基于改進PSO 的中厚板軋制規程能量優化設計

譚貌，段斌，周嘯，李友芝

(湘潭大學 智能計算與信息處理教育部重點實驗室，湖南 湘潭，411105)

軋制規程設計是板帶鋼材重要生產管理環節，合理的軋制規程可以在滿足設備及工藝約束前提下降低軋機負荷，節約生產能源[1]。軋制規程設計最重要的工作是合理分配道次板厚壓下量，壓下分配滿足多階段最優決策基本條件[2]。動態規劃法可以有效求解多階段決策問題。張曉丹等[2]以總軋制能耗最小、張海東等[3]以改善板形為目標，采用動態規劃法進行軋制規程優化，計算時間短，方法實用性強，但不足之處在于對板厚壓下量進行離散化處理，算法效率提高的同時降低了求解精度。群體演化計算是目前廣泛研究的優化算法，適合求解連續優化問題。魏立新等[4-6]采用遺傳算法、蟻群算法、蛙跳算法等幾種典型群體演化算法實現了軋制規程優化求解，效果較好，但是，對工程計算復雜性考慮不足。粒子群優化算法(particle swarm optimization，PSO)是一種新的群體演化算法[7]。王建輝等[8-9]基于PSO 算法進行板帶軋制規程優化，針對問題特點進行算法改進，應用效果良好。PSO 算法改進的常用方法有慣性權重動態調整[10-11]、加速系數動態調整[12]、引入鄰域平均值[13]以及智能算法混合[14]等。現有研究中，基于PSO 的軋制規程優化用于板帶連軋較多，中厚板軋制為多道次單軋，軋制過程參數計算更加復雜、耗時，對算法收斂速度要求高，同時軋件變形程度大，軋制規程優化時目標搜索空間增大，算法更易陷入局部收斂。為此，本文作者提出一種改進PSO 算法，通過構造新的慣性權重和加速系數非線性同步調整策略平衡算法在不同階段的全局搜索和精確搜索能力，引入局部平均值的同時構造非線性局部加速系數，以盡量減小對收斂速度的影響；綜合考慮設備能力及工藝約束，以最小化軋制能耗為目標建立軋制規程的能量優化模型，基于改進PSO 規劃最佳道次板厚分配實現軋制能耗最小化。

1 問題描述及相關計算模型

1.1 問題描述

中厚板軋制過程熱力耦合，其中最大的能量消耗為使金屬產生形變所做的功[15]。

若總計n 個軋制道次，第i 個道次的軋制能耗為Ai，軋制過程消耗的總能量為各個道次能耗累加值。壓下規程能量優化的目標函數為

優化過程同時滿足以下設備能力和工藝約束條件。

(1) 各道次軋制壓力Pi應滿足

0＜Pi≤Pimax

其中：Pimax為第i 道次機架的最大軋制壓力。

(2) 各道次軋制力矩Mi應滿足

0＜Mi≤Mimax

其中：Mimax為第i 道次機架的最大軋制力矩。

(3) 各道次軋制功率Ni應滿足

0＜Ni≤Nimax

其中：Nimax為第i 道次機架的最大軋制功率。

(4) 各道次壓下率ei應滿足

eimin≤ ei≤eimax

其中：eimin和eimax分別為第i 道次允許的最小和最大道次壓下率。

1.2 相關計算模型

軋制過程參數計算是熱軋領域的經典問題，基于文獻[15-16]，對其進行介紹。

1.2.1 軋制力計算

軋制力P 采用經典SIMS 公式進行計算：

式中：W 為軋件寬度；R′為考慮彈性壓扁的軋輥半徑；Δh 為軋件的厚度壓下量；Qp為應力狀態系數函數；σ為軋件材料的平均變形抗力。

軋輥壓扁半徑R′ 可采用式(3)和式(4)所示的Hitchcock 公式進行計算：

其中：E 為軋輥彈性模量；v 為軋件泊松比，熱軋中可近似等于0.3。軋制力和壓扁半徑反復迭代計算，直至壓扁半徑保持穩定。

粗軋和精軋階段Qp分別采用式(5)所示的采利柯夫公式和式(6)所示的回歸公式進行計算：

式中：lc為軋輥與軋件接觸弧的水平投影長度；hc為軋制前后的軋件平均厚度；ε 為厚度壓下率。

平均變形抗力采用以下計算式進行計算：

式中：σ0，a1，a2，a3，a4，a5和a6為與材料化學成分相關的系數，具體取值由實驗數據回歸分析確定；T為軋件表面熱力學溫度；μ 為采用對數應變方法計算的壓下變形速度；e 為對數應變系數。

