一種適用于任意陣列的極化和二維DOA聯(lián)合估計(jì)算法

鄭均杰，劉國峰，王曉東

（92785部隊(duì)，河北秦皇島066200）

極化敏感陣列不僅能夠獲取信號的空間到達(dá)角信息，而且可以獲取信號本身所具有的極化信息。因此，相比于標(biāo)量傳感陣列，極化敏感陣列有許多獨(dú)特的性能優(yōu)勢[1-2]。比如說較強(qiáng)的抗干擾能力、穩(wěn)健的檢測性能、極化多址和較高的系統(tǒng)分辨率等。鑒于極化敏感陣列的優(yōu)勢，極化敏感陣列信號處理成為了陣列信號處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。同樣，極化敏感陣列在民用和軍事上有著廣泛的應(yīng)用。比如在移動通信系統(tǒng)中，利用極化敏感陣列可以進(jìn)一步克服多徑衰落干擾和共信道干擾等。在軍事上，利用極化敏感天線陣列可以提高機(jī)載雷達(dá)抑制地雜波能力和地基雷達(dá)抗干擾能力等[2]。

有關(guān)陣列信號極化和二維DOA 參數(shù)聯(lián)合問題，國內(nèi)外學(xué)者已做了一定的相關(guān)工作。比如，文獻(xiàn)[3-5]基于均勻網(wǎng)格的平面陣應(yīng)用ESPRIT的方法可以估計(jì)出二維角度和極化信息。文獻(xiàn)[6]提出了可以適用于任意陣列結(jié)構(gòu)的二維求根DOA 和極化聯(lián)合估計(jì)算法，文獻(xiàn)[7]基于圓柱陣列提出的迭代ESPRIT 的方法估計(jì)二維角度和極化信息等?？諘r(shí)二維處理是在進(jìn)行空域處理的同時(shí)引入了對時(shí)域信息處理，充分利用了信號有用信息，可以降低對陣列結(jié)構(gòu)的約束，提高抗噪能力[8-9]。本文提出了基于時(shí)空處理的極化和二維DOA聯(lián)合估計(jì)算法并進(jìn)行了論證和仿真。

1 陣列結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)模型

對于任意幾何結(jié)構(gòu)的N元陣列，第n個陣元的坐標(biāo)為(pnx,pny,pnz)。選擇不在同一條直線的3 個陣元p0、p1、p2和作為導(dǎo)引陣元，設(shè)p0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示，圖中pn( 0≤n≤N-1) 表示第n個陣元的位置矢量。用ex表示x軸的單位矢量，ey表示y軸的單位矢量，ez表示z軸的單位矢量，pn與ex、ey和ez的關(guān)系為：

圖1 陣列模型Fig.1 Array model

假設(shè)有K個已知載頻為ω0，波長為λ的不相關(guān)窄帶信號源s1(t),s2(t),…,sK(t)入射到陣列，其入射角分別為 (θ1,?1),(θ2,?2),…,(θK,?K) ，極化狀態(tài)為。為了避免多值，這里0 ≤γk≤π/2；0 ≤ηk≤2π(1 ≤k≤K) 。設(shè)每個陣元的極化輻射方向圖相同。

則第n個陣元的輸出為：

式中：n=0,1,…,N-1；u為考慮信號極化狀態(tài)后的?和θ方向的極化系數(shù)矢量，且

sk(t)為第k個入射信號，sk(t)= ||Ekexp(j(ω0t+Ψk))， ||Ek為幅度，Ψk為[0,2π]內(nèi)均勻分布的初始相位；rk為第k個信號的傳播矢量，且

nn(t)為加性噪聲矢量，其均值為零，且各陣元間互不相關(guān)。

2 極化和二維DOA聯(lián)合估計(jì)

2.1 時(shí)空估計(jì)矩陣構(gòu)造

p0、p1、p2為已經(jīng)校準(zhǔn)陣元，令其作為導(dǎo)引陣元。

定義陣元p0與各陣元的相關(guān)函數(shù)為：

定義陣元p1與各陣元的相關(guān)函數(shù)為：

定義陣元p2與各陣元的相關(guān)函數(shù)為：

由式（2）可知：

[9]中的方法構(gòu)造如下時(shí)空矩陣：

其中，diag{}· 表示對角矩陣，則式（5）~（7）的矩陣形式為：式（8）~（10）具有類似結(jié)構(gòu)，類似于對陣列輸出做快拍采樣，對R0(τ)、R1(τ) 和R2(τ) 以時(shí)間延遲τs(τs=Ts,2Ts,…,NT,Ts需要小于2π/ω0s) 為單位進(jìn)行M(M≥K)次采樣，得到2N×M維的“偽快拍矩陣”：

