兩個冪等元之和的可逆性

左 可 正

(湖北師范學院 數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

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兩個冪等元之和的可逆性

左 可 正*

(湖北師范學院 數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

研究在一個有單位元的環中的兩個冪等元之和的可逆性問題,利用冪等元的性質,得到了兩個冪等元之和可逆的幾個充分必要條件,并給出了它們在矩陣環中的幾個應用.

有單位元的環; 冪等元; 可逆性; 矩陣環

Wimmer在文獻[1-2]和Rakocˇevic＇在文獻[3]中都研究了Hilbert空間中的兩個正交投射算子的和與差的可逆性問題.在文獻[4]和文獻[5]中,Groβ和Trenkler,Koliha等研究了兩個冪等矩陣的和與差的可逆性問題.而在文獻[6]和文獻[7]中,Koliha和Rakocˇevic＇, Zuo研究了兩個冪等矩陣的線性組合aP+bQ及兩個冪等矩陣的組合aP+bQ-cPQ的可逆性問題(其中P,Q是兩個n階冪等矩陣,a,b是兩個非零復數,c是一個復數).以更一般的形式,Koliha和Rakocˇevic＇在文獻[8]中研究了有單位元環中兩個冪等元之差的可逆性問題.而Zuo在文獻[9]中又得出了幾個冪等元之差可逆的充要條件.

本文則進一步給出有單位元的環中兩個冪等元之和可逆的幾個充要條件,并指出它們在矩陣環中的一些應用.

下面介紹必要的符號和預備引理.

本文恒設R是有單位元的結合環;R的單位元記作1,R的零元記作0,且1≠0.用R-1表示R的所有可逆元構成的集合;C(R)={z∈R|xz=zx,?x∈R}記作R的中心.對a∈R令:

aR={ax|x∈R},Ra={xa|x∈R},

aRa={axa|x∈R};

a0={x∈R|ax=0},

0a={x∈R|xa=0}.

如果f∈R滿足f2=f則稱f為R的冪等元.

關于冪等元以下的性質是需要的.

引理1如果f是R的冪等元,a∈C(R), 1+a∈R-1則1+af∈R-1.

證明由條件容易得出下面的等式

(1+af)[1-a(1+a)-1f]=

[1-a(1+a)-1f](1+af)=1,

所以1+af∈R-1.

如果a∈R滿足a∈aRa則稱a為R的正則元.關于正則元有下面容易證明的引理2.

引理2如果a∈R. 則有:a∈R-1當且僅當a是R的正則元且0a=a0={0}.

文獻[8]證明了下述結論.

引理3設f,g是R的冪等元且2∈R-1. 那么f-g∈R-1當且僅當f+g∈R-1且1-fg∈R-1.

下述結果是文獻[10]的重要結論.

引理4設f,g是R的冪等元,那么f-g∈R-1當且僅當f+g-fg∈R-1且1-fg∈R-1.

1主要結果及證明

本部分給出兩個冪等元f,g之和f+g可逆的幾個充要條件.

定理1設f,g是環R的兩個冪等元,α,β,γ∈C(R), 2,α,β,α+β+γ∈R-1,則

f+g∈R-1?αf+βg+γfg∈R-1?

αf+βg+γgf∈R-1.

證明通過計算可以得到下面的等式:

[1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1f]·

(αf+βg+γfg)·

[1+(α-γ-β)(α+β+γ)-1g]=

2αβ(α+β+γ)-1(f+g).

(1)

因為1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1=2β(α+β+γ)-1∈R-1, (β-γ-α)(α+β+γ)-1∈C(R),那么由引理1得出1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1f∈R-1.同理可得出1+(α-γ-β)(α+β+γ)-1g∈R-1. 而2αβ(α+β+γ)-1∈R-1,這樣由(1)式得出

f+g∈R-1?αf+βg+γfg∈R-1.

又因為f+g∈R-1?g+f∈R-1,再由剛證出的充要條件就可得出

f+g∈R-1?αf+βg+γfg∈R-1.

推論1設f,g是環R的兩個冪等元,2∈R-1,則

f+g∈R-1?f+g-fg∈R-1?

f+g-gf∈R-1.

證明只需在定理1中令α=β=1,γ=-1即可得出推論.

注記1由推論1,就可將文獻[8]和文獻[10]中的2個重要結果引理3和引理4統一起來了.

定理2設f,g是環R的兩個冪等元,α,β,α1,β1,γ1∈C(R), 2,α,β,α+β,α1+β1+γ1∈R-1,則

f+g∈R-1?αf+βg+αfg+βgf∈R-1?

α1f+β1g+(α1+γ1)fg+β1gf+

γ1fgf∈R-1.

證明先證第1個充要條件.由等式(αf+βg)(f+g)=αf+βg+αfg+βgf和定理1可得出必要性成立.

另一方面,如果αf+βg+αfg+βgf∈R-1,則由等式(αf+βg)(f+g)=αf+βg+αfg+βgf可得出f+g是左可逆的,αf+βg是右可逆的.由αf+βg右可逆和等式

[1+(β-α)(α+β)-1f](αf+βg)·

[1+(α-β)(α+β)-1g]=

2αβ(α+β)-1(f+g),

可得出f+g是右可逆的,從而f+g∈R-1.

類似地,由等式(α1f+β1g+γ1fg)(f+g)=α1f+β1g+(α+1γ1)fg+β1gf+γ1fgf和定理1可證明第2個充要條件.

定理3設f,g是環R的兩個冪等元,2∈R-1,那么

f+g∈R-1?f+g正則且

(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0=

{0}=f0∩g0,

(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]=

{0}=0f∩0g.

