軌道結構上輪對相互影響系數的解析求法

馬龍祥，劉維寧，吳宗臻

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京，100044)

近年來，隨著我國高速鐵路及城市軌道交通的快速發展，車輛-軌道耦合動力學也得到了迅猛發展。對車輛-軌道耦合動力問題的研究，主要有時域法及頻域法之分。時域法多為數值計算方法，如翟婉明等[1-6]分別在時域內建立的車軌耦合體系，能很好地模擬車輛和軌道耦合的各種狀態，具有很好的適用性和強大的分析能力，但數值積分較費時，特別是計算頻率較高時，計算時間步長很短，會導致計算工作量過大。頻域法多為解析或半解析法，如曹艷梅等[7-9]在輪軌Hertz 接觸彈簧合理線性簡化下建立的車軌耦合模型屬于該類方法。這類方法雖不能解決非線性問題，但適合于快速求解無限長軌道模型(特別是周期性均勻彈性支承的無限長軌道模型)和處理隨機不平順問題，且在對高頻輪軌相互作用有關的分析中具有明顯的優勢。由于技術上難于操作，頻域法中關于系統激勵的輸入常采用定點荷載狀態激振[7-9]，即使一條代表輪軌表面不平順的激勵帶以列車運行速度反向通過輪軌接觸界面而進行系統激勵，見圖1(a)。這樣的激勵輸入方式與實際情況的移動荷載狀態激振即車輪在具有不平順的軌道結構上向前移動而引發系統振動是不相符的，見圖1(b)。激振方式不同在頻域車軌耦合模型中主要體現在軌道結構上輪對相互影響系數矩陣(也稱作輪軌接觸點的動柔度矩陣)的求解上。鑒于此，針對現有頻域法激振方式與實際不太相符的不足，本文將軌道視為周期性離散支撐的結構，給出求解移動荷載狀態激振下軌道結構上輪對相互影響系數的解析方法。該解析方法以Dirac 荷載作用在鋼軌上引起鋼軌墊片中的頻域力為基礎，以在與列車輪載同速的移動坐標系下對Dirac 荷載作用下鋼軌的振動控制方程進行系列積分變換為核心，計算準確度高，計算速度快，可用于建立更為合理的頻域車軌耦合動力分析模型。

圖1 車軌系統的2 種激勵輸入方式Fig.1 Two excitation input methods of vehicle-track system

1 軌道模型及輪對相互影響系數

本文將軌道視為周期性離散支撐的周期(軌道結構的特性在空間上按軌枕間距L 呈現周期性排列)結構，以此建立的軌道模型見圖2。由于軌道結構的對稱性，模型中僅考慮單根鋼軌所對應的軌道結構。具體地，模型中鋼軌視為點支撐的無限長Euler 梁，鋼軌墊片、枕下及基礎支撐采用彈簧阻尼元件來模擬，軌枕和道床視為離散的質量塊，基礎視為固定基礎。

圖2 軌道模型Fig.2 Track model

由于τ ＞t 時， h ′ ( x ′,0,t - τ)=0，式(1)的積分上限可以擴展到無窮，有

在式(2)中對時間t 進行傅里葉變換，將其變換到頻域，運用卷積傅里葉變換的性質可得

對式(3)中的ω 進行逆傅里葉變換，有

由式(4)可知：列車以速度v 行駛時，對于列車軸分布下激振頻率為 ωl的簡諧移動輪軌力群。軌道結構上輪對相互影響系數矩陣為

2 輪對相互影響系數的求解

在車軌耦合問題的頻域法中，激振頻率 ωl=0 的靜輪軌力直接視為列車軸重，無需進行相應輪對相互影響系數矩陣的求解；而在求解某一激振頻率ωl≠ 0的簡諧動態輪軌激勵力的幅值時才需要計算輪對相互影響系數矩陣[7]。因此，本文僅研究有意義的、激振頻率ωl≠ 0時所對應的輪對相互影響系數的求解。

