自發輻射誘導原子質心運動退相干的理論研究*

姜文英，趙志敏，劉玉潔，張文舉， 鄭 麗，鄭泰玉

(1.南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京 210016；2.桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西桂林 541004；3.大連工業大學信息科學與工程學院，遼寧大連 116034；4.大連工業大學生物工程學院，遼寧大連 116034；5.東北師范大學物理學院，吉林長春 130024)

經典力學適用于宏觀物體，而量子力學適用于微觀物體。但是，量子力學作為物理學的基本規律，也應該適用于宏觀物體，它應以經典力學的規律作為其極限情況。量子力學中的一維諧振子是一個很好的例子。在低激發態，粒子的位置幾率分布和經典幾率分布差別極大，而當量子數變得相當大時，量子力學分布逐漸接近經典分布。這是Bohr對應原理的體現。另外，量子力學認為任何物體都具有波粒二象性，宏觀物體也不例外，雖然日常所觀測的現象并沒有發現宏觀物體具有量子相干性，但是人們已經 從實驗上觀測到了宏觀物體的量子相干效應。這說明了量子力學與經典物理并不相矛盾，它們對世界的描述有些差異，卻是相容的。

對于是什么機制使得宏觀物體的量子相干性喪失的研究，不僅可以幫助人們更好的理解量子世界與經典世界的過渡，而且對量子信息學的發展也有著重要意義[1-3]。人們曾經嘗試從各種角度去回答這個問題，也經歷了各種各樣的爭論，但最終發現量子退相干理論能對這一問題給出正確的解釋。關于量子退相干的機制，人們曾提出了許多模型理論[4-9]。人們也進行了許多相關的實驗研究來演示量子退相干的動力學過程[10-12]，量子相干性的消失和恢復。幾十年來，退相干的機制始終是集中研究和爭論的課題，物理學家用模型演示這種機制，逐漸取得共識的是退相干的根源是環境的影響。目前人們研究了各種各樣環境誘導退相干的模型理論[13-14]，試圖在量子力學的框架中理解量子退相干問題。

本文根據環境誘導退相干的理論，研究了單個二能級原子與真空電磁場的相互作用，結果表明，原子的自發輻射會誘導原子的質心運動的空間量子相干性消失，從而導致原子間相對位置空間局域化。

1 系統的薛定諤方程及精確解

考慮二能級原子的激發態和基態分別為|e〉和|g〉。原子躍遷頻率是w0，原子質量是m0，它的空間位置用x表示，相應的動量為p。若原子放置在一個真空的電磁場中，則原子內部狀態將與電場耦合，在旋轉波近似下，二能級原子與場相互作用的哈密頓量為

(1)

我們考慮系統處在一維空間中。設t=0時刻，系統的初始波函數可寫為|Φ(0)〉=|ψ(0)〉?|e〉?|0〉。即原子的內部電子態處于激發態，電磁場處于真空狀態，|是原子的空間自由度的初始態，在原子的動量表象中，它可以寫為動量算符的本征態|p〉的疊加：

(2)

(3)

系數Ap(t)和Bp,k(t)是和時間相關的量，通過求解薛定諤方程，我們得到(通過用Weisskopf-Wigner近似):

(4)

定義

A0=Cp，

hωA=p2/(2m)+hω0，

hωB=(p-hk)2/(2m)-hω0/2+hωk，

2 約化密度矩陣

ρ(x,x′,t)=ψ(x,t)ψ*(x′,t)F(x,x′,t)

(5)

在此計算過程中，把ψ(x+hk,t)在x附近展開到了一級近似，并假定ω0?Γ。

(5)式中，F(x,x′,t)是退相干因子，其定義為

(6)

圖1 退相干因子|F(x′=-x,t)|示意圖Fig.1 Schematics of decoherence factor |F(x′=-x,t)|(a)|F(x′=-x,t)|隨x和λ的變化而不同，(b)某一相同時刻不同輻射光子波長下|F(x′=-x,t)|隨x變化的示意圖

另外，我們分析退相干因子F(x′=-x,t)跟原子位置以及耦合常數間的關系。圖2中，給出了三種不同位置情況下，退相干因子隨時間的演化情況，可以看出，退相干與原子的位置或原子尺度相對原子輻射光子的波長大小有密切關系，在某情況下，原子的空間運動會發生完全退相干，即退相干因子會在有限時間內完全變為零，而某些情況下，原子的空間運動只會發生部分退相干。這些參數可以幫助尋找原子的退相干自由子空間。圖3給出了更清楚地三維圖像，即退相干因子F(x′=-x,t)隨時間和位置的變化圖像。圖3給出的是不同耦合強度下，退相干因子F(x′=-x,t)隨時間和原子位置的演化圖示。圖中從圖3(a)至圖3(d)，耦合常數g逐漸變大，可以看出，耦合常數越小，原子空間退相干時間越長，即原子與場的耦合越弱，原子空間運動的相干性越好，原子內態與場耦合越強，原子的空間位置退相干就會越明顯。

圖2 退相干因子|F(x′=-x,t)|在不同原子尺度情況下隨時間演化示意圖Fig.2 Evolution of |F(x′=-x,t)| for different x圖中虛線對應x=0.5λ，點虛線對應x=1.42λ，實線對應x=0.8λ

3 原子質心運動的空間量子退相干

假設(2)式中的原子質心運動的初始態波函數|ψ(0〉是兩個在中心位置分別在a與-a的高斯波包的疊加，則在x表象中，其表達式為

(7)

(8)

圖3 退相干因子F(x′=-x,t)隨時間和位置演化的圖示。Fig.3 Demonstration for the evolution of F(x′=-x,t) with time and the atomic position(a)g=0.1; (b)g=0.5; (c)g=2; (d)g=5

圖4給出了約化密度矩陣ρ(x,x′,t)隨時間演化的示意圖(分別對應兩種不同情況下的三種不同時間)，一種情況是無自發輻射時的演化，另一種存在自發發射時的演化情況。我們可以看到在有自發發射的情況下，首先波包的擴散被抑制，其次兩波包的空間相干性隨著時間而衰減。當t?tD時，沿著x=-x′方向的兩個波峰可以在有限的時間內衰減到幾乎為零，并且不會復原。因此原子質心運動的相干性被明顯破壞。顯然由于原子的自發輻射，使得原子的空間自由度與真墾電磁場間產生量子糾纏，從而所導致的原子的空間自由度發生退相干。

圖4 原子質心運動的約化密度矩陣隨時間的演化示意圖Fig.4 Schematics of the reduced density matrix for the motion of the atomic center of mass(第一排圖像為有自發輻射時的情況；第二排為自由演化時的情況)

5 總 結

本文主要分析了原子的內部自由度對其質心運動的空間量子相干性的影響，通過考慮原子內部電子態與真空電磁場的耦合，討論了原子質心運動的退相干動力學。在weisskopf-wigner近似下，通過求解薛定諤方程，給出了總哈密頓量的解析解和描述原子質心運動的約化密度矩陣。在此基礎上，進一步討論了其量子退相干動力學演化情況。我們發現，原子的自發輻射誘發了原子的空間自由度態、原子的電子態與真空電磁場間的量子糾纏，從而破壞了原子質心運動的量子相干性。

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