基于物理形變模型的非剛性配準研究方法綜述

李莉華

摘 要：基于物理形變模型的非剛性配準研究方法是醫學圖像非剛性配準方法中的重要一種，本文對該種研究方法現狀進行了綜述整理，以供研究者參考。

關鍵詞：非剛性配準；物理形變模型

基于灰度的非剛性配準算法可分為兩大類：基于物理形變模型的非剛性配準算法和基于基函數擬合模型的非剛性配準算法。基于物理形變模型非剛性配準算法使用偏微分方程理論；基于基函數擬合模型的非剛性配準算法使用插值與擬合理論。

Broit[1]根據壓力和張力理論，將線性彈性模型應用到非剛性配準算法中，提出了基于偏微分方程的彈性配準模型。彈性配準模型將變形場的變形過程看作彈性材料拉伸的物理過程。變形場在拉伸過程中受到外力和內力的共同作用。外力作用在彈性材料上，表示配準算法中的相似性測度；內力是彈性材料發生變形時產生的應力和阻止彈性材料離開平衡態的阻力，表示變形場平滑性。彈性配準模型可用Navier-Cauchy偏微分方程描述

其中，u為位移向量場；f為驅動彈性材料變形的外力；λ和μ是Lamé常數，用于描述彈性材料的變形方式。求解Navier-Cauchy偏微分方程等價于平衡性優化問題，即在變形過程中平衡外力和內力，通常可使用變分法[1]、有限差分法[2]和有限元法等方法求解。彈性配準模型一般適合配準小形變圖像。

Navier-Cauchy偏微分方程使用小形變模型，彈性配準模型中的形變能量隨形變強度線性增加，因此Navier-Cauchy方程不能處理大形變問題。但是人體組織的個體差異巨大，使得參考圖像和浮動圖像之間存在嚴重的非線性大形變，這就要求非剛性配準算法能夠配準大形變的圖像區域。Christensen根據連續力學理論，提出了粘性流體配準模型，解決了大形變圖像的配準問題。粘性流體配準模型把浮動圖像看作粘性流體，浮動圖像在外力作用下發生變形，而內力在變形過程中逐步釋放，使得浮動圖像能夠產生高度局部化的變形場。基于粘性流體模型的配準算法滿足質量守恒和能量守恒等物理定律。

從物理角度而言，Navier-Stokes流體偏微分方程描述了作用力在流體區域上的平衡關系。Christensen提出的逆一致粘性流體配準算法是典型的粘性流體配準算法，通過多層配準策略，依次使用仿射變換、彈性變換和粘性流體變換，其自由度逐級增長，提高了配準精度和速度。但是，因為使用了逐次超松弛迭代法求解Navier-Stokes偏微分方程，所以逆一致粘性流體配準算法計算量巨大，制約了該算法進一步應用。Nielsen提出了逆一致粘性流體配準算法的快速算法，通過線性彈性算子的主值函數提取卷積濾波器，從而求解Navier-Stokes方程，降低了該算法的計算量。粘性流體配準模型既可以配準大形變圖像，也可以配準復雜形變的圖像。但是，因為粘性流體配準模型不具備拓撲保持性，所以在配準腦部等具有復雜結構的圖像時，粘性流體配準模型可能誤配準相連的不同組織。

根據熱力學理論的分子擴散模型，Thirion提出了Demons非剛性配準算法。Demons算法將浮動圖像看作可自由形變的網格，圖像中的點分別被標記為外點或內點，其假設的體素擴散選擇器Demons位于參考圖像上，可將內點推入目標位置，將外點推出目標位置。Demons配準算法可以選擇多種圖像形變作用力，其中最典型的是基于光流場理論的作用力。光流場理論使用體素灰度的時間微分和空間梯度估計運動狀態，常應用于機器人或虛擬現實的場景分析和運動圖像補償等。

因為光流場方程是病態方程，所以需要在方程中添加正則項來平滑光流場以約束方程的解空間。Demons算法通過高斯濾波器卷積變形場的方式平滑變形場，計算效率高，成為一種備受關注的算法。Demons非剛性配準算法使用光流場理論，是一種小形變配準模型，僅能配準圖像中的小形變區域，不能配準發生大形變的圖像。Wang通過假定擴散可以雙向進行，提出了主動Demons配準算法。主動Demons算法假設選擇器不但可以推動浮動圖像向參考圖像擴散，也可以推動參考圖像向浮動圖像擴散。根據作用力與反作用力原理，主動Demons配準算法使用新的變形作用力，體素移動方向由浮動圖像和參考圖像的梯度共同確定

主動Demons算法能夠配準圖像的大形變區域，不僅提高了配準的準確性，而且提高了配準的一致性和收斂速度，一定程度上克服了Demons配準算法僅能配準小形變圖像的缺點。Cachier通過總結Demons相關算法，提出了更具一般性的PASHA算法。PASHA算法可以使用常規的優化理論解釋Demons算法。根據PASHA算法，參考圖像F和浮動圖像M的能量函數E為

其中，Sim是相似性測度；C為圖像對應性，即M中的每一個點在S中都有對應點；T是受正則化能量R約束的平滑向量場；λ控制變形場平滑性；σ為圖像噪聲水平。PASHA算法指出，常規優化方法求解需同時優化C和T，但是當正則化能量具有正交性時，可以使用快速交替尋優算法。Vercauteren根據李群理論提出了diffeomorphic Demons非剛性配準算法，并指出Demons算法使用的變形場向量加法迭代和向量復合迭代方法是李群復合的近似。

人體組織形態多樣，但就本質而言，組成成分只有細胞和細胞外基質，分別可以看作彈性物質和無彈性物質，具有各向異性。細胞級的力學模型可以很好地描述組織的非線性形變，連續生物力學理論可以描述生物材料的復雜行為特點[3]。因此，基于連續生物力學模型的配準算法通過關注特定條件下的組織行為模擬圖像形變，將是非剛性配準算法研究的一個重要研究方向。

參考文獻

[1] Haber E， Modersitzki J， Numerical methods for image registration[M]. New York： Oxford University Press， 2004. 106-120.

[2] BROIT C. Optical Registration of Deformed Images[M]. Pennsylvania： University of Pennsylvania， 1981.1-21.

[3] Humphrey J D. Continuum biomechanics of soft biological tissues [J]. Mathematical， Physical and Engineering， 2003， 459： 3-46.