無限彈性土體中洞室在反平面沖擊荷載作用下的瞬態響應＊

翟朝嬌，夏唐代，陳煒昀，杜國慶

（1.浙江大學軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，浙江 杭州310058；2.浙江大學巖土工程研究所，浙江 杭州310058；3.南京工業大學巖土工程研究所，江蘇 南京210000；4.安徽省電力設計院，安徽 合肥230601）

深埋洞室常用于地下隧道、流體運輸。隨著地下交通的發展，地下洞室在外力作用下的動力響應成為諸多領域的重要課題之一。相關研究者［1－5］利用波函數展開法、積分變換和數值方法等研究了圓柱形洞室對波的散射和衍射。然而，洞室表面受到突加荷載作用而引起的波的傳播問題越來越引起注意。G.Eason［6－7］、張慶元等［8］和劉國利等［9］運用 Laplace變換及其逆變換，得到了球形空腔及圓柱形洞室表面受均勻且僅為時間的函數的外力作用所引起的彈性波的傳播規律及動力響應；H.Herman等［10］、T.L.Geers［11］和楊俊等［12］基于積分變換研究了無限長圓柱形殼體在突加壓力作用下的瞬態動力響應；M.J.Forrestal等［13］求得了內源Heaviside荷載作用下，以初等函數形式表示的流體介質中無限長彈性柱殼動力響應的精確解；T.B.Moodie等［14－15］運用積分變換及數值方法，研究了圓柱形洞室表面受突加外荷載作用時膨脹波的傳播，得到了漸進的波震面展開式；N.Akkas等［16］，U.Zakout等［17］運用殘余變量法將二階擴散方程降為一階，得到了Heaviside荷載作用下，不同模態下圓柱孔洞的表面位移；V.R.Feldgun等［18］采用變分差分的方法研究了內爆炸荷載作用下球形和圓柱形孔洞動力響應問題，分析了彈性波在殼體和土體中的傳播；高盟等［19－20］和蔡袁強等［21］采用拉普拉斯變換，得到圓柱形孔洞在內源荷載作用下的動力響應問題，并運用逆拉普拉斯變換的數值方法，給出了問題的數值解。

上述研究均是圓柱形或球形洞室表面受到突加的徑向外力作用而引起的膨脹波的傳播，對洞室表面受軸向力作用下引起的剪切波的傳播的影響比較少。J.B.Haddow等［22－23］用數值的方法研究了非線性軸向剪切波的傳播，分析了洞室表面剪切應力引起的有限振幅方位剪切波的傳播；K.Watanabe等［24］研究了圓柱形各向異性固體在點源SH波入射下的瞬態響應，得到了任意圓柱形各向異性體的一般解決辦法；D.W.Barclay［25－27］采用波震面展開的方法研究了圓柱形洞室表面在軸向剪切應力的作用下軸向剪切波傳播，得到了近似的解析解答。由于數學分析上的困難，對剪切波傳播的研究都是基于數值方法或是半解析的，但是解析解答仍然非常必要。

本文中，將列車急剎車時對隧道產生的沖擊簡化為無限彈性體中施加在圓柱形洞室表面沿軸線方向的均布荷載，利用Laplace變換，討論無限彈性土體內圓柱形孔洞在軸線方向沖擊荷載的作用下的瞬態響應，采用圍道積分［1］進行Laplace逆變換，求解土體位移和應力的一般解析表達式，并將計算結果與靜力情況下的響應和采用F.Durbin［28］提出的拉普拉斯數值逆變換得出的結果進行比較。

1 計算模型與求解

將土體視為無限彈性勻質各向同性材料。地下洞室受到剎車荷載力，荷載先傳遞給襯砌，再由襯砌傳遞給外部土體，襯砌的模量遠大于土體的模量，因此可以認為沖擊通過襯砌均勻地傳遞給外部土體，列車急剎車時對洞室產生的沖擊近似沿軸線方向的均布荷載。該問題簡化為無限空間彈性土體中一半徑為r0的無限長圓柱形孔洞內部有一沿洞室軸線方向的均布突加荷載τi（t），如圖1所示。

圖1 計算模型Fig.1Computation model

1.1 控制方程

作為反平面問題，以位移表示的控制方程為：

式中：r為土體中一點到洞室圓心的距離，w（r，t）為土體的軸線方向的位移，vs為剪切波在彈性土體中的傳播速度，vs＝（G/ρs）1/2，G 為材料的Lame常數，ρs為土體的密度。