1.2.2 軋制力矩計算

根據軋制力和力臂計算求軋制力矩M：

式中：a 為軋制力臂長度；φ 為力臂系數。

1.2.3 軋制功率計算

軋制功率N 由軋制力矩和軋輥轉速計算取得：

式中：ω 為軋輥轉動角速度。

1.2.4 軋制能耗計算

單道次軋制過程的能量能耗A 與軋制力矩間存在等式計算關系：

則

式中：φ 為軋件通過軋輥期間內軋輥的轉角；ω 為軋輥轉動的角速度；t 為軋制時間；l1為軋件的軋后長度；f 為軋制前滑值。

1.2.5 溫降計算

變形抗力是軋制力計算的重要組成部分，溫度直接參與變形抗力計算。在軋制過程中，能量消耗的計算需將溫度因素考慮在內。板帶軋制時，一般認為對流和傳導所散失的熱量與變形功所轉化的熱量抵消，主要考慮高溫下軋件熱輻射帶來的溫降以及高壓水除磷帶來的溫降。

輻射溫降ΔTf計算方法為

式中：k1為考慮散熱條件的系數；t 為冷卻時間；h 為軋件厚度。

高壓水除磷溫降ΔTd計算方法為

式中：T0為環境熱力學溫度；εr為軋件相對黑度。

2 改進PSO 算法

粒子群優化算法(PSO)由Kennedy 和Eberhart 于1995 年提出[7]，是一種基于群體智能的演化計算方法。在粒子群算法的每一個演化代，粒子的信息被組合起來作為速度用以調整每一維上的分量，繼而被用來計算新的粒子位置。粒子在多維空間中不斷改變它們的狀態，直到種群達到平衡或算法達到最大迭代次數。

標準PSO算法[17]在原始PSO算法[7]基礎上引入慣性權重，粒子速度更新公式為

式中：w 為慣性權重，用于控制粒子歷史速度對當前速度的影響；c1和c2分別為認知加速系數和社會加速系數，分別表示粒子的個體和全局最優位置對當前速度的影響；r1和r2為在[0,1]范圍內均勻分布的隨機數；Pib為粒子的個體歷史最好位置；Pgb為粒子的全局歷史最好位置；xid,n為第n 個演化代粒子的位置；vid,n和vid,n+1分別為第n 代和n+1 個演化代粒子的速度。

中厚板軋制過程熱力耦合，軋制規程計算復雜、耗時，軋件變形程度大，目標搜索空間大，對算法收斂速度和全局搜索能力要求均較高。PSO 本質上是一種隨機搜索算法，其全局搜索能力受慣性權重和全局最優粒子影響很大，w 越大，則粒子全局搜索能力越強；w 越小，則粒子局部搜索能力越強[9]。本文改進PSO 算法的粒子速度更新策略，通過三角函數的平移和縮放，在一定值域同時非線性動態調整慣性權重值和加速系數。

動態調整的計算函數為：

式中：cmax和cmin分別為系數最大和最小取值；n 為當前迭代次數；kmax為最大迭代次數。與線性調整相比，f1使得較大的系數取值在迭代初期較好保持，而在迭代中后期快速減小，f2反之。

算法中慣性權重和加速系數非線性調整的指導思想是：在搜索前期大范圍搜索內充分發揮個體的尋優能力，提高收斂速度，而在搜索中后期迅速加強粒子的局部搜索能力，快速獲取精確解。

改進的慣性權重、認知加速系數和社會加速系數分別按下式進行計算：

式中：wmax，wmin和wn分別為粒子速度的最大慣性權重、最小慣性權重和第n 次迭代后的慣性權重；c1max，c1min和c1,n分別為粒子的最大、最小和第n 次迭代后的認知加速系數；c2max，c2min和c2,n分別為粒子的最大、最小和第n 次迭代后的社會加速系數。

為使粒子擺脫局部極值，在粒子速度更新公式中引入粒子局部平均值[13]，并與本文的非線性系數調整策略相結合構造局部加速系數。局部加速系數非調整的指導思想是：前期大范圍搜索時盡量減小對粒子個體尋優能力的干擾，不影響收斂速度，后期逐步增大局部擾動，輔助粒子擺脫局部極值。

改進的粒子速度更新公式為：

式中：c3為局部加速系數；r3為[0,1]范圍內的隨機數；Plb為粒子群環形邏輯結構上若干最近粒子的位置平均值[13]；c3max，c3min和c3,n分別為局部加速系數c3的最大、最小和第n 次迭代后的取值。

