋轉曲面、二次曲面等的基本性質；(2)提高用代數方法解決幾何問題的能力；(3)能夠熟練使用至少一種數學軟件(Maple,Matlab等)進行作圖和計算解析幾何中的問題；(4)培養空間感覺，為今后學習其它幾何課程打下必要的基礎.

教學內容包括：空間坐標系、向量與它的幾何表示、向量內積、外積、混合積、平面的方程、點到平面的距離、直線的方程、平面與直線之間的位置關系、空間曲線與曲面的參數方程、柱面、錐面、二次柱面與二次錐面、以及正交變換與仿射變換等內容.課程學時分配如表1所示.

表1 空間解析幾何課程學時分配

2011年秋季，我們就《空間解析幾何》教學的優缺點、難點以及建議對2011級應用數學專業與應用物理專業學員做訪問調查，現將調查訪問結果整理如表2所示.每項調查僅列出反應最多前三項.

從以上訪談調查結果不難看出，在解析幾何課程教學當中，講授內容簡單成為教學的優點，激發學生的學習興趣，同時也能成為教學的缺點，成為學生學習課程的障礙.因此，如何正確選擇教學內容，形成一套有效的教學模式至關重要.同時，學生對所學內容的實踐環節和討論互動環節是非常期望的.

針對教學內容和高中內容有重復的不足之處，我們首先分析一下高中的幾何教學內容.高中幾何課程中所教授的幾何學包括平面解析幾何和立體幾何，其中：(1)平面解析幾何包括：直線、圓錐曲線、橢圓、雙曲線、拋物線、坐標變換、參數方程、極坐標.(2)立體幾何包括：直線與平面：空間中的直線與平面、直線與平面的平行和垂直關系、平面之間的平行于垂直關系、二面角、多面體與旋轉體、球、圓柱，以及圓錐等內容.因此現有教學內容的第一章、第二章，以及第三章的內容和高中幾何內容重復性大，可以大幅縮減，節約課時.針對增加現代幾何教學內容等建議，我們認真學習了國內外知名大學的幾何課程，正所謂他山之石，可以攻玉.下面我們以牛津大學幾何課程《GeometryI,II》[7,8]教學內容為例，進行分析：

《GeometryI》，一共7講，其內容相當于我校的《空間解析幾何》.

（1）向量幾何：向量的性質、向量的長度與標量積.

（2）三維幾何與向量積：向量的外積、混合積（scalartriple product）、二重外積（vectortripleproduct）、直線方程.

（3）等距變換：向量的等距變換、坐標系的等距變換、2階正交矩陣、R3中的旋轉.

（4）曲線與曲面：曲線、R3中的曲面.

（5）二次曲線：二次曲線的Focus-directrix定義、卡氏坐標下的曲線方程、極坐標下的曲線方程、拋物鏡面.

《GeometryII》，一共8講，其內容相當于復幾何與球幾何的初步介紹.

（1）DelFerro-Tartaglia-Cardano方法、復數表示的三角不等式、夾角、直線與圓的方程；

（2）方程的行列式形式、Ptolemy定理

（3）反演點(Inversepoints)與Apollonius定理、Mobius變換

（4）圓與直線（circline，直線視為半徑為無窮大的圓）上的Mobius變換

（5）Mobius變換的共形（保角）性質、球極投影、黎曼球面

（6）球面S2上的圓

（7）球幾何、球面三角形、球面的正則劃分、正多面體

（8）球面三角形、對偶性、對偶三角形

通過對牛津大學幾何講義分析，發現牛津大學的講法和我校存在較大的不同.同樣是講直線方程，但是講法并不相同，我校的講法遵循基本講法，牛津大學講義遵循現代的形式講法，而這種講法恰巧是和現代符號計算，以及機器人視角等前沿問題緊密結合的.從下面的例子可見一斑：

求解方程r∧a=b.

兩邊與a做外積，得a∧(r∧a)=(a·a)r-(a·r)a=a∧b.

從內容上看，牛津大學的《GeometryI》和我校的《空間解析幾何》內容一樣，但是強調的重點不一樣，其使用的語言和現代數學接軌.從課時上看，一共7學時，是我們學時的一半.《GeometryII》進一步介紹復幾何的基本知識，為今后的復變函數與多復變函數打下基礎.數學大師陳省身先生曾說過，多復變的寶藏，挖掘十未盡其一.計算數學家王仁宏教授在多元樣條領域開創性的工作也源于基礎數學中多復變領域的Bezout定理.

