基于壓力角的高重合度齒輪主動設計及特性分析

王建，羅善明，蘇德瑜

(1. 廈門理工學院 機械與汽車工程學院，福建 廈門，361024；2. 湖南科技大學 機電工程學院，湖南 湘潭，411201)

重合度是衡量齒輪副的傳動連續性、平穩性、傳遞載荷均勻性的重要度量指標，其定義是齒輪副的一對輪齒從開始嚙合到終止嚙合過程中，某一齒輪所轉過的角度與該齒輪單個齒距圓心角的比值。它所表達的是齒輪副的平均嚙合齒對數的信息[1-2]。齒輪傳動的重合度不僅與傳動的回轉誤差有關，還對齒輪強度有著重要的影響，而且為了保證能進行連續傳動，必須滿足重合度大于1 的條件。為了提高齒輪傳動的承載能力和動態性能，目前采用重合度大于2 的高重合度齒輪傳動[3-5]。與常規的齒輪傳動相比，高重合度齒輪傳動的同時嚙合輪齒對數較多，因此承載能力大[6]。高重合度直齒圓柱齒輪的設計，一般是通過增大齒頂高系數、增大齒數、減小壓力角等方法來實現[7]。增大齒頂高系數可以顯著提高齒輪副的重合度，但會導致齒頂厚減小使齒頂變尖，容易引起靠近齒頂的部位發生崩齒。齒輪副齒數增大重合度也會增加，但會使齒輪傳動體積增大。減小壓力角可使重合度增大，且能增大齒厚，減小輪齒變尖的可能，但是在滿足重合度要求的基礎上，要盡量選擇較大的壓力角，以減小彎曲和接觸應力，提高齒輪傳動的強度。上述高重合度齒輪的設計方法都屬于被動設計方法，無法實現通過改變預先給定的齒輪傳動重合度主動控制齒廓形狀的目的。為了滿足航空和汽車領域中齒輪傳動的高平穩性和高重合度需求，本文作者提出了一種基于壓力角的高重合度齒輪主動設計方法，即在建立的壓力角為一次函數時齒廓方程描述方法的基礎上，首先給定齒輪傳動的重合度，根據齒輪嚙合原理，推導齒廓的形狀，從而達到通過改變重合度主動控制齒廓形狀的目的。

1 基于壓力角的齒廓方程的數學描述

齒輪嚙合坐標系如圖1 所示。齒輪1 與坐標系Σ 1(O1,x1,y1)相固聯，齒輪2 與坐標系Σ2(O2,x2,y2)相固聯，通過節點P 的曲線為嚙合線。假設兩齒廓接觸點從P 移動到P1位置，則P1位置的接觸點在坐標系Σ 0(O0,x0,y0)下的坐標可表示為

其中：λ 為極距；α 為壓力角；r1為齒輪1 的節圓半徑。

若齒輪1 順時針旋轉一個角度φ，坐標系Σ1(O1,x1,y1)也隨著齒輪1 旋轉一個角度到達圖示位置，則P1點在坐標系Σ1(O1,x1,y1)下的坐標可表示為

同樣地，將接觸點在坐標系Σ1(O1,x1,y1)中的坐標變換到坐標系Σ2(O2,x2,y2)下，可得齒輪2 的齒廓方程為

其中：u 為齒輪傳動比。

當φ 取正值時，式(2)和式(3)分別代表齒輪1 齒廓齒頂部分和齒輪2 齒廓齒根部分的坐標方程，而當φ取負值時，分別代表齒輪1 齒廓齒根部分和齒輪2 齒廓齒頂部分的坐標方程，同時，極距λ 和壓力角α 都分別是轉角φ 的函數。

根據齒輪嚙合原理，齒廓上接觸點的法向量和切向量應相互垂直，即

其中：τ11為接觸點P1在齒輪1 齒廓上的切向量；n11為接觸點P1在齒輪1 齒廓上的法向量。

根據圖1 和式(2)，式(4)可化簡整理為

要使兩齒輪正確嚙合，齒輪2 齒廓上接觸點的法向量和切向量也應相互垂直，同樣可計算得式(5)成立。

由式(2)，(3)和(5)可知，若壓力角α 也能表示成φ的函數，則式(2)和(3)分別表示相互嚙合的兩齒輪即齒輪1 和齒輪2 的齒廓方程。

2 以壓力角描述的齒輪嚙合特性的定量表達式

2.1 曲率

齒輪1 上接觸點的曲率為[8]

