對形成數(shù)學(xué)能力因素的探討

韋玉

什么是數(shù)學(xué)能力？是指人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，使數(shù)學(xué)問題解決能夠順利完成的一種特殊的心理機(jī)能，這種特殊的心理機(jī)能直接影響著數(shù)學(xué)活動(dòng)的效率.因此，只有對這種特殊的心理機(jī)能施以積極的影響或刺激，才能在教學(xué)中有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生解決任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題，首先，應(yīng)具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，它是形成數(shù)學(xué)能力最基本的因素；其二，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法對問題進(jìn)行合理的判斷、推理與論證；其三，要有銳意進(jìn)取的創(chuàng)新意識(shí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，有獨(dú)到、靈活與強(qiáng)烈的開拓傾向性.顯然，若學(xué)生具備這三種因素的心理機(jī)能，就能在運(yùn)算、空間想象、分析問題與解決問題中形成數(shù)學(xué)能力。

教學(xué)中有的放矢地對學(xué)生施以這三個(gè)方面的訓(xùn)練、培養(yǎng)，才能使每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力發(fā)展到應(yīng)有的水平。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取與數(shù)學(xué)思想方法的滲透

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生最關(guān)心的就是解決問題的方法，即常說的數(shù)學(xué)方法。它是指在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下為解決數(shù)學(xué)問題所提供的具體思維方向與操作程序，中學(xué)的數(shù)學(xué)方法可分為三類：

（1）從認(rèn)識(shí)方法上講，有“觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與分類、歸納與類比、想象、直覺、頓悟”等，這些數(shù)學(xué)方法隱含于教材之中，必須引導(dǎo)學(xué)生挖掘，在解決問題中反復(fù)實(shí)踐，才能從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，最終達(dá)到靈活運(yùn)。

（2）從邏輯上講，有“完全歸納法與不完全歸納法、綜合法、分析法、演繹法、反證法、同一法等。

（3）在教材中還有一類由幾個(gè)具體的操作步驟來完成的數(shù)學(xué)方法。如初中教材上的消去法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、等積法、基本圖形法等。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本觀點(diǎn)。在教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們的內(nèi)在規(guī)律及本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在規(guī)律及本質(zhì)與數(shù)學(xué)方法的高度概括，對解決數(shù)學(xué)問題具有指導(dǎo)性意義，中學(xué)教材上的數(shù)學(xué)思想有：“符號與變元思想、集合與對應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想、化歸與辯證思想”等，教學(xué)中，如何向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想呢？

（1）在知識(shí)學(xué)習(xí)中提煉數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想內(nèi)隱于教材之中，在知識(shí)的發(fā)展點(diǎn)與新知識(shí)的發(fā)生點(diǎn)，存在著豐富的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中，應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生注意提煉數(shù)學(xué)思想，如對多邊形內(nèi)角和的探索，可以引導(dǎo)學(xué)生把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來處理，從中提煉化歸思想。

（2）在數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)中歸納數(shù)學(xué)思想。

在學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)方法，不僅要求學(xué)生靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法去解決數(shù)學(xué)問題，還要把這些數(shù)學(xué)方法與已有的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，歸納概括其共性，并揭示其內(nèi)在規(guī)律及本質(zhì)，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到這樣的共性在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的作用。如代數(shù)中方程與方程組中的換元法，幾何中的角、線段、中間比，實(shí)際上都體現(xiàn)了變元思想。

（3）小結(jié)時(shí)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。

小結(jié)時(shí)不僅讓學(xué)生整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法，還要強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝地位與解決數(shù)學(xué)問題的作用，尤其是在章末小結(jié)，要精心編選習(xí)題，使這些習(xí)題不僅體現(xiàn)全章的重要知識(shí)與數(shù)學(xué)方法。還要體現(xiàn)這一章的主要數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一章的數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中起到哪些作用。如三角函數(shù)一章小結(jié)時(shí)，在學(xué)生整理完知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法后，要強(qiáng)化符號思想、對應(yīng)思想與結(jié)構(gòu)思想，并用相應(yīng)的習(xí)題去體現(xiàn)它們，特別是結(jié)構(gòu)思想，要讓學(xué)生掌握在較復(fù)雜的題型或圖形中，如何建立直角三角形這種結(jié)構(gòu)去解決問題。

二、數(shù)學(xué)思想品質(zhì)的培養(yǎng)

由于解決數(shù)學(xué)問題是由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化過程，帶有一定的方向性。因此，在教學(xué)中，集中思維與發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的主要內(nèi)容。

集中思維從形式上看，是“具有定向性、層次性與收斂性”，從內(nèi)容上講，是“具有求同性與專注性”。

從教材的邏輯結(jié)構(gòu)分析，方向性、層次性與收斂性比較外顯，但引導(dǎo)學(xué)生探索每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過程，其求同性與專注性又內(nèi)隱于其中，因此，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)完一單元或一章內(nèi)容后，認(rèn)真系統(tǒng)地閱讀教材，結(jié)合集中思維的形式與內(nèi)容，寫讀后感或制出教材的思維圖表，使學(xué)生感悟集中思維的內(nèi)涵。