式（11）~（13）可以分別寫成：

式（14）～（16）中，S=[]Rs(Ts),Rs(2Ts),…,Rs(NTs) 。分別對“偽快拍矩陣”求自相關(guān)和互相關(guān)矩陣為：式（17）～（19）中，RSS為S的自相關(guān)矩陣。

參考DOA矩陣方法[9]，定義“時(shí)空估計(jì)矩陣”為：

定理1：如果A與RSS滿秩，Φ無相同的對角元素，則時(shí)空估計(jì)矩陣的K個非零特征值等于Φ中K個對角元素，而這些值對應(yīng)的特征向量等于相應(yīng)的信號導(dǎo)向矢量，即RA=AΦ。

其證明見文獻(xiàn)[10]。觀察和不是滿秩的。但其奇數(shù)行和偶數(shù)行分別構(gòu)成等價(jià)的滿秩矩陣。因此，對時(shí)空估計(jì)矩陣進(jìn)行特征分解同樣可以得到A和Φ1，對的特分解可以得到A和Φ2。

此時(shí)，

式（22）、（23）中，0N表示1×N的零矩陣。

2.2 參數(shù)配準(zhǔn)

由于Φ1和Φ2是2 次獨(dú)立的特征分解得到的,其特征值與特征向量的排列次序是隨機(jī)的。因此，需要對2 次分解的參數(shù)進(jìn)行配準(zhǔn)[9]。將特征分解得到的A記為A1，特征分解得到的A記為A2。因?yàn)樘卣髦蹬c特征向量存在對應(yīng)關(guān)系，所以A1與A2只是在列向量的排列次序上存在差異，即

式中，{P}· 為置換算子，由K×K維置換矩陣P實(shí)現(xiàn)。

P的任意一行或一列中有且只有一個元素為1，其余元素為0。由于Φ中的對角元素與A中的列向量存在固定的對應(yīng)關(guān)系，因而可以將算子P作用于A2，使它的列向量與A1的列向量對齊，類似地將相同的操作作用于Φ2：

這樣，使得Φ′2與Φ1的對角元素配準(zhǔn)，且由式（24）可得到

在得到了對齊的Φ1和Φ′2后，由式（22）、（23）有：

由于3 個導(dǎo)引陣元不在一條直線上，可以從上式中唯一地解出θk和?k。為了保證不出現(xiàn)角度的周期性模糊，3個導(dǎo)引陣元的間距不能超過半波長[11]。

A的偶數(shù)行和奇數(shù)行分別是信號θ和?方向的信號導(dǎo)向矢量，定義[12]：

這樣取任意陣元的θ和φ方向的信號導(dǎo)向矢量比，得到ξk，則有：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1：采用圖2的6元陣，坐標(biāo)分別為p0(0,0,0)，p1(λ/4,0,0) ，p2(λ,λ,0) ，p3(0,λ/4,0) ，p4(0,λ,λ) ，p5(0,0,λ/2)。設(shè)各陣元輻射方向圖相同且為全向，令p0、p1、p3做導(dǎo)引陣元。

圖2 陣列結(jié)構(gòu)Fig.2 Array structure

有2 個互不相關(guān)窄帶信號源入射，其極化與二維波達(dá)角參數(shù)對(θk,?k,γk,ηk)，分別為(30°,30°,45°,5°)和(70°,40°,50°,10°)，采用200次快拍和100次偽快拍，信噪比為20 dB，進(jìn)行500 次獨(dú)立的Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)。圖3和圖4分別給出了二維波達(dá)角與極化特性的估計(jì)結(jié)果。

圖3 二維波達(dá)角估計(jì)結(jié)果Fig.3 Results of 2D DOA estimation

圖4 極化特性估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimation results of polarization characteristics

從圖3 和圖4 可以看出，本文提出的算法可以利用較少的采樣數(shù)據(jù)正確地估計(jì)出信源的二維波達(dá)角與極化特性，其適用于任意陣列。唯一要求是3 個導(dǎo)引陣元間隔不能超過半個波長。

