修正Camassa-Holm方程的Cauchy問題*

張雙虎，馮兆永，楊凱波

(1．西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400715;2．中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510275)

在本文，我們考慮如下直線上修正Camassa-Holm方程(mCH方程)的初值問題

(1)

這里

(2)

表示系統(tǒng)的動(dòng)量密度。這個(gè)非線性方程通過對(duì)修正 Korteweg-de Vries方程的bi-Hamiltonian 表示應(yīng)用 tri-Hamiltonian 對(duì)偶方法而導(dǎo)出[1-2]，因此它是具有 bi-Hamiltonian 結(jié)構(gòu)的可積系統(tǒng)。方程(1)描述平直底面上淺水表面波的無(wú)向性傳播，u(t,x)表示非維數(shù)變量的自由表面高度。

Camassa-Holm 方程(CH 方程)

mt+umx+2mux=0,m=u-uxx

CH 方程具有二次非線性項(xiàng)，最近有兩個(gè)具有三次非線性項(xiàng)的CH型方程被導(dǎo)出：mCH方程(1)和Novikov方程[16]

mt+u2mx+3muux=0,m=u-uxx

(3)

這兩個(gè)方程都具有尖峰孤立子解并且都能描述波的破裂。最近，mCH方程(1)的幾何形成和可積性、局部適定性、爆破準(zhǔn)則和破裂機(jī)制、尖峰解以及尖峰孤立子的穩(wěn)定性獲得了研究[17-19]。

本文的目標(biāo)是對(duì)(1)的 Cauchy 問題，提出奇異性形成的一些充分條件，建立解不連續(xù)依賴于初值意義下的不適定性。首先將mCH方程(1)改寫成關(guān)于動(dòng)量密度(2)的運(yùn)輸方程

(4)

運(yùn)輸方程的理論保證了解m保持正常和不爆破，只要斜率

(5)

保持有界；而當(dāng)斜率(5)下方無(wú)界時(shí)，解在有限時(shí)間爆破[17-18]。當(dāng)初值保號(hào)時(shí)，動(dòng)量密度滿足運(yùn)輸方程還隱含了動(dòng)量m(t,x)和強(qiáng)解u(t,x)保持相同的符號(hào)，這對(duì)本文爆破結(jié)果的提出至關(guān)重要。我們提出的新的爆破利用了下述守恒律

以及作者最近建立的更好的估計(jì)(見引理4)。受文獻(xiàn)[10]啟發(fā)，我們利用文獻(xiàn)[18]中給出的(1)的尖峰孤立子建立了非一致依賴性。這一結(jié)果的建立，使得我們對(duì)初值所在空間的指標(biāo)有了一個(gè)較為清晰的刻畫。

記號(hào)在下文中，對(duì)給定的 Banach 空間X, 其范數(shù)記為‖·‖X。 在不引起混淆的情況下，我們總是省略函數(shù)空間的定義域。函數(shù)u的Fourier 變換記為u或

1 基本引理

我們回顧修正 Camassa-Holm 方程的基本結(jié)果，讀者可以通過文獻(xiàn)[17-18]查閱細(xì)節(jié)和證明。首先我們給出局部適定性。

利用上述準(zhǔn)則，我們可得以下爆破準(zhǔn)則。

(6)

我們可得以下引理。

(t,x)∈[0,T)×R

進(jìn)一步，

m(t,q(t,x))qx(t,x)=m0(x),(t,x)∈[0,T)×R

2 爆破現(xiàn)象

我們討論 mCH 方程初值問題的爆破現(xiàn)象。首先引出一個(gè)重要引理，通過這個(gè)引理我們可以改進(jìn)其已經(jīng)確立的爆破結(jié)果。

引理4[20]設(shè)u0∈Hs(R),s≥2以及T>0是初值問題 (1) 對(duì)應(yīng)的解u(t,x)的最大存在時(shí)間，則

(7)

進(jìn)一步

|ux(t,x)|≤u(t,x)

現(xiàn)在我們陳述本文第一個(gè)重要的定理。

(8)

則解u(t,x)在有限時(shí)刻T0爆破

(9)

(10)

方程(1)和方程(6)可推出對(duì)t∈[0,T),

(11)

并且，結(jié)合引理5，(7)式以及(10)式, 易得

(12)

利用(11)-(12)式，通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知成立

(13)

以下我們聲明對(duì)所有t∈[0,T), 總有

(14)

事實(shí)上， 如果(14)式不成立，則由初始條件(8)可知，必存在時(shí)間t0∈(0,T)使得

(15)

從而

這與(15)式相矛盾。

結(jié)合(11)式、(13)-(14)式，對(duì)所有t∈[0,T)，有

(16)

上式從0到t積分可得

從而，可推知存在0

進(jìn)一步，由于

從而

當(dāng)t→T≤T0

(17)

這就證明了解u(t,x)在有限時(shí)間T爆破。

注1 定理1不僅在初始條件上提升了文[18]中定理5.2，并且爆破時(shí)間的估計(jì)更優(yōu)