從解決數(shù)學(xué)問題的過程分析，創(chuàng)設(shè)集中思維的情境，引導(dǎo)學(xué)生綜合分析條件中的已有信息，朝著結(jié)論的方向，把問題分成幾個(gè)依次遞進(jìn)的小問題，每解決一個(gè)小問題，讓學(xué)生明白，其結(jié)論直接影響下一個(gè)小問題的思維方向，其思維搜索范圍將隨之縮小，并逐步向結(jié)論推進(jìn)，最終使問題得到解決。顯然，學(xué)生在解決問題的過程中，集中思維的品質(zhì)得到了培養(yǎng)。

對概念、性質(zhì)、定理的教學(xué)，也可給學(xué)生提供一個(gè)發(fā)散思維的情境，讓學(xué)生去探索解決問題的途徑，這種思維從方向上看，“具有逆向性、橫向性與多向性”；從內(nèi)容上講，“具有變通性與開放性”，常說的逆向思維、求異思維，不過是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，分析問題的切人點(diǎn)不同，目的都是設(shè)法從條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化。因此，教學(xué)中應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)不同的發(fā)散情境，使學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法，從不同的角度，勇于提出自己的想法，使學(xué)生發(fā)散性思想品質(zhì)得到充分的錘煉。

在教學(xué)中，發(fā)散性思維的培養(yǎng)主要有以下途徑：

（1）條件發(fā)散，結(jié)論不變。啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已知數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法，盡可能地從不同的角度去探索問題，把結(jié)論成立的各種可能的數(shù)量關(guān)系或圖形的位置關(guān)系都尋找出來。

（2）結(jié)論發(fā)散，條件完備。啟發(fā)學(xué)生在探索過程中，利用想象、猜想、嘗試與直覺等，把符合條件的結(jié)論都探索出來。

（3）解決數(shù)學(xué)問題的過程發(fā)散，即條件完備，結(jié)論一定。引導(dǎo)學(xué)生從條件與結(jié)論中，以不同的信息作為切入點(diǎn)，運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法，把解決問題的各種途徑都探索出來。

三、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)

所謂創(chuàng)新意識(shí)，指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中表現(xiàn)出的獨(dú)到性、變通性、靈活性與開拓性，進(jìn)而形成的個(gè)人能動(dòng)的傾向性，這種個(gè)人能動(dòng)的傾向性，不僅僅與學(xué)生的先天條件有關(guān)，還與教師精心培育與正確啟發(fā)、引導(dǎo)、鼓勵(lì)有關(guān)，因此，教學(xué)中應(yīng)利用學(xué)生的好奇心，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法，靈活地探索未知，鼓勵(lì)學(xué)生開拓，使學(xué)生逐漸形成個(gè)人能動(dòng)的傾向性。

從教材上可以看出數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，因此在教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)動(dòng)態(tài)的思維情境，創(chuàng)設(shè)由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般或由一般到特殊的各種情形，在這個(gè)動(dòng)態(tài)過程中，啟發(fā)學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”現(xiàn)實(shí)生活中哪些實(shí)際問題與學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容有關(guān)，使學(xué)生在動(dòng)態(tài)探索中，其獨(dú)到、變通與靈活的個(gè)人能動(dòng)傾向性得到培養(yǎng)。

教學(xué)中不僅啟發(fā)學(xué)生用發(fā)散性思維去探索問題，還要引導(dǎo)學(xué)生把條件與結(jié)論中的一些特殊的條件（或結(jié)論）一般化，一般的條件（或結(jié)論）特殊化，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系與圖形位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化中，錘煉獨(dú)到、變通與靈活的個(gè)人能動(dòng)傾向性。

怎樣培養(yǎng)學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)思路的習(xí)慣？

（1）對已有數(shù)學(xué)模型性質(zhì)進(jìn)行開拓。

一些數(shù)學(xué)模型性質(zhì)是因一些特殊的數(shù)學(xué)元素而形成，教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用這些特殊的數(shù)學(xué)元素，去發(fā)現(xiàn)“新的性質(zhì)”。如在平面幾何復(fù)習(xí)時(shí)，已知三角形三邊，可求出三角形的高與三邊的關(guān)系，那么已知三邊，某一邊的中線，某一角的平分線是否可求？

（2）對學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用開拓。

當(dāng)學(xué)生學(xué)完某一知識(shí)點(diǎn)之后，可引導(dǎo)學(xué)生利用剛學(xué)習(xí)的概念、性質(zhì)等自擬習(xí)題并作答，有時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生把自擬習(xí)題的范圍適當(dāng)拓寬。如代數(shù)問題拓展到幾何問題，幾何問題拓展到代數(shù)問題等，使學(xué)生展開思維的翅膀，自由地將所學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行開拓應(yīng)用，對違背科學(xué)常識(shí)的現(xiàn)象要糾正。

（3）對教材上的例習(xí)題進(jìn)行開拓。

教材上的例習(xí)題具有典型性與深刻性，引導(dǎo)學(xué)生充分利用例習(xí)題揭示其深刻性，領(lǐng)悟其典型性。使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到舉一反三的效果。