表2 空間解析幾何教學學員訪談調查結果

3 改革舉措

3.1 精簡原解析幾何課時

為豐富學員的們知識面，精簡和高中內容相關內容，節約課時,按講義作為單元，進行教學內容的整合，讓學員在較短的時間內高效學完整組的教學內容，關于第一、二章關于空間坐標系、向量代數、與平面與直線等內容用6～8學時即可完成，重點講授向量的外積與混合積，剩下的課時用來增加學員的知識面.對于高中時學過的內容，都用向量形式簡潔的表達，并由二維、三維情形推廣到高維情形.例如，任意維數的向量空間中的，球方程（對于2維向量空間，為圓方程）可表示為|r-c|=d，其中r是球上點的位置向量，球心為c，半徑為d.我們還可以引導學員自己給出其等價形式，如(r-c)·(r-c)=d2，r·r-2r·c-c·c=d2，以便加強對學員們向量運算的理解.再如r0是直線L上的一點，n是垂直于L的向量，這L方程為(r-r0)·n=0，再根據內積的分配率寫為r·n=r0·n.

為了驗證精簡課時的可行性，我們對學過《高等數學》中的解析幾何內容（6學時）的大學第二學期的高等數學高級班（簡稱高班）學員測試了2011年秋季學期的空間解析幾何期末考試題.平均分達到85分.同樣的試卷，理學院的學員平均分為89分，但是學習了38個學時.時效比為

6.049 :1，高班明顯占優.試驗表明精簡課時勢在必行.

3.2 增加幾何系列課程教學內容

根據調查訪問學員的所反饋情況，學員們建議加強增加現代幾何教學內容.因此需要開始相關課程，使我校的幾何系列課程教學更加符合技術應用型人才培養的建校宗旨.下面我們對幾種幾何學作為添加內容的優點做一些簡要的闡述.

（1）復幾何是現代數學的核心領域之一.復數相對于二維向量空間中的向量，有明確的幾何意義.因此，可以適當的加強復數方法在解析幾何應用的介紹.一方面通過復數運算，簡介證明實數空間中的解析幾何的定理，例如Ptolemy定理，提高學員們對復幾何領域的興趣.另一方面可引導學員將實幾何中的內容，推廣到復幾何，培養學員的動手能力.例如：對于向量的三角不等式|z+w|≤|z|+|w|的推廣到復數的證明.，又，故綜上三式，復數的三角不等式得證.

再如復向量空間中的球方程：|z-α|=r.其形式和實空間一樣，但是展開寫為，和實空間含義不一樣.

（2）射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換后，依然保持不變的圖形性質.它是一種非度量形式的幾何學.首先由Desargues于17世紀發展，一直到19世紀初期透過J.V.Poncelet等人的工作，而成為幾何學中一個分支.射影幾何源自于美術上的透視法原則，歐洲文藝復興時期透視學發展，給射影幾何的發展創造了良好的條件.在射影幾何里，兩條平行直線在無窮遠處相交，該點稱為無窮遠點.無窮遠點的軌跡是一條無窮遠直線，這些與向量空間中的解析幾何是不相同的.射影幾何里最基本的概念之一就是交比.例如，以S為中心，從S引出四條射線.另一條直線L與射線束分別交于A,B,C,D.則AB·CD/BC·AD稱為該線束的交比.不論直線L位置如何，交比的值總是不變的.交比在射影變換下的不變是射影幾何中的基本性質，射影幾何學里許多重要的性質可據此推導而來.

（3）仿射幾何是研究圖形在仿射變換下不變性質的幾何學.所謂仿射變換是仿射空間到自身保持點的共線、共面性以及保持直線的平行性的變換.因此該幾何不涉及到任何原點、長度或者角度概念.在仿射變換下，直線變為直線，平行直線變為平行直線，但長度與角的大小要改變.歐拉在論述解析幾何與微分幾何的坐標變換時涉及到仿射坐標變換.該學科位于歐氏幾何和射影幾何之間，作為歐氏幾何的一種擴展.Mobius引入仿射幾何的一些基本概念,用它來計算物體的重心，后來運用于形變力學的研究.仿射幾何可看出是射影幾何的特例，在仿射空間中引入無窮遠點，就成為射影空間.Klein用變換群的觀點研究幾何學，將幾何學看作是某種元素對于變換群的不變量理論.據此，射影幾何學就是圖形元素關于射影群不變量的理論，而仿射變換構成的群就成為射影變換群的一個子群.

