相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理*

金世欣,張 毅

(1．蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2．蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

時(shí)滯現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程實(shí)際中，從自然界到人類社會(huì)，從自然科學(xué)、工程技術(shù)到社會(huì)科學(xué)，時(shí)間滯后現(xiàn)象無(wú)處不在[1]。即使一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，一旦考慮時(shí)滯的影響，就使得動(dòng)力學(xué)行為變得更為復(fù)雜，也更為接近力學(xué)本質(zhì)[1-3]。而力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為及其基本性質(zhì)都具有深刻的影響，從基本理論到具體應(yīng)用都顯示出對(duì)稱性的極端重要性[4-16]?？紤]含時(shí)滯的變分問(wèn)題的研究可追溯到El’sgol’c[17]的工作；1968年，Hughes[18]討論了含時(shí)滯的變分和最優(yōu)控制問(wèn)題，建立了含時(shí)滯的Euler-Lagrange方程；隨后，Palm和Schmitendorf[19]，Rosenblueth[20]，Chan和Yung[21]以及Lee和Yung[22]對(duì)含時(shí)滯的變分問(wèn)題做了進(jìn)一步的研究。然而，含時(shí)滯的變分對(duì)稱性與守恒量的研究才剛剛開(kāi)始。2012年，F(xiàn)rederico和Torres[23]首次討論了含時(shí)滯的變分和最優(yōu)控制問(wèn)題的Noether對(duì)稱性，得到了含時(shí)滯的Euler-Lagrange方程以及含時(shí)滯的最優(yōu)控制問(wèn)題的Hamilton正則方程，并討論了含時(shí)滯的Lagrange系統(tǒng)和最優(yōu)控制Hamilton系統(tǒng)在點(diǎn)變換下的Noether對(duì)稱性與守恒量。2013年，張毅和金世欣[24-25]研究了含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的Noether理論，建立了含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Lagrange方程，給出了含時(shí)滯的Noether對(duì)稱變換、準(zhǔn)對(duì)稱變換以及廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換的定義和判據(jù)，建立了在速度依賴的無(wú)限小群變換下含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether理論，并將其進(jìn)一步推廣到含時(shí)滯的Hamilton系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量。

本文進(jìn)一步研究相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量。給出相空間中含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Hamilton原理，建立含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Hamilton正則方程；在依賴于廣義速度的無(wú)限小群變換下，給出含時(shí)滯的Hamilton作用量的變分公式，建立相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換的定義和判據(jù)；研究含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱性與守恒量之間的聯(lián)系，得到相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理。

1 含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Hamilton正則方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)來(lái)確定，考慮系統(tǒng)具有時(shí)滯，其Lagrange函數(shù)為[24]

(1)

引進(jìn)含時(shí)滯的廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)

(s=1,2,…,n)

(2)

H=H(t,ps,qs,psτ,qsτ)=

(3)

含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Hamilton原理為

(4)

qs(t)=δs(t),t1-τ≤t≤t1

(5)

qs(t)=qs(t2),t=t2,(s=1,2,…,n)

(6)

其中時(shí)滯常量τ

(7)

進(jìn)行變量替換t=θ+τ，并考慮條件(5)，有

(8)

將(8)式代入(7)式，得到

(9)

利用分部積分計(jì)算，并考慮邊界條件(5)和(6)，得

(10)

以及

(11)

將式(10)和(11)代入式(9)，得到

(12)

將式(3)兩邊對(duì)廣義動(dòng)量求偏導(dǎo)數(shù)，得到

t1≤t≤t2-τ,

(13)

ps(t)+psτ(t+τ)-

t1≤t≤t2-τ,

t2-τ

(14)

將式(14)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，有

(15)

2 相空間中含時(shí)滯的Hamilton作用量的變分

相空間中含時(shí)滯的Hamilton作用量為

(16)

引入r-參數(shù)有限群的無(wú)限小變換

ps(t)+Δps(t) (s=1,2,…,n)

(17)

其展開(kāi)式為

(18)

(19)

式(19)也可寫(xiě)為

(20)

其中

(σ=1,2,…,r)

(21)

式(19)和(20)是相空間中含時(shí)滯的Hamilton作用量的變分的兩個(gè)基本公式。

3 相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換

下面我們來(lái)建立相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換的定義和判據(jù)。

假設(shè)H′是某個(gè)另外的Hamilton函數(shù)，若變換(17)精確到一階小量滿足

(22)

則稱這種不變性為相空間中含時(shí)滯的Hamilton作用量在無(wú)限小變換(17)下的廣義準(zhǔn)不變性，而變換(17)稱為相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。于是有

定義1 若含時(shí)滯的Hamilton作用量(16)在無(wú)限小群變換(17)作用下，滿足條件

(23)

其中ΔG=εσGσ，Gσ=Gσ(t,ps,qs,psτ,qsτ)為規(guī)范函數(shù)，則稱無(wú)限小變換(17)為相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

由定義1和變分公式(19)，(20)式，得到如下判據(jù)。

判據(jù)1 如果無(wú)限小群變換(17)，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，滿足條件

(24)

當(dāng)t2-τ

(25)

則變換(17)是相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

式(24)和(25)也可寫(xiě)成：當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，有

(26)

當(dāng)t2-τ

(27)

當(dāng)r=1時(shí)，式(26)和(27)稱為相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether等式。

判據(jù)2 如果無(wú)限小群變換(18)，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，滿足條件

(σ=1,2,…,r)

(28)

當(dāng)t2-τ

(29)

則變換(18)是相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

利用判據(jù)1或判據(jù)2，可以判斷相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。

4 相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理

對(duì)于相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)(13)和(15)，若能夠找到系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換，便可求得相應(yīng)的守恒量。有如下定理：

定理1 對(duì)于相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)，如果無(wú)限小群變換(17)是相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的守恒量，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，形如

(30)

當(dāng)t2-τ

(31)

證明將相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(13)和(15)代入式(28)和(29)，由定義1和判據(jù)2，得到：當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)

(32)

當(dāng)t2-τ

(σ=1,2,…,r)

(33)

對(duì)式(32)和(33)積分，便得到結(jié)果。證畢。

定理1稱為相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理。由定理1知，如果能找到系統(tǒng)的一個(gè)Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換，便可能得到系統(tǒng)的一個(gè)守恒量。

5 算 例

例已知含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(34)

非勢(shì)廣義力為

(35)

由(2)式，得到

(36)

則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

t∈[t1,t2-τ]；

(37)

由Noether等式(26)和(27)，得到

(38)

(39)

方程(38)有解

(40)

方程(39)有解

t∈(t2-τ,t2]

(41)

生成元(40)和(41)相應(yīng)于所論含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性，根據(jù)定理1，系統(tǒng)有如下守恒量

t∈[t1,t2-τ]

(42)

t∈(t2-τ,t2]

(43)

式(42)和(43)是所論相空間中含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)相應(yīng)于Noether對(duì)稱性(40)和(41)的Noether守恒量。

6 結(jié) 論

文中研究了相空間中含時(shí)滯非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量。建立了含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；依據(jù)相空間中含時(shí)滯的Hamilton作用量的兩個(gè)基本公式，定義了相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)稱變換，給出了相空間中含時(shí)滯的Noether廣義準(zhǔn)稱變換的判據(jù)；建立了相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量之間的聯(lián)系。本文的結(jié)果具有普遍性，可以進(jìn)一步拓展到含時(shí)滯的最優(yōu)控制系統(tǒng)、含時(shí)滯的Birkhoff系統(tǒng)等。

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