弱耗散的Degasperis-Procesi方程弱解的存在性*

關春霞，馮兆永

(1. 廣東工業大學應用數學學院, 廣東 廣州 510006；2. 中山大學數學與計算科學學院, 廣東 廣州 510275)

在本文中我們主要研究如下的弱耗散Degasperis-Procesi方程

ut-utxx+4uux+λ(u-uxx)=3uxuxx+uuxxx,

t>0,x∈R

(1)

其中λ>0。當t=0時，u滿足初始條件

u(0,x)=u0(x),x∈R

(2)

Degasperis等[1]通過對水波方程的研究得到了如下的Degasperis-Procesi方程

(3)

它具有雙Hamiltonian結構可積方程并且有無窮多個守恒律和無窮多對尖峰孤立子解[1]，所以引起了很多數學家和物理學家的關注[2-13]。

當初值在Hs(其中s>3/2)時，殷朝陽[5-6]分別證明了Degasperis-Procesi方程的直線上和周期局部適定性問題, 并且得到了爆破機制和爆破結果。Liu和殷朝陽等[7-8,11]研究了方程(3)的整體強解的存在性，并證明了在初值滿足一定的符號條件時整體強解的唯一性。Coclite等[12]證明了初值在L2(R)∩L4(R)中方程(3)弱解的存在性。

耗散的Degasperis-Procesi方程具有如下的形式：

其中L(u)是耗散項。一般情況下，L是和物理量有關的擬線性微分算子。在本文中，L(u)=λ且λ>0是個常數。

Wu等[14-15]研究了方程(1)的爆破和解的衰退。方程(1)強解的整體存在性也有結果[13,16]。方程(1)的弱解情況亦有人研究，Guo等[17]證明了如下結果：如果初值

令m=u-uxx, 我們可以把方程(1)改寫為

mt+mxu+3mux+λm=0,t>0,x∈R

(4)

(5)

本文的主要結果是證明方程(1)熵弱解的存在性，在給出主要結論之前，我們先給出弱解以及熵弱解的定義。

定義1u稱為方程(1)滿足Cauchy問題(2)的弱解，如果u(t,x)∈L∞((0,∞);L2(R))并且在R+×R上的分布意義下(即在(D′(R+×R)中)滿足方程(5) 和當λ→0時,u(t,·)→u0。定義2u稱為方程(1)滿足Cauchy問題(2)的熵弱解，如果u是方程(1) 滿足Cauchy問題(2)的弱解, 并且對于任意凸的C2熵函數η：R→R和對應的熵對q: R→R，q′(u)=uη′(u), 在空間(D′(R+×R)以下等式成立

?tη(u)+?xq(u)+λq(u)+

(6)

下面給出本文的主要結論：

定理1 設u0∈L2(R)∩L4(R), 則Cauchy問題 (1)-(2)至少存在一個熵弱解，并且u滿足以下的條件：

對于任意的t>0, 且有

本文結構如下安排：第1節我們給出方程(1)的粘性逼近解uε并得到關于uε的基礎能量估計。第2節證明uε存在強收斂子列，并證明其子列收斂極限即為方程的熵弱解。

1 粘性逼近解的存在性和估計

本節中, 我們構建方程(1)的粘性逼近解uε=uε(t,x), 即uε為以下方程的解

t>0,x∈R

(7)

滿足初始條件

u(0,x)=uε,0(x),x∈R

(8)

這里uε,0(x)=(φε*u0)(x)∈Hs(R)，s≥2，并且

如果u0∈L2(R)∩L4(R)，那么對任意的p∈[2,4]，有

‖uε,0‖Lp(R)≤‖u0‖Lp(R),?ε>0

并且，當ε→0時，

uε,0→u0,在空間Lp(R)中

下面給出粘性解uε的存在性引理。

引理1 設u0∈L2(R)，則方程(7)-(8)存在唯一的強解uε∈C(R+;Hs(R)),s≥2。

證明任意固定的T>0和(t,x,u)∈[0,T)×R×R，記

h(t,x,u)=0,a(t,x,u)=ε

則文[17]中定理2.3的所有條件均滿足，則根據文[17]中的定理2.3的結論，我們知道存在唯一的解uε∈C([0,T);Hs(R)),s≥2為方程(7)-(8)的強解。由T的任意性我們得uε∈C(R+;Hs(R))。

接下來，我們給出uε的一致L2(R)估計, 此估計是本文中最基礎的能量估計。

引理2 設u0∈L2(R)，對于任意固定的ε>0，則當t>0時，以下的估計成立：

并且有

4(vε(t,x))2)dx+

4(vε(t,x))2)dxds≤

4(vε(0,x))2)dx

(9)

和

4(vε(t,x))2)dx≤

4(vε(0,x))2)dx

(10)

和文[12]中引理2.3的證明類似, 我們有

和

由于λ>0, 則根據分部積分，可得到

故有

和

對以上兩個不等式在[0,t]上積分, 就可得到式(9)和式(10)。

通過文[12]中引理 2.2的證明, 我們有

和

5(?xvε(0,x))2+4(vε(0,x))2)dx

從而利用式(9)、式(10)可得到

(11)

和

則由式(11)，有

此引理得證。

‖Pε(t,·)‖L1(R)≤

(12)

‖?xPε(t,·)‖L1(R)≤

(13)

這里用到了‖p‖L1(R)=1和‖?xp‖L1(R)=1。再次應用 H?lder不等式和引理2，還可以得到

(14)