同理可得，齒輪2 上接觸點的曲率為

由式(6)和(7)可知，當曲率為正值時，齒廓為凸齒廓，因此，齒廓上尖點存在的條件為曲率半徑為0，即

2.2 滑動系數

根據齒輪嚙合原理，齒輪1 和2 的滑動系數可表示為[9]

其中，

將式(10)和(11)代入式(9)可得，齒輪1 和2 的滑動系數為

2.3 重合度

齒輪的重合度可表示為[10-11]

其中：z1為齒輪1 的齒數。

假設齒輪的α 可表示為φ 的一次函數，即

其中：C0和C1分別為一次函數的系數； αa為節圓和齒頂圓之間齒廓上點的壓力角；αd為節圓和齒根圓之間齒廓上點的壓力角。

當兩齒輪的一對輪齒開始嚙合時，必為主動輪的齒根推動從動輪的齒頂。因此，開始時嚙合點是從動輪的齒頂與嚙合線的交點(如圖1(a)所示)，隨著嚙合傳動的進行，結束時的嚙合點是主動輪的齒頂與嚙合線的交點(如圖1(b)所示)，為了方便計算，以節點處為參考點。

由圖1 可知，下式成立：

其中：r1和r2分別表示齒輪1 和齒輪2 的分度圓半徑；λa表示節圓和齒頂圓之間齒廓上的點對應的極距；λd表示節圓和齒根圓之間齒廓上的點對應的極距。

當齒輪1 的模數m，齒數z1，傳動比u，齒頂高ha，壓力角的函數表達式已知時，根據式(14)和式(16)可求得接觸點位于齒廓頂部時對應的φa(φa＞0)的大小，根據式(15)和式(17)可求得接觸點位于齒廓根部時對應的φd(φd＜0)。將其代入式(13)，可計算得齒輪傳動的重合度。

3 高重合度齒廓主動設計數學模型的建立

一元二次方程(16)和(17)根的存在條件為

由圖1 可知：壓力角范圍為[0,π/2]，而當φ=0 時，α=C0±C1φ 表 示 分 度 圓 上 的 壓 力 角，因 此C0滿 足0≤C0≤π/2。

當C0=0，將C0=0 代入式(14)，(15)，(5)和(8)可知，當φ=0 時，不管C1取何值，齒廓都會存在尖點。因此，C0=0 這種情況不適合設計齒輪齒廓。

當C1在上述范圍內，且C1＜0 時， φa和 φd的取值范圍分別為

而當C1＞0 時， φa和 φd的取值范圍分別為

將式(22)和式(23)代入式(13)，即可計算得齒輪的重合度。同理，當齒輪的模數m，齒數z1，傳動比u，齒頂高系數ha*，頂隙系數C*，系數C0已知時，根據式(22)、式(23)和式(13)，可畫出系數C1和重合度ε的關系曲線。根據該曲線關系，當重合度確定后，可選擇系數C0和C1，將C0和C1分別代入式(14)，(15)和(5)，可計算得α 和λ，將上述數值代入式(8)驗證是否出現尖點，若不出現尖點，則可將上述數值分別代入式(2)和(3)可得主動齒廓和從動齒廓的表達式；若出現尖點，則需重新選擇系數C0和C1。

4 設計實例

4.1 齒廓方程

為了驗證上述設計方法的正確性，以重合度為3.0的齒輪傳動為例，說明其具體設計過程。齒輪的其他參數為模數m=2.5，齒頂高系數ha*=1，頂隙系數C*=0.25，齒數z1=25，z2=39。根據式(22)、式(23)和式(13)，若選取C0為π/8 和π/16，則系數C1和重合度ε的關系曲線如圖2 所示。當齒輪的重合度為3.0 時，本文選取C0=π/8，從而可得C1=0.539 9。將C0=π/8 和C1=0.539 9 代入式(14)，(15)和(5)，可計算得α 和λ，將上述數值代入式(8)可知，齒廓不會出現尖點。因此，將上述數值分別代入式(2)和式(3)可得主動齒廓和從動齒廓的方程分別為