1.2 邊界條件和初始條件

該問題中，應滿足在無窮遠處應力為0，因此應力τ滿足邊界條件：

初始時刻，土體的位移和速度均應為0，因此有初始條件：

1.3 求解頻域解

式（1）中同時含有空間變量r和時間變量t，邊界條件（3）中包含時間函數τi（t），在物理平面上不易求解。利用Laplace變換法，可將式（1）寫為：

式中：W（r，s）為w（r，t）關于t的Laplace變換，記為W（r，s）＝L［w（r，t）］，s為變換參數，s＝a＋i b，a為任意正值，且a＞Re W。式（4）為零階虛宗量的Bessel方程，令k＝s/vs，則式（4）的通解［29］為：

式中：I0（kr）、K0（kr）分別為第一類和第二類零階虛宗量 Bessel函數，C1（s）、C2（s）為待定系數，由虛宗量Bessel函數的漸近性質與遞推關系［29］，可知C1（s）＝0。

以 Heaviside荷載為例，τi（t）＝τ0H（t）（其中 H（x）為 Heaviside函數），L［τi（t）］＝τ0/s。經 La －place變換后，結合應力位移關系，式（2）變為：

結合（5）式可得，未知系數C2（s）＝τ0/［ksGK1（kr0）］，K1（kr0）為第二類一階虛宗量Bessel函數。

由以上得到無限彈性土體中圓柱形孔洞反平面內源問題的頻域表達式：

式中：Τ（r，s）＝L［τ（r，t）］。

1.4 解析法求解時域解

為了在物理空間內獲得時域解，須對頻域解施以Laplace逆變換，記：

式中：ζ＝kr0，γ＝vst/r0。為了計算式（7）的 Laplace逆變換，要選擇合適的積分路線。考察D（ζ）和E（ζ）的奇異性可知，ζ＝0是D（ζ）和E（ζ）的支點，另外I0（kr）和K0（kr）沒有零點，因此采用圍道積分的方法計算式（7）的積分。圖2給出了所選取的積分圍道，其中L1和L5為半徑無窮大的圓弧，L3為半徑趨于0的圓，L2和L4為分支割線。

圖2 計算模型Fig.2Computation model

在積分圍道內部，D（ζ）和E（ζ）是解析的，由留數定理知：

可以證明［1］：

沿L3計算積分。ζ＝ρeiθ。應用虛宗量Bessel函數的近似公式［30］，當ρ→0時，K0（ζ）～－ln（ζ/2），K1（ζ）～1/ζ。根據留數定理［29］，D（ζ）和E（ζ）沿L3的積分可以寫成：

計算D（ζ）和E（ζ）沿分支割線L2和L4的積分。沿L2和L4，ζ＝ρe±iπ＝－ξ，對于ρ＞0，Kν（－ξ）＝（－1）－νKν（ξ）?iπIν（ξ）［1］，其中Kν（ξ）和Iν（ξ）為ν階虛宗量貝賽爾函數。由此得到：

根據式（9）～（12）可以得到時域內土體位移和應力的解析表達式：

2 數值計算

用MATLAB計算工具可得到數值解，計算參數如下：孔洞半徑r0＝6m，τ0＝100kPa，G＝76 MPa，ρs＝1 900kg/m3。為方便討論計算結果，將位移、應力和時間均進行量綱一化處理：

圖3為r＝10，20，30m處土體的應力時程曲線。在反平面階躍荷載作用下，波的起跳時間為波由波源傳播至該點所需要的時間，當波傳播到該點，此處土體的應力和位移瞬間增大并達到最大值，應力波離開后，該處應力逐漸減小并逐漸趨于穩定值，該穩定值與靜力計算結果相吻合。3種不同半徑處應力波起跳時間間隔為彈性波在此段距離傳播需要的時間。由于應力波的發散傳播，距離波源越遠，應力值越小，這符合彈性波的性質。

圖4為r＝10，20，30m處土體位移時程曲線。在波到達之前，該點的位移為零，當波到達時，此處位移瞬間增大到最大值，隨后逐漸減小并趨向于靜力響應狀態下的位移而保持不變。在r＝10，20，30 m 處最大量綱一位移分別為0.125 04、0.081 80和0.064 90，相對應的量綱一時間為1.63、3.23和4.90，由此同樣可以得出與圖3相同的結論：3種不同半徑處位移達到最大值的時間間隔為彈性波在此段距離傳播需要的時間。結合圖3可知，應力和位移的變化是同步的，這也符合彈性波動理論中彈性波的傳播性質。