以及

(15)

(16)

接下來，我們證明粘性逼近解在L4中一致有界。

引理3 設u0∈L2(R)∩L4(R)，對于任意固定的ε>0，則當t>0時, 有

*(uε)2)dx-

利用 H?lder不等式以及式 (11)、式(15)，可推出

利用分部積分，得到

又因為λ>0, 則可得到

此不等式可以改寫為如下形式

則由 Gronwall’s不等式, 即可得到

此不等式經過一個簡單的移項即可得到此引理的結論。

注1 文[12]中對應的結果是本文中引理2中當λ→0時的特殊情況。

2 熵弱解的存在性

以第1節中的估計為基礎，在本節中我們首先給出粘性解的一致先驗估計，然后證明其強收斂性，最后證明粘性逼近解的極限即為方程(1)的弱解。

為了證明我們的結果，首先給出兩個引理。

引理5[19]設Ω是R+×R中的有界開集。對某個s≥0,f∈C2(R)滿足：

meas{x:f″(x)=0}=0

定義Il,fl,Fl:R→R滿足如下條件：

現在給出本節的一個主要結果。

u∈L∞(R+;L2(R))∩L∞(0,T;L4(R))

(17)

并且當k→∞時，有

uεk→u,在空間Lp((0,T)×R)中,?p∈[2,4)

(18)

(19)

事實上，在方程(7)兩邊同時乘以η′(u)，根據鏈式法則可得

?tη(uε)+?xq(uε)+η′(uε)?xPε+λq′(uε)=

(20)

根據引理2， 可得到

‖ε?xη(uε)‖L2(R+×R)≤

再次根據引理2以及式(13), 得

和

uεk→u,在空間Lp((0,T)×R)中,?p∈[2,4)

此引理得證。

由引理6，我們就可以來證明定理1了。

Lq((0,T)×R)×Lp((0,T)×R)

(21)

從而要證明u是方程的弱解，由方程的形式知，只需證明: 當k→∞時，在空間(D ′(R+×R)中，有

也即只需證

(22)

事實上，由式(21)和 H?lder不等式, 知當k→∞時，有

根據引理5-6, 我們知道u滿足定理1中的條件(i)-(iii)。因此本文結論成立。

[1] DEGASPERIS A, HOLM D D, HONE A N W. A new integral equation with peakon solutions [J]. Theo Math Phys, 2002, 133: 1463-1474.

[2] HOLM D D, STALEY M F. Wave structure and nonlinear balances in a family of evolutionary PDEs [J]. SIAM J Appl Dyn Syst, (electronic), 2003, 2: 323-380.

[3] LENELLS J. Traveling wave solutions of the Degasperis-Procesi equation [J]. J Math Anal Appl, 2005, 306: 72-82.

[4] LUNDMARK H. Formation and dynamics of shock waves in the Degasperis-Procesi equation [J]. Inverse Problems, 2003, 19: 1241-1245.

[5] YIN Z. On the Cauchy problem for an integrable equation with peakon solutions [J]. Illinois J Math, 2003, 47(3): 649-666.

[6] YIN Z. Global existence for a new periodic integrable equation [J]. J Math Anal Appl, 2003, 49: 129-139.

[7] YIN Z. Global weak solutions to a new periodic integrable equation with peakon solutions [J]. J Funct Anal, 2004, 212: 182-194.

[8] YIN Z. Global solutions to a new integrable equation with peakons [J]. Indiana Univ Math J,2004, 53: 1189-1210.

[9] COCLITE G M, KARLSEN K H, HOLDEN H. Well-posedness for a parabolic-elliptic system [J]. Discrete Contin Dyn Systems, 2005, 13: 659-682.

[10] MATSUNO Y. Multisoliton solutions of the Degasperis-Procesi equation and their peakon limit [J]. Inverse Problems, 2005, 21: 1553-1570.

[11] LIU Y, YIN Z. Global existence and blow-up phenomena for the Degasperis-Procesi equation [J]. Commun Math Phys, 2006, 267: 801-820.

[12] COCLITE G M, KARLSEN K H. On the well-posedness of the Degasperis-Procesi equation [J]. J Funct Anal, 2006, 233: 60-91.

[13] HENRY D. Infinite propagation speed for the Degasperis-Procesi equation [J]. J Math Anal Appl, 2005, 311: 755-759.

[14] WU S, YIN Z. Blow-up and decay of the solution of the weakly dissipative Degasperis-Procesi equation [J]. SIAM J Math Anal, 2008, 40: 475-490.

[15] WU S, YIN Z. Blow-up phenomena and decay for the periodic Degasperis-Procesi equation with weak dissipation [J]. J Nonlinear Math Phys, 2008, 15: 28-49.

[16] GUO Z. Some properties of solutions to the weakly dissipative Degasperis-Procesi equation [J]. J Differential Equations, 2009, 246(11): 4332-4344.

[17] GUO Y, LAI S, WANG Y. Global weak solutions to the weakly dissipative Degasperis-Procesi equation [J]. Nonlinear Analysis: TMA, 2011, 74(15): 4961-4973.

[18] SCHONBEK M. Convergence of solution to nonlinear dispersive equations [J]. Communications in Partial Differential Equations, 1982, 7: 959-1000.

[19] LU Y. Convergence of solutions to nonlinear dispersive equations without convexity conditions [J]. Applicable Analysis: An International Journal, 1989, 31: 239-246.