基于退化量分布的可靠性建模方法

賀英政，王浩偉，楊 坤

（海軍航空工程學院a.訓練部；b.研究生管理大隊；山東煙臺264000）

對產品退化數據進行分析和建模的方法主要有：基于退化軌跡的方法[1-3]，基于隨機過程的方法[4-6]和基于退化量分布的方法。從建模理論上分析，前2 種方法應比基于退化量分布方法的預測精度要高。因為后者不但要對若干測量時刻的退化量分布族類型作出判斷，還要對分布族參數的時間函數作出預測，更為關鍵的是各測量時刻的退化量可能不最優服從同一分布類型。然而，當產品個體之間的退化軌跡相差較大，無法使用前2 種建模方法對退化數據進行較好擬合時，基于退化量分布的方法因具有不區分個體退化差別的特點而具有較高的可信度。

Nelson[7]首先研究了基于退化量分布的方法，并應用對數正態分布對同一觀測時刻的退化量進行建模。Wang 等[8]使用同樣的方法對感應電動機的加速退化數據進行分析，并假設其尺度參數與時間有關而形狀參數與時間無關。趙建印等[9]通過失效物理分析推導出了某電容器產品的退化量服從正態分布，并基于此進行了可靠性評估。鄧愛民等[10]對基于退化軌跡和基于退化量分布的2種方法進行了系統的介紹。鐘強暉等[11]認為產品各個檢測時刻的退化量可能服從不同的分布族，通過選擇分布類型確定其可靠度值，最后使用三參數威布爾分布對產品壽命進行了分析。

本文提出了通過擬合優度檢驗選擇退化量分布族及通過數據擬合確定分布族參數的方法。以某金屬產品的裂紋退化數據為例，詳細闡述了所提出方法的具體應用過程，并驗證了方法的有效性和準確性。

1 可靠性建模分析

基于退化量分布的可靠性評估方法將樣品性能退化量看作隨機變量，把各樣本在同一時刻的退化數據認為是該隨機變量的一組實現，從退化量分布的角度來描述樣品的退化過程。在產品退化早期，退化量分布曲線的涵蓋范圍離失效閾值較遠，此時產品可靠性近似為1。隨著產品退化的發展，退化量分布曲線接近并涵蓋失效閾值，產品的可靠性逐漸降低，其過程如圖1 所示。所以，如能對每個測量時刻的退化量分布進行準確建模，就可對產品的可靠性進行評估。

圖1 基于退化量分布的統計分析Fig.1 Statistical analysis based on degradation amount distribution

基于退化量分布的可靠性建模基于以下假定。

假定1：退化量分布族假定。所有樣品在若干測量時刻的退化量服從同一分布族，但分布族的參數可能隨時間有所變化。

假定2：分布族參數假定。分布族參數可表示為時間t的函數，并且如果存在加速應力，分布族參數可表示為時間t和加速應力S的函數。

假定3：產品失效假定。樣品的失效閾值l為一常量，當樣品退化量X(t)首次達到失效閾值時，定義為樣品失效，樣品壽命ξ=inf(t|X(t)≥l)服從某一壽命分布類型。

2 可靠性建模

根據測量時刻的退化量確定分布族類型，文獻[4]中使用失效物理分析的方法推導出了分布族類型，本文使用擬合優度比較的方法選擇退化量最優的分布族類型。總結以往文獻用到的分布族類型，將正態分布、對數正態分布、威布爾分布和伽瑪分布作為4個備選分布族類型。假設在各測量時刻，所有樣品的退化量X(t)為相對于初始值的退化增量，滿足X(0)=0，且X(t)服從正態分布X(t)～N(μ(t),σ2(t)) ，μ(t)和σ2(t)分別為均值和方差，且有μ(0)=0 和σ(0)=0。設樣品的失效閾值為l，則可得t時刻樣品的可靠度為

式中，Φ(?)為標準正態分布函數。

考慮到非線性情況，使用時間t的冪率函數表示均值和方差：

式中，a、b、c、d待定系數。

將式（2）代入式（1）中，得到可靠度函數為

3 參數估計

假設每次對n個樣品在同一時刻進行退化量測量，xij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,m）表示第i個樣品第j次測量時的退化量，tj表示第j次測量的時刻，μj表示第j次測量時的退化量均值，表示第j次測量時的退化量方差。則有：

將式（4）代入式（2），可得：

對式（5）中的兩個等式求對數，可得：

4 實例應用

文獻[12]提供了某金屬產品21 個樣品的裂紋尺寸增長數據，每組數據的測量間隔為百萬次運行周期，本文使用了其中前11 組數據，具體內容如表1 所示。所有樣品的裂紋初始值都為0.90，設當裂紋數據增長到1.30時產品失效。

表1 裂 紋尺寸增長數據Tab.1 Increment data of crack size

求出以上11列數據與裂紋初始值之間的差值，使用Anderson-Darling 統計量[13-15]對11 列差值進行擬合優度檢驗，確定各列所服從的最優分布族類型。最優服從正態分布的是第1、3、5、6、10 列，最優服從威布爾分布的是第2、4、7、8 列，最優服從伽瑪分布的是第9列，最優服從對數正態分布的為第11列。其中，第5列的擬合優度檢驗情況如圖2所示。

圖2 擬合優度檢驗Fig.2 Goodness-of-fit test

根據擬合優度檢驗結果，分別假設各列數據服從正態分布和威布爾分布進行參數估計和可靠性評估。

1）假設服從正態分布。通過式（4）解得均值和方差，其變化軌跡見圖3。并利用式（6）得到各系數的最小 二 乘 估 計 為可靠度函數可確定為

圖3 均值與方差的變化軌跡Fig.3 Changing path of the mean and variance

圖4 尺度參數與形狀參數的變化軌跡Fig.4 Changing path of the scale and shape parameters

從圖4 中可看出，形狀參數不是時間t的單調函數，設形狀參數為與t無關的常數m，其估計值m?取為 均 值4.076。設η(t)=a?tb，得 最 小 二 乘 估 計，可靠度函數可確定為

為了對以上2 種假設下的可靠性預測值進行驗證，可計算出每列數據在最優分布族下的可靠度值，如表2所示，并以此為基準進行預測結果比較，可靠性預測曲線如圖5所示。

表2 最優分布族下的可靠度值Tab.2 Reliability at the best fitting distribution type

圖5 可靠度預測值比較Fig.5 Compare between different reliability predictions

由圖5 可知，假設退化量服從正態分布和假設退化量服從威布爾分布的可靠度預測結果幾乎一致，這說明如果在這2 個分布族之間發生誤指定，對預測結果的影響很小，并且2 種假設下的預測曲線與表2 中的可靠度值擬合曲線非常接近，可認為通過2 種假設所得的可靠度預測值都是可信的。

5 結束語

基于退化量分布的可靠性建模方法為長壽命、高可靠性產品的可靠性評估提供了一種新思路，尤其適用于產品個體間的退化軌跡相差較大的情況。本文通過數據擬合的方法做出了對退化量分布族和其參數的假定，結果證明這種處理方法具有較高的準確度和可信度。

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