基于Bursa-Wolf模型的坐標轉換工具設計

宋 超，原菲菲 ，尚 姣，士子遠

（1.河南省國土資源廳 信息中心，河南 鄭州 450016；2.中國礦業大學（北京）地球科學與測繪工程學院，北京 100083）

1978年之前，我國普遍采用北京54坐標系統；之后，開始嘗試新的西安80坐標系統[1,2]。北京54坐標系統采用的是克拉索夫斯基橢球體參數[3]，西安80坐標系統采用的是IAG-75地球橢球參數。雖然2個坐標系統選取的參考橢球模型不同，但2種地球橢球模型從本質上說是同源的，即二者均是在真實地球體的基礎上抽象概括出來的。因此，通過幾何空間直角坐標系統進行相應的轉換是可行的。

1 坐標系統轉換模型的選取

要實現北京54坐標數據向西安80坐標數據的轉換，需嚴格遵循2種坐標系統參數間的數學映射邏輯[4,5]。在數據轉換時，首先需創建或是選取一整套參數轉換的數學模型。

Bursa-Wolf模型又稱七參數轉換模型[6-8]，包括7個轉換參數[9,10]，即X平移、Y平移、Z平移、X旋轉、Y旋轉、Z旋轉和尺度參數k。利用Bursa-Wolf轉換模型進行坐標系統的轉換，需用到上述模型轉換參數，對于未知的轉換參數，需預先求解。具體求解過程如下：

①獲取研究地區3個或3個以上的已知北京54坐標系統的坐標，并構建未知坐標轉換參數的數學方程組；②求解方程組中未知變量的最小二乘解；③將所求解的方程變量（即轉換參數）和已知的轉換參數引入到Bursa-Wolf模型中，對已知坐標點進行目標坐標系統轉換，即可獲取目標大地測量坐標（西安80坐標）系統下的對應坐標。

Bursa-Wolf坐標轉換模型如下：

式中，X0、Y0、Z0分別指大地測量坐標系在x、y和z方向上的平移參數；εx、εy、εz分別是坐標系在 x、y、z方向上的旋轉參數；X54、Y54、Z54是當前坐標點在北京54坐標系統中的坐標；X80、Y80、Z80是大地點在西安80坐標系中的坐標。矩陣模型的線性方程組表達式為：

上述線性方程組對應的矩陣方程表達式為AS=B：

求解轉換模型中的待定參數矩陣B需要3個或是3個以上的原坐標系界址點（即圖形要素的邊界拐點）對應的北京54坐標及其對應的西安80真實坐標。

Bursa-Wolf坐標轉換模型求取參數時采用最小二乘法，然而最小二乘法往往會涉及到矩陣的求逆運算。該求解方法不僅求解過程相當復雜，而且還會導致所求結果的數值不穩定[11]。

設有n個已知界址點對應的北京54坐標及對應的西安80坐標，則其誤差方程的系數A為3n×7階矩陣。利用QR矩陣分解法可將系數陣A分解為：

式中，Q為3n×3n的正則正交矩陣；R為3n×7的上三角矩陣。由于Q正交，QTQ =E，代入式(3)，得到QRS=B，進一步變形，得到QTQ RS=QTB，即

式中，S為轉換參數矩陣。如此，矩陣方程RS = QTB無需通過矩陣求逆就可得到轉換參數矩陣X的最小二乘解。

運用QR矩陣分解法進行轉換參數（即矩陣參數）的求解，然后分別把所求的參數代入矩陣方程式AS=B，從而實現對目標坐標數據的統一轉換。

模型轉換參數一旦求解完成，即可引入Bursa-Wolf模型完成模型的構建；再將目標的北京54系數據輸入模型轉換工具主界面，即可完成北京54坐標系向西安80坐標系的平穩轉換。

2 轉換工具數據轉換

以某地區實際測量點的大地測量坐標，選取3個樣本點，輸入轉換參數計算界面，獲取未知的坐標轉換參數。樣本點的北京54坐標系坐標和西安80坐標系坐標見表1。

表1 樣本界址點坐標列表

通過本文設計的轉換工具求解的七參數分別為：

表2 樣本界址點坐標轉換對比表

根據表2分別計算樣本界址點在X軸、Y軸及Z軸方向上的轉換差值均值及

然后，分別計算轉換差值的樣本方差Sx2、Sy2及Sz2：

顯然，本轉換工具轉換的坐標值在X軸、Y軸及Z軸方向上的平均差值相對較小，轉換精度較可靠。

5 結 語

根據Bursa-Wolf轉換模型，結合面向對象的程序設計思想，研發大地測量數據的坐標系統轉換工具，用于北京54坐標系數據向西安80坐標系的轉換。利用矩陣QR分解法求解轉換參數，既避免了常規的最小二乘求解方法可能導致的數值的不穩定性，也簡化了求解過程，經檢驗該工具轉換精度穩定、可靠。

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