圖3 應力時程曲線Fig.3Stress －time curves

圖4 位移時程曲線Fig.4Displacement －time curves

由圖3～4還可以看出，土體應力和位移最后的穩定值分別為被積函數D（ζ）和E（ζ）沿L3的積分值，早期解的貢獻主要是沿分支割線的積分，這與文獻［1］中關于壓縮波入射的結論一致。

圖5和圖6分別為土體位移和應力的最大值以及靜力值隨半徑的變化規律。由圖5～6可以看出，土體所受動應力和動位移的最大值隨距離波源距離的增大呈現衰減趨勢，這是由于彈性波的發散傳播的特性，其趨勢與靜力下的衰減趨勢相近，且相同情況下動力響應的衰減更慢，隨著傳播距離的增大，動力值與靜力值之比越來越大，因此在實際工程中動荷載的破壞性要大得多。

圖5 應力隨傳播距離的衰減曲線Fig.5Stress attenuation against propagation distance

圖6 位移隨傳播距離的衰減曲線Fig.6Displacement attenuation against propagation distance

3 計算結果驗證

為了驗證本文中計算結果的正確性，用本文中的計算方法和F.Durbin［28］提出的拉普拉斯數值逆變換分別計算r＝10m處的土體的應力和位移，并將2種方法得出的結果做了比較，，如圖7～8所示，可以看出兩者吻合較好。

圖7 應力時程曲線比較Fig.7Comparison of stress －time curves

圖8 位移時程曲線比較Fig.8Comparison of displacement －time curves

4 結 論

利用Laplace變換和圍道積分，討論了土體內圓柱形孔洞的瞬態響應問題，求得了問題的解析表達式。可以得出以下結論：（1）通過將本文的計算結果與用F.Durbin［28］提出的拉普拉斯數值逆變換的計算結果和靜力結果相比較，驗證了本文方法在研究洞室在反平面沖擊荷載作用下的瞬態響應時的適用性和正確性。（2）土體應力和位移最后的穩定值由被積函數沿原點附近小圓的積分值貢獻，早期解的貢獻主要是沿分支割線的積分，即初始時刻，分支割線上各點的貢獻最大。（3）在波到達之前，該處土體應力和位移都保持為零，波到達之后，應力和位移瞬間增大到最大值，接著慢慢減小并逐漸趨于穩定值，不同半徑處應力和位移到達峰值的間隔即為彈性波在此段距離傳播需要的時間。由于波沿徑向發散傳播，距離波源越遠，應力和位移值越小，相同的半徑處應力和位移值相同。孔洞的該穩定值與靜力下的受力相接近，且應力和位移的變化是同步的。（4）在反平面動荷載作用下，土體動應力和動位移的最大值隨距離波源距離的增大呈現衰減趨勢，其趨勢與靜力值的衰減相近，且相同情況下動力響應的衰減更慢，因此在實際工程中危害性更大。

［1］ Pao Yih －hsing，Mow C C.Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations［M］.New York，USA：Adam Hilger Limited，1973.

［2］ Lee J，Mal A K.A volume integral equation technique for multiple scattering problems in elastodynamics［J］.Applied Mathematics and Computation，1995，67（1/2/3）：135 －159.

［3］ Davis C A，Lee V W，Bardet J P.Transverse response of underground cavities and pipes to incident SV waves［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2001，30（3）：395 －410.

［4］ Iakovlev S.Interaction of a spherical shock wave and a submerged fluid －filled circular cylindrical shell［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，255（4）：615 －633.

［5］ Manolis G D.Elastic wave scattering around cavities in inhomogeneous continua by the BEM［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，266（2）：281 －305.

［6］ Eason G.Propagation of waves from spherical and cylindrical cavities［J］.The Journal of Applied Mathematics and Physics，1963，14（1）：12 －23.

［7］ Eason G.The propagation of waves from a cylindrical cavity［J］.Journal of Composite Materials，1973，7（1）：90 －99.

［8］ 張慶元，戰人瑞.爆轟載荷作用下球形空腔的動力響應［J］.爆炸與沖擊，1994，14（2）：182 －185.Zhang Qing－yuan，Zhan Ren －rui.Dynamic response of a spherical cavity subjected to blast loads［J］.Explosion and Shock Waves，1994，14（2）：182 －185.

［9］ 劉國利，趙會濱，許貽燕.階躍SH波作用下半圓形凹陷地形的瞬態反應：長期解［J］.地震工程與工程振動，1995，15（1）：92 －99.Liu Guo －li，Zhao Hui －bin，Xu Yi －yan.Transient response of semi －circular canyon under step SH wave：Long term solution［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1995，15（1）：92 －99.