3.3 面向啟發性的習題設計

我們在習題的設計過程中，注重習題本身的真實性與典型性.真實性是指習題需要是對某種具體情景的記錄，來源于生活實踐，不是為了反映教學內容而簡單虛構的事例；典型性是習題需要有足夠的代表性，習題所描述的內容是日常接觸到的情景，與相關專業知識的自然直接的聯系.目的是激發學生的學習興趣，使學生有強烈的主觀愿望去分析習題，達到啟發式教學的目的.下面我們設計了兩個習題.

（1）文本相似性處理.將詞匯作為坐標，則文章可以視為詞匯組成的高維向量空間的向量.對于中文文章“的”，“得”，“地”，或英文文章中的“The”,“an”，“some”之類的通用詞匯，對文章的內容的區分度不大，因此需要減小它們的作用.一般來講，詞匯的重要性隨著它在文章中出現的次數成正比增加，但同時會隨著它在所有文章中出現的頻率成反比下降.TF-IDF（term frequency-inverse document frequency）方法就是基于這個思想提出的，是一種基于統計并廣泛應用于文本挖掘的方法，可以評估詞匯對文章的重要程度.TF-IDF加權的各種形式常被搜索引擎應用，作為文件與用戶查詢之間相關程度的度量或評級.TF-IDF權重計算方法經常會和向量的內積所定義的相似性一同使用于解析幾何中的向量空間模型，用以判斷兩份文件之間的相似性.

（2）從向量的內積、外積到機器人視覺.解析幾何的創立者之一，Descartes曾設想構建一種幾何體之間直接運算的代數工具.經過Hamilton，Glassman，Cayley，Clifford，Hestenes等人的努力建立了幾何代數，又稱為Clifford代數，是綜合了內積和外積兩種運算，在幾何和物理中在很多應用的一門數學學科.幾何代數是復數、四元數和外代數的推廣，應用于廣義相對論、量子力學、量子場論、射影幾何、微分幾何、共形幾何等學科研究中.特別幾何代數在機器人視覺中有著重要的運用.首先通過視覺傳感器獲取環境的二維圖像，這是三維空間到二維空間的投影，然后通過對射影空間中的幾何體做幾何代數運算，對數據進行分析和解釋，進而轉換為符號，讓機器人能夠辨識物體，并確定其位置.機器人視角廣泛應用于電子、汽車、機械等工業部門和醫學、軍事等領域.

3.4 有選擇地開展雙語教學

雙語教學目前倍受重視，國家留學基金委自2001年開始，每年都選拔教員赴國外培訓，增強教員和學員同國際科學家們的溝通的能力.雙語教學模式主要有以下三種[9]：第一種是全英文的教學模式，稱為完全雙語模式；第二種是在同時使用漢語和英語的教學模式，稱為部分雙語模式；第三種在雙語教學的開始階段部分地或全部使用漢語，然后逐步過渡到僅使用英語的學習，稱為過渡教學模式.根據我校特點可適當推行過渡式雙語教學模式：使用英文的教材與課件，逐漸過渡到全英文講授模式.在這種雙語教學模式下，除了講授專業知識外，同時也培養了學生的英語語言能力，包括專業詞匯以及口語交流等能力.

4 結束語

《空間解析幾何》是我校應用數學專業與應用物理專業中一門重要的專業基礎課，可直接為《高等代數》提供直觀的幾何背景，為領悟其結論的精神實質提供幫助；同時也是學習許多其它后繼課程的重要基礎，本文在解析幾何教學的課堂實踐經驗的總結分析的基礎上，提出了一些改革舉措，對該課程教學改革有一定有借鑒作用，同時對進一步加強幾何系列課程建設有一定的參考價值.

〔1〕朱建民，李建平.高等數學.高等教育出版社,2007.

〔2〕李建平，等.高等數學——典型例題與解法.國防科技大學出版社,2003.

〔3〕王萼芳，石生明，等.高等代數（第三版）.高等教育出版社, 2010.

〔4〕楊文茂,李全英.空間解析幾何.武漢大學出版社,2003.

〔5〕丘維生.解析幾何.北京大學出版社，1988.

〔6〕朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學.北京師范大學出版社，1984.

〔7〕J.Roe,“Elementary Geometry”,OUP,1993.

〔8〕M.Reid and B.Szendroi,“Geometry and topology”, CUP,2005.

〔9〕俞理明.我國高校雙語教學的定位及其教學模式探討[J]．中國外語教育，2008.

G642.0

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1673-260X（2014）01-0215-03