注意到 mCH 方程(1)具有性質(zhì)：若u(t,x)是(1)的解, 則v(t,x)=-u(t,x)也是(1)的解。因而，通過類似于定理1的分析，可以建立如下m0非正時(shí)的爆破結(jié)果。

(18)

則解u(t,x)在有限時(shí)刻T0爆破

(19)

3 非一致連續(xù)依賴性

引理6[18]對(duì)任何a≠0, 具尖峰形式的函數(shù)

是(1)的一個(gè)整體弱解。

為了證明上述定理，我們首先提出一個(gè)關(guān)鍵引理。

(20)

以及

(21)

其中

證明由引理6, 對(duì)任何c>0 考察

首先，通過計(jì)算uc關(guān)于x的Fourier變換可知

(22)

因此，當(dāng)t=0時(shí)可得

(23)

另一方面, 當(dāng)t>0 時(shí)，

(24)

其中

則可以推出

(25)

結(jié)合(24)-(25)式可知

C2(s)2n1+4|s|+2st3-2s

進(jìn)一步，得

最后，很容易知道定理2是引理7的一個(gè)直接結(jié)果。

注2 分析文獻(xiàn)[17-18]中的定理和本文中的定理2, 我們知道在局部適定性和非適定性之間的指標(biāo)存在間隔，這是我們以后研究努力彌補(bǔ)的方向。

[1] FUCHSSTEINER B. Some tricks from the symmetry-toolbox for nonlinear equations: generalizations of the Camassa-Holm equation [J]. Physica D, 1996, 95: 229-243.

[2] OLVER P, ROSENAU P. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary-wave solutions having compact support [J]. Phys Rev E,1996, 53: 1900-1906.

[3] CAMASSA R, HOLM D. An integrable shallow water equation with peaked solitons [J].Phys Rev Lett, 1993, 71: 1661-1664.

[4] FUCHSSTEINER B, FOKAS A. Symplectic structures, their B?cklund transformations and hereditary symmetries [J]. Physica D, 1981/1982, 4: 47-66.

[5] DAI H. Model equations for nonlinear dispersive waves in a compressible Mooney-Rivlin rod [J]. Acta Mech, 1998, 127: 193-207.

[6] CONSTANTIN A, ESCHER J. Global existence and blow-up for a shallow water equation [J]. Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci, 1998, 26(4): 303-328.

[7] LI Y, OLVER P. Well-posedness and blow-up solutions for an integrable nonlinearly dispersive model wave equation [J]. J Differential Equations, 2000, 162: 27-63.

[8] RODRIGUEZ-BLANCO G. On the Cauchy problem for the Camassa-Holm equation [J].Nonlinear Anal, 2001, 46: 30-327.

[9] YIN Z. Well-posedness, blowup, and global existence for an integrable shallow water equation [J]. Discrete Contin Dyn Syst, 2004, 11: 393-411.

[10] HIMONAS A, MISIOLEK G. The Cauchy problem for an integrable shallow water equation [J]. Differential Integral Equations, 2001, 14: 821-831.

[11] CONSTANTIN A. Existence of permanent and breaking waves for a shallow water equation: a geometric approach [J]. Ann Inst Fourier (Grenoble), 2000, 50: 321-362.

[12] CONSTANTIN A, ESCHER J. Well-posedness, global existence, and blowup phenomena for a periodic quasi-linear hyperbolic equation [J]. Comm Pure Appl Math, 1998, 51: 475-504.

[13] CONSTANTIN A, ESCHER J. Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equations [J]. Acta Math, 1998, 181: 229-243.

[14] XIN Z, ZHANG P. On the weak solutions to a shallow water equation [J]. Comm Pure Appl Math, 2000, 53: 1411-1433.

[15] XIN Z, ZHANG P. On the uniqueness and large time behavior of the weak solutions to a shallow water equation [J]. Comm Partial Differential Equations, 2000, 27: 1815-1844.

[16] NOVIKOV V. Generalizations of the Camassa-Holm equation [J]. J Phys A, 2009, 42: 342002.

[17] FU Y, GUI G, LIU Y, et al. On the Cauchy problem for the integrable modified Camassa-Holm equation with cubic nonlinearity [J]. J Differential Equations, 2014, 255: 1905-1938.

[18] GUI G, LIU Y, OLVER P, et al. Wave-breaking and peakons for a modified Camassa-Holm equation [J]. Comm Math Phys, 2013, 319: 731-759.

[19] LIU X, QIAO Z, YIN Z. On the Cauchy problem for a generalized Camassa-Holm equation with both quadratic and cubic nonlinearity [J]. Commun Pure Appl Anal, 2014, 13: 1283-1304.

[20] LIU Y, OLVER P, QU C, et al. On the blow-up of solutions to the modified integrable Camassa-Holm equation [J]. Analysis and Appl,2014,12(4):355-368.