實(shí)驗(yàn)2：陣列與信源設(shè)置同實(shí)驗(yàn)1，采用200 次快拍和100次偽快拍，進(jìn)行500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，圖5給出了2個信源二維波達(dá)角估計(jì)的最小均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線，圖6 給出了信源極化特性估計(jì)的最小均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線。

定義信源k的二維波達(dá)角估計(jì)的均方根誤差為

定義信源k的極化特性估計(jì)的均方根誤差為

由圖5和圖6可以看出，隨著SNR的增加，算法估計(jì)的均方根誤差逐漸減小，估計(jì)的精度逐漸高，說明了算法的有效性。

圖5 二維波達(dá)角估計(jì)結(jié)果的RMSE隨SNR變化曲線Fig.5 Estimate results the 2D DOA of RMSE changed with SNR

4 結(jié)束語

本文提出了基于信號時(shí)空特征結(jié)構(gòu)的二維DOA和極化聯(lián)合估計(jì)算法。該算法通過陣元間的互相關(guān)函數(shù)將空域的陣列數(shù)據(jù)變換到時(shí)空域，利用時(shí)空域上的偽快拍數(shù)據(jù)矩陣構(gòu)造時(shí)空估計(jì)矩陣。通過時(shí)空估計(jì)矩陣特征分解得到的特征值和特征矢量可以同時(shí)估計(jì)出信源的波達(dá)方向和極化特性，無須譜峰搜索，參數(shù)配對算法簡單，計(jì)算量較小。在滿足3 個導(dǎo)引陣元間距不超過半個波長條件時(shí)，該算法適用于任意陣列。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊鵬.基于復(fù)雜載體的共形軟件天線關(guān)鍵技術(shù)研究[D].成都：成都電子科技大學(xué)，2012.

YANG PENG.Study of key techniques of conformal software antenna based on complex platforms[D]. Chengdu：Chengdu University of Electronic Science and Technology，2012.（in Chinese）

[2] 許凌云.陣列多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法及應(yīng)用的研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2011.

XU LINGYUN.Array multi-parameter joint estimation algorithm and its application research[D]. Nanjin：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2011.（in Chinese）

[3] LI J，COMPTON R T.Angle and polarization estimation using ESPRIT with a polarization sensitive array[J].IEEE Transactions on Antennas Propagate，1991，39（9）：1376-1383.

[4] LI J. Direction and polarization estimation using arrays with small loops and short dipoles[J]. IEEE Transactions Antennas Propagate，1993，41（3）：379-387.

[5] LI J，COMPTON R T. Two dimensional angle and polarization estimation using the ESPRIT algorithm[C]//Antennas and Propagation Society International Symposium.1991：388-391.

[6] COSTA M A，RICHTER A，KOIVENEN V.Azimuth，elevation and polarization estimation for arbitrary polarimetic array configurations[C]//IEEE workshop on statistical signal process.2009：261-264.

[7] 鄒麟.基于幾何代數(shù)的共形陣列空域信號處理研究[D].成都：成都電子科技大學(xué)，2012.

ZOU LIN. Research on array spatial signal processing based on conformal geometric algebra[D]. Chengdu：Chengdu University of Electronic Science and Technology，2012.（in Chinese）

[8] 孫曉穎，陳建，林琳.基于時(shí)空處理的頻率與二維DOA聯(lián)合估計(jì)算法[J].通信學(xué)報(bào)，2009，30（8）：39-44．

SUN XIAOYING，CHEN JIAN，LIN LIN. Joint signal carrier frequency and 2D DOA estimation method based on space-time processing[J]. Journal on Communicatins，2009，30（8）：39-44.（in Chinese）

[9] 金梁，殷勤業(yè).時(shí)空DOA 矩陣法[J].電子學(xué)報(bào)，2000，28（6）：8-12．

JIN LIANG，YIN QINYE. Space-time DOA matrix method[J].Acta Eletronica Sinica，2000，28（6）：8-12.（in Chinese）

[10]殷勤業(yè).高分辨率波達(dá)方向估計(jì)[D].西安：西安電子科技大學(xué)，1989.

YIN QINYE. High resolution DOA estimation[D]. Xi'an：Xidian University，1989.（in Chinese）

[11] GODRICH H，HAIMOVICH A M，BLUM R S.Targetlocalization accuracy gain in MIMO radar-based systems[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2010，56（6）：2783-2803.

[12]TAJER A，JAJAMOVICH G H，WANG X，et al. Optimal jointtarget detection and parameter estimation by MIMO radar[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4（1）：127-145.