2.1 輪對相互影響系數的解析表達

考慮對應列車速度v 及激振頻率 ωl的輪對相互影響系數 A( dij, ωl)的求解。從其物理意義出發，考慮一單位脈沖荷載(Dirac 荷載)在t=0 時刻作用在軌道結構鋼軌上的移動坐標(x ′= x - vt)原點x′=0 m 處，如圖3所示。此時，移動坐標系下鋼軌的振動方程為

其中： u′ 為移動坐標系下鋼軌的豎向位移；E*=E(1 +iη )，為考慮了鋼軌材料阻尼的復彈性模量；E 是鋼軌的實彈性模量；η 為鋼軌的損耗因子；I為鋼軌截面慣性矩；m 為鋼軌的線密度；xn為第n 個鋼軌墊片在固定坐標系下的位置坐標； F ( x ′, t)=δ (t )δ ( x′)為軌道結構所受的外力； fn( t )為荷載F ( x ′, t)作用下，第n 個鋼軌墊片給鋼軌的支撐反力(鋼軌墊片中的力)。

圖3 作用在軌道結構上的Dirac 荷載Fig.3 Dirac load applied on track structure

對于外荷載 F ( x ′, t)，有

即移動的概念對于Dirac 荷載無意義(這也是圖3 中用虛線箭頭表示Dirac 荷載在“移動”的原因所在)。因此，fn(t )實際上是軌道結構在固定坐標系原點O 處受δ ( t)作用引發的第n 個鋼軌墊片中的力，見圖4。

圖4 Dirac 荷載作用下鋼軌墊片中的力Fig.4 Forces in rail pads under Dirac load

定義雙重傅里葉變換為

其中：ξ 為波數；符號“～”表示波數-頻率域內的物理量。對式(6)運用雙重傅里葉變換，將方程變換到波數-頻率域，有

解式(9)，有

對式(10)的波數變量ξ 進行逆傅里葉變換，將波數-頻率域內的位移響應變換到空間-頻率域，有

由輪對相互影響系數的物理意義，有

在實際計算中，式(12)右側無窮項不可能計算，而只能計算有限個墊片。但計算墊片個數足夠多時，可以得到收斂結果。不妨考慮原點O 兩側各N 個墊片，即包括原點處共計2N+1 個墊片，并將式(12)右邊分成3 項，有

其中：P1，P2和P3分別與式(13)中右邊的3 個積分式相對應；p 為對應一特定dij的鋼軌墊片編號，它使得編號為p 及p+1 的墊片坐標滿足xp＜dij≤xp+1。

由圍道積分及留數定理，有

2.2 鋼軌墊片中頻域力的求解

圖5 軌道結構基本周期單元及其構成Fig.5 Basic periodic elements of track structure and their composition

對于圖5 所示的1 個基本周期單元，其傳遞矩陣為

其中：[ Ttrack]為1 個基本周期單元的傳遞矩陣；[ Trail]為鋼軌單元(區段)的傳遞矩陣；[ Tsupport]為支承微單元的傳遞矩陣。

對于鋼軌單元的傳遞矩陣，Gupta 等[14-15]給出了Euler 梁情形下的詳細求解方法，其可表示為

其中：等式右邊矩陣中各矩陣為該鋼軌區段動力剛度矩陣K 的子矩陣，它們均與角頻率 ωl+vξj有關，具體求法可參見文獻[14-15]。

對于支撐微單元的傳遞矩陣，可表示為[10-11]

其中：Ω = ωl+vξj；c k (Ω )為鋼軌下部支撐對應角頻率為Ω 時的復合剛度，

ckr(Ω )= kr+icrΩ ；ckb(Ω )= kb+icbΩ ；ckf(Ω )=kf+ icfΩ ；kr和cr分別為鋼軌墊片的剛度及阻尼；ms為軌枕質量；kb和cb分別為道床對軌枕的支撐剛度及阻尼；mb為1 個軌枕對應的道床質量；kf和cf分別為基礎對道床的支撐剛度及阻尼。