證明 ?.因為f+g∈R-1,當然有f+g是正則的.

對?x∈f0∩g0,則fx=gx=0, (f+g)x=0,而f+g可逆,所以x=0,由此得出

f0∩g0={0}.

又對?x∈(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0,則?y∈R,使得x=g(1-f)y, (1-f)gx=0,所以x=gx,x=fx. 這樣

(f+g)x=2x=2g(1-f)y=

(f+g)(1-f)(2y),

由f+g可逆可得出x=(1-f)(2y),從而x=fx=f(1-f)(2y)=0,故得出

(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0={0}.

同理,由f+g∈R-1可證出

(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]=

{0}=0f∩0g.

?.由引理2,要證f+g∈R-1,只需要證明(f+g)0=0(f+g)={0}即可.對?x∈(f+g)0, (f+g)x=0,由此得出fx+fgx=0=gfx+gx,從而gx=fgx,fx=gfx,這樣(1-f)ggx=(1-f)gx=0,所以gx∈[(1-f)g]0.

又

g(1-f)(-x)=-gx+gfx=

-gx+fx=-2gx,

由2∈R-1得出gx∈g(1-f)R,從而

gx∈(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0={0},

由此得出gx=0,所以fx=0,x∈f0∩g0={0},推出x=0,從而(f+g)0={0}.

同理,由(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]={0}=0f∩0g及2∈R-1可推出0(f+g)={0},所以由引理2得出f+g∈R-1.

定理4設f,g是環R的兩個冪等元,則

f+g∈R-1?f+g正則且

(fg+gf)0=(1-f-g)0,

0(fg+gf)=0(1-f-g).

證明 ?. 由f+g∈R-1.易得f+g正則.

由等式(f+g)(1-f-g)=-fg-gf=(1-f-g)(f+g)及f+g∈R-1.可得出

(fg+gf)0=(1-f-g)0,

0(fg+gf)=0(1-f-g).

?.由引理2,只需證明(f+g)0={0}=0(f+g)即可.

對?x∈(f+g)0,則(f+g)x=0.從而(fg+gf)x=-(1-f-g)(f+g)x=0,x∈(fg+gf)0,x∈(1-f-g)0,故得出0=(1-f-g)x=x,這樣(f+g)0={0}. 同理可證明0(f+g)={0}.

2應用

這部分把上節的結果應用到矩陣環Fn×n上去,得到冪等矩陣可逆的一些充要條件,這里F是特征為0的域.用I表示單位矩陣.設矩陣A∈Fn×n,用R(A), N(A)分別表示A的值域和核子空間,A可逆?N(A)={0}.用Fn表示域F上的n維列向量組成的F上的線性空間.

定理5設P,Q是Fn×n中的兩個冪等矩陣,a,b,c∈F,ab≠0,a+b+c≠0,則以下各條彼此等價:

1)P+Q可逆;

2)aP+bQ+cPQ可逆;

3)aP+bQ+(a+c)PQ+bQP+cPQP可逆;

4) R(Q(I-P))∩N((I-P)Q)={0}=N(P)∩R(Q);

5) N(PQ+QP)=N(I-P-Q).

證明 1)、2)、3)之間的等價性由定理1和定理2給出.1)與4)的等價性類似于定理3的證明可得出.

下面只需給出1)?5)的證明.

1)?5).設P+Q可逆.那么由下列等式

(P+Q)(I-P-Q)=-PQ-QP=

(I-P-Q)(P+Q),

可得出N(PQ+QP)=N(I-P-Q).

5)?1).如果N(PQ+QP)=N(I-P-Q).對?x∈N(P+Q),x∈Fn,那么(P+Q)x=0,從而(PQ+QP)x=(P+Q-I)(P+Q)x=0.這樣x∈N(PQ+QP),x∈N(I-P-Q),由此可得出x=0,所以P+Q可逆.

[1] Wimmer H K. Canonical angles of unitary spaces and perturbations of direct complements[J]. Linear Alg Appl, 1999, 287:373-379.

[2] Wimmer H K. Lipschitz continuity of obligne projections[J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128:873-876.

[3] Rakocˇevic＇ V. On the norm of idempotents in a Hilbert space[J]. Amer Math Mothly, 2000, 107:745-750.

[4] Groβ J, Trenkler G. Nonsingularity of the difference of two oblique projectors[J]. SIAM J Matrix Anal Appl, 1999, 21:390-395.

[5] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V, Straskraba I. The difference and sum of projectors[J]. Linear Algebra Appl, 2004, 388:279-288.

[6] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. The nullity and rank of linear combinations of idempotent matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2006, 418:11-14.

[7] Zuo K. Nonsingularity of the difference and the sum of two idempotent matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010, 433: 476-482.

[8] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. Invertibility of the sum of idempotents[J]. Linear Multil Algebra, 2002, 50:285-292.

[9] 左可正. 關于冪等元之差的可逆性[J].數學雜志,2007,27(1):96-101.

[10] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. Invertibility of the difference of idempotents[J]. Linear Multil Algebra, 2003, 51:97-110.

On the invertibility of the sum of idempotents

ZUO Kezheng

(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi, Hubei 435002)

The invertibility of the sum of two idempotents of a unitary ring is studied in this paper. Using properties of idempotents， we have shown several necessary and sufficient conditions for the invertibility of the sum of two idempotents， and have presented some applications to matrix rings．

unitary ring; idempotents; invertibility; matrix ring

2013-12-20.

國家自然科學基金項目(11272005);湖北省教育廳重點項目(D20122202).

1000-1190(2014)04-0465-03

O153.3

A

*E-mail: xiangzuo28@163.com.