3 軋制規程能量優化設計

3.1 決策變量選取

本文通過規劃最佳道次板厚分配實現軋制能耗目標最優，板厚分配由道次壓下率確定，若直接采用道次壓下率作為決策變量，則問題中關于決策變量還隱含下式連乘約束條件：

式中：hsrc為原始板坯厚度；hdest為最終目標鋼板厚度；ei為第i 個道次的壓下率。該約束條件為關于道次壓下率決策變量的非線性約束條件，計算處理較復雜，若強行轉化為線性約束條件，則可能導致較大誤差。為此，重新選取道次軋件出口厚度作為決策變量，定義x=[x1x2… xn]。其中，xi為第i 道次軋件出口厚度，x1=hsrc，xn=hdest，則壓下率約束條件轉化為如下線性不等式約束條件：

以軋件出口厚度為決策變量，以軋制能耗最小為優化目標，粒子群優化的適應度函數為

3.2 軋制規程能量優化的實現

中厚板軋制規程能量優化流程如圖1 所示。

圖1 軋制規程能量優化流程圖Fig.1 Flowchart of energy optimization for rolling schedule

優化方法的基本思想是：令道次壓下量基于原始壓下規程按比例上下浮動，得到粒子位置取值上下限；為保證鋼板板形和質量，設置道次壓下率限制；基于改進PSO 算法搜索適應度函數值最小的軋制規程方案；基于該軋制規程計算軋制參數，根據軋機參數限制和道次壓下率限制校核軋制規程。

在算法優化過程中對約束條件進行校核，若粒子位置不滿足約束條件則慣性權重清零。粒子速度更新不再受歷史速度的影響，但是，在社會加速、個體加速以及局部加速的影響下粒子還能繼續移動。達到限定迭代次數后若仍未找到滿足約束條件的解，則重新啟動計算過程。本文在已有軋制規程上進行優化，壓下率調整限定在一定幅值內，且工廠經驗規程對設備能力和工藝約束留有一定裕量，所以，不滿足約束的情況不頻繁，該種處理方法是適用的。

3.3 算法參數選取

在實際應用中，必須對算法參數進行實例化，參照文獻中常用取值進行試驗修正。本文PSO 算法的參數值選取如下。

粒子群規模設定為50，迭代次數n 限定為200 次，w 的調整范圍為[0.90, 0.40]，c1的調整范圍為[1.25,0.50]，c2的調整范圍為[0.50,1.25]，c3的調整范圍為[0.30,0.75]，w，c1，c2和c3分別按式(18)，(19)，(20)和(22)在各自值域內非線性調整；粒子的飛行速度按式(21)的改進速度更新公式調整。

4 實驗及結果分析

以雙機架中厚板軋機軋制規程優化設計為例，按設定軋機參數值和算法參數值，基于本文改進PSO 算法進行優化計算。

軋機參數設定如表1 所示。

表1 雙機架中厚板軋機參數Table 1 Parameters of dual rack plate mill

以常見的Q235 鋼種作為軋件材料，設定材料相關系數的回歸分析值[16]。板坯料長×寬×厚為2 900 mm×2 450 mm×245 mm，軋后目標鋼板長×寬×厚為59 208 mm×2 450 mm×12 mm；軋件初始溫度為1 150 ℃，軋制速度按原始規程軋制確定；原始規程包含12 個道次，前5 個道次為粗軋道次，道次間隔時間為5 s，后5 個道次為精軋道次，道次間隔時間為10 s，軋制規程優化不涉及整形和展寬道次。

使用上述軋機參數值和3.3 節中選取的算法參數值，基于改進PSO 算法進行優化計算。

原始軋制規程各道次的軋件出口厚度為x = [178.0, 140.0, 108.0, 83.0, 64.0, 49.0, 38.0, 29.0,22.0, 17.0, 13.5, 12.0] mm。

為保證鋼板板形和質量，道次壓下率限定在30%以內，末道次壓下率限定為10%～15%。令道次壓下量基于原始軋制規程上下浮動3%，計算軋件出口厚度范圍。粒子群搜索過程中基于軋機參數限制和道次壓下率限制校核壓下規程的有效性。

計算得到的最佳適應度函數值為

對應的優化后各個道次的軋件出口厚度為x = [178.7, 134.7, 103.8, 79.8, 61.5, 47.1, 36.5, 27.9,21.6, 17.2, 14 1]。

優化后軋制規程的詳細參數與原始軋制規程參數的對比情況見表2。

表2 原始軋制規程與優化后軋制規程參數對比Table 2 Parameter comparison of original rolling schedule and optimized rolling schedule

從表2 可以看出：優化后軋制規程滿足軋機參數限制和道次壓下率限制，軋制規程有效；同時，采用改進PSO 算法優化后的軋制規程與原始軋制規程相比，各道次累計軋制能耗降低：[(1 572.21 -1 545.87)/1 572.21] ×100%=1.7%。