2.3 輪對相互影響系數的最終求解

3 計算分析

采用普通道砟軌道進行計算分析，軌道的具體計算參數見表1。此外，本文輪軌力的激振頻率擴充至500 Hz。

表1 軌道參數Table 1 Parameters of track

圖6 所示為輪對相互影響系數解析計算算法中對所計鋼軌墊片數2N+1 進行的收斂分析結果。圖6 中以速度160 km/h 下輪對對自身(x′=0 m)影響系數的模值為例進行示意。從圖6 可以看到：當計算墊片數取足夠大時，輪對相互影響系數的計算結果收斂，得到的計算結果準確：當計算11 個墊片時，| A (0,ωl)|在一些頻段還沒能收斂到準確的取值，特別是在低頻段；當計算墊片數為51，101 和401 時，| A (0,ωl)|已幾乎完全重合。對算法進一步收斂發現：該解析算法使輪對相互影響系數 A( x ′,ωl)計算結果收斂所需計算的墊片數在列車正常運行速度范圍內(0～350 km/h)對速度的變化并不敏感，但對移動坐標系中的距離x′的變化較敏感，具體地，隨著x′絕對值變大，所需計算墊片數也會有所增大。

圖6 計算鋼軌墊片數對輪對相互影響系數的影響Fig.6 Influence of calculated rail pad number on wheelset’s interaction coefficient

在以下計算中，考慮x′=0，2.56 及-2.56 m 時的輪對相互影響系數時的輪對相互影響系數(2.56 m 為中華之星列車的拖車同一轉向架下兩輪對的軸距)，取計算墊片數2N+1=51，以保證計算結果的收斂準確。

圖7 一些典型的輪對相互影響系數Fig.7 Some typical wheelsets’ interaction coefficient

圖7 所示為速度為160 km/h，x′=0，2.56 及-2.56 m 時的輪對相互影響系數。圖7 給出了 A( x ′,ωl)的模值、實部及虛部(分別表示為abs, re 及im)。從圖7 可以看出：影響系數在一些頻段存在較大起伏，這反映了軌道的固有特性。比較圖7(b)及圖7(c)可以看出：當速度不為0 km/h 時， A( x ′, ωl)關于x′并不是偶對稱的。這說明軌道結構上兩輪對之間，后輪引起前輪處軌道的位移(后輪對前輪的影響)與前輪引起后輪處軌道的位移(前輪對后輪的影響)是不相同的。顯然，這樣的不對稱是定點荷載狀態激振下無法體現的，也是更為合理的，因為輪對的移動方向本身就帶來了不對稱性。

圖8 所示為x′=0 m 時不同速度下輪對相互影響系數的模值(| A (0,ωl)|)。圖中速度v=0 km/h 時對應的曲線可以認為是定點荷載狀態激振下的影響系數，即軌道的頻率響應函數，它的形狀符合典型的軌道頻響函數形狀[13]，這也驗證了本文算法的正確性及準確性，同時它的峰值位置反映了軌道的固有頻率。從圖8 可以看到：當列車速度不同時，輪對間的影響系數是不同的；當速度較小時(如v=40 km/h 時)，移動荷載狀態激振下的輪對相互影響系數與定點荷載狀態激振下的相差不大，但當速度更高時，在某些頻段上特別是軌道固有頻率附近頻段，2 種激勵方式出現差別，且速度越大，差別越大。可見，運用定點激勵方式，在列車高速運行時會帶來相應的誤差。

圖8 列車不同速度對輪對相互影響系數的影響Fig.8 Influence of train speed on wheelsets’ interaction coefficient

4 結論

(1) 本文提出的輪對相互影響系數的解析求解方法在計算鋼軌墊片數取足夠大時，可得到收斂、準確的結果。

(2) 由于方法計算準確度高、計算速度快，本文方法可用于建立更合理的頻域車軌耦合模型。

(3) 輪對相互影響系數函數關于距離并不是偶對稱的。這說明軌道結構上兩輪對之間，后輪引起前輪處軌道的位移(后輪對前輪的影響)與前輪引起后輪處軌道的位移(前輪對后輪的影響)是不相同的。

(4) 列車速度對輪對間的影響系數有較大影響，車軌耦合模型在列車高速運行時宜采用移動荷載狀態激振。

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