［10］ Herman H，Klosner J M.Transient response of a periodically supported cylindrical shell Immersed in a fluid medium［J］.Journal of Applied Mechanics，1965，32（3）：562 －568.

［11］ Geers T L.Excitation of an elastic cylindrical shell by a transient acoustic wave［J］.Journal of Applied Mechanics，1969，36（3）：459 －469.

［12］ 楊峻，宮全美，吳世明，等.飽和土體中圓柱形孔洞的動力分析［J］.上海力學，1996，17（1）：37 －45.Yang Jun，Gong Qun －mei，Wu Shi －ming，et al.Dynamic analysis of cylindrical holes in saturated soil［J］.Shanghai Mechanics，1996，17（1）：37 －45.

［13］ Forrestal M J，Sagartz M J.Radiated pressure in an acoustic medium produced by pulsed cylindrical and spherical shells［J］.Journal of Applied Mechanics，1971，38（4）：1057 －1060.

［14］ Moodie T B，Barclay D W.Wave propagation from a cylindrical cavity［J］.Acta Mechanica，1977，27（1/2/3/4）：103 －120.

［15］ Moodie T B，Haddow J B，Mioduchowski A，et al.Plane elastic waves henerated by dynamical loading applied to edge of circular hole［J］.Journal of Applied Mechanics，1981，48（3）：577 －581.

［16］ Akkas N，Erdogogan F.The residual variable method applied to the diffusion equation in cylindrical coordinates［J］.Acta Mechanic，1989，79（3/4）：207 －219.

［17］ Zakout U，Akkas N.Transient response of a cylindrical cavity with and without a bonded shell in an infinite elastic medium［J］.International Journal of Engineering Science，1997，35（12/13）：1203 －1220.

［18］ Feldgun V R，Kochetkov A V，Karinski Y S，et al.Internal blast loading in a buried lined tunnel［J］.International Journal of Impact Engineering，2008，35（3）：172 －183.

［19］ 高盟，高廣運，王瀅，等.內部荷載作用下圓柱形孔洞的動力響應解答［J］.力學季刊，2009，30（2）：266 －272.Gao Meng，Gao Guang－yun，Wang Ying，et al.Solution on dynamic response of a cylindrical cavity under internal load［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2009，30（2）：266 －272.

［20］ 高盟，高廣運，王瀅，等.飽和土與襯砌動力相互作用的圓柱形孔洞內源問題解答［J］.固體力學學報，2009，30（5）：481 －488.Gao Meng，Gao Guang－yun，Wang Ying，et al.Dynamic solutions of cylindrical cavities with the lining under internal load in the saturated soil［J］.Chinese Journal of Solid Mechanics，2009，30（5）：481 －487.

［21］ 蔡袁強，陳成振，孫宏磊.黏彈性飽和土中隧道在爆炸荷載作用下的動力響應［J］.浙江大學學報：工學版，2011，45（9）：1657 －1663.Cai Yuan －qiang，Chen Cheng －zhen，Sun Hong －lei.Dynamic response of tunnel in viscoelastic saturated soil subjec －ted to blast loads［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2011，45（9）：1657 －1663.

［22］ Haddow J B，Lorimer S A，Tait R J.Nonlinear axial shear wave propagation in a hyperelastic incompressible solid［J］.Acta Mechanica，1987，66（1/2/3/4）：205 －216.

［23］ Haddow J B，Jiang L.Finite amplitude azimuthal shear waves in a compressible hyperelastic solid［J］.Journal of Applied Mechanics，2001，68（2）：145 －152.

［24］ Watanabe K，Payton R G.SH wave in a cylindrically anisotropic elastic solid a general solution for a point source［J］.Wave Motion，1996，25（2）：197 －212.

［25］ Barclay D W .Wavefront expansion for non －linear axial shear wave propagation［J］.International Journal of Nonlinear Mechanics，1998，33（2）：259 －274.

［26］ Barclay D W.Shock front analysis for axial shear wave propagation in a hyperelastic incompressible solid［J］.Acta Mechanica，1999，133（1/2/3/4）：105 －129.

［27］ Barclay D W.Shock calculations for axially symmetric shear wave propagation in a hyperelastic incompressible solid［J］.International Journal of Non －linear Mechanics，2004，39（1）：101 －121.

［28］ Durbin F.Numerical inversion of Laplace transformation：An efficient improvement to Durbin and Abatep’s method［J］.The Computer Journal，1974，17（4）：371 －376.

［29］ 梁昆淼.數學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［30］ Watson G N.Theory of Bessel function［M］.Cambridge，UK：Cambridge University Press，1995.