為檢驗算法效果，分別選用遺傳算法GA[4]、標準粒子群算法 BPSO[17]、線性慣性權重粒子群算法LWPSO[10]、考慮環形鄰域平均值的粒子群算法LAPSO[13]和本文改進算法IPSO，GA 算法按表3 設置參數值，PSO 算法按表4 設定參數值，運行1 次的適應度函數曲線對比結果如圖2 所示。

從圖2 可以看出：除LWPSO 外，幾種算法限定迭代次數內均求得相同最優解；LWPSO 局部收斂在于其慣性權重快速收縮導致全局搜索能力降低；BPSO依賴于較大慣性權重提高全局搜索能力，在110 次迭代后搜索到最優解；LAPSO 適應度函數曲線在多個平緩階段后繼續下降，110 次迭代搜索到最優值，其擺脫局部極值的能力得以體現；IPSO 受改進粒子速度更新策略中多重因素影響，收斂速度較快，約迭代75次即達到最優值，搜索的最優值與前述算法一致；GA約120 次迭代后收斂到最優，其尋優速度與BPSO 和LAPSO 的尋優速度近似。

表3 GA 算法參數選取Table 3 Values of GA parameters

表4 PSO 算法參數選取Table 4 Values of PSO algorithm parameters

圖2 適應度函數曲線對比Fig.2 Comparison of fitness function curve

群體演化算法存在一定隨機性。為進一步檢驗算法效果，采用幾種算法對本文實例分別運行20 次，對全局搜索能力和收斂速度進行對比分析。

算法全局搜索能力評價由各個獨立運行周期中得到的適應度函數值統計判定，各個算法適應度函數值的盒圖對比情況如圖3 所示。

圖3 適應度函數值統計對比Fig.3 Statistical comparison of fitness function values

圖3 中，不同算法多次運行的適應度函數最小值相同，表示最好情況下算法優化結果一致，但是，算法統計性能差異較大：LWPSO 效果較差，最大值及上四分位值偏大，且中位值與上四分位值的差距大，表明運行結果有較多次數結果不佳；BPSO 最大值和上四分位值稍大，略比LWPSO 的大；本文所采用的GA 算法效果比BPSO 和LWPSO 的效果優，但不穩定，存在多次最終搜索結果無法收斂到最優的情況。造成該現象的最大的原因是受限于算法收斂速度，迭代取值次數不夠大；LAPSO 和IPSO 算法效果最好，其最大、最小值重合，表明所有運行次數中算法均收斂到最優。此外，BPSO 和LWPSO 算法統計結果中存在離群點且與最小值絕對差值較大，LAPSO 無離群點，IPSO 有1 個離群點但與最小值絕對差值很小，這說明引入局部平均值的LAPSO 和IPSO 全局搜索能力強，優化結果可靠性高。

算法收斂速度由20 次運行中各個獨立運行周期內搜索到最優值的迭代次數體現，統計對比結果見圖4。

圖4 迭代次數統計對比Fig.4 Statistical comparison of iterations

從圖4 可以看出：LWPSO 迭代次數統計的最小值、中位值、最大值以及上、下四分位值均最小，表明該算法收斂最快，但是，因為容易陷入局部極值，在本文實例場景中應用效果不佳；BPSO 迭代次數統計結果比LWPSO 的差，且全局搜索能力無明顯增強，算法效果一般；與BPSO 和LWPSO 相比，LAPSO 的各項統計指標明顯增大，說明算法全局搜索能力增強的同時收斂速度下降代價太大；IPSO 與LAPSO 相比除最小值外，其他幾項指標明顯領先，說明算法收斂速度較大提高，綜合考慮其全局搜索能力，效果最優。與各種PSO 算法相比，GA 算法達到搜索最優值所需的迭代次數最多，收斂速度最慢，充分體現出PSO 算法速度快的優點。

實驗結果綜合統計分析表明：本文的改進PSO 算法應用于軋制規程優化的實際運行效果滿足應用需求。

5 結論

(1) 提出一種改進PSO 算法，通過構造新的慣性權重和粒子加速系數非線性調整策略平衡算法不同階段的全局搜索能力和精確搜索能力，引入局部平均值輔助粒子擺脫局部極值的同時構造非線性局部加速系數，減小對收斂速度的影響。

(2) 以雙機架中厚板軋機軋制規程優化設計為例，綜合考慮設備能力和壓下率約束條件，基于改進PSO 算法進行軋制規程能量優化設計，優化后軋制規程所需軋制能耗明顯降低。

(3) 與遺傳算法、標準PSO 及幾種常用的改進算法相比，本文算法全局搜索能力強且收斂速度快，綜合性能好。

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