圖2 系數C1 和重合度ε的關系曲線Fig.2 Relationship between contact ratio ε and coefficient C1

圖3 所示為高重合度齒輪與漸開線齒輪齒廓對比圖，其中，虛線為漸開線齒廓，實線為高重合度齒廓。由圖3、式(24)和式(25)可知：

1) 當φ≥0 時，式(24)和式(25)的第1 個式子分別表示主動齒輪分度圓和齒頂圓之間的齒廓、從動齒廓齒根圓和分度圓之間的齒廓；而當φ≤0 時，式(24)和式(25)的第2 個式子分別表示主動齒輪分度圓和齒根圓之間的齒廓以及從動齒廓齒頂圓和分度圓之間的齒廓。

2) 與相同參數的漸開線齒廓相比，高重合度齒輪在分度圓以下部分的齒寬大于漸開線齒輪在分度圓以下部分的齒寬，而在分度圓以上部分則相反。

圖3 齒廓對比圖Fig.3 Tooth profiles of gears

4.2 曲率

根據式(6)和(7)，利用MATLAB 軟件，可得出齒廓的曲率隨轉角φ的變化曲線，如圖4 所示。其中實線表示主動齒廓的曲率，虛線表示從動齒廓的曲率。綜合曲率半徑是衡量齒輪接觸強度的重要指標，與齒廓接觸應力和接觸強度有著密切的關系，因此有必要找出高重合度齒輪綜合曲率半徑的變化曲線。

圖4 齒廓曲率隨齒輪轉角的變化曲線Fig.4 Curvature of tooth profiles with different rotation angles

綜合曲率半徑ρ可表示為[12]：

當接觸部分曲率方向相同時取“-”號，相反則取“+”號。

圖5 所示為高重合度齒輪綜合曲率半徑隨轉角φ的變化曲線。由圖5 可知：高重合度齒輪的綜合曲率半徑很大，根據赫茲公式，兩輪齒在接觸處的最大接觸應力與綜合曲率半徑成反比[13]，故高重合度齒輪在接觸點處的最大接觸應力較小，對應的接觸強度會相應較大。

4.3 滑動系數

圖5 高重合度齒輪的綜合曲率半徑Fig.5 Composite curvature radius of proposed gear

圖6 高重合度齒輪的滑動系數Fig.6 Sliding coefficients of proposed gear drive

根據式(12)繪制高重合度齒輪的滑動系數如圖6所示。當φ＞0 時，可繪制主動齒輪分度圓與齒頂圓之間齒廓的滑動系數以及從動齒輪分度圓和齒根圓之間的滑動系數，而當φ＜0 時，可繪制主動齒輪分度圓與齒根圓之間齒廓的滑動系數以及從動齒輪分度圓和齒頂圓之間的滑動系數。

當壓力角為常數時，齒廓為漸開線齒廓[14]，若漸開線齒輪的壓力角為20°，其他參數和高重合度齒輪相同，則C0=π/9，C1=0。根據式(12) 繪制漸開線齒輪的滑動系數，如圖7 所示。

圖7 漸開線齒輪的滑動系數Fig.7 Sliding coefficients of involute gear drive

由圖6 和圖7 可知：節圓處滑動系數為0，而在遠離節圓處，滑動系數逐漸增大，表示齒面磨損量增大；高重合度齒輪主動輪的滑動系數變化區間為[-2.33, 0.61]，從動輪的滑動系數變化區間為[-1.55,0.70]，而漸開線齒輪主動輪的滑動系數變化區間為[-5.98, 0.68]，從動輪的滑動系數變化區間為[-2.12,0.86]，因此，高重合度齒輪的滑動系數遠遠小于漸開線齒輪的滑動系數，有利于改善齒輪的磨損狀況，提高齒輪的壽命。

5 動力學分析

為了分析重合度對齒輪動力學特性的影響，根據Hertz 碰撞理論，本文利用Adams 軟件，對設計實例中的高重合度齒輪進行了動力學分析。分別在兩齒輪上施加旋轉副，齒輪之間加實體-實體碰撞力，輸入軸上加轉速驅動，輸出軸上加負載轉矩，建立的完整動力學仿真模型如圖8 所示。

圖8 動力學仿真模型Fig.8 Dynamic simulation model

小齒輪施加的轉速為300 r/min，為了避免由于開始的沖擊造成的速度突變，轉速驅動以階躍函數施加，為STEP(time，0，0d，0.2，1 800d)。在被動齒輪的轉動軸上施加的負載函數為STEP(time，0，0，0.01，150 000)，大小為150 N·m 的階躍函數。接觸碰撞函數可表示為IMPACT(x，x，x1，k，e，Cmax，d)[15]，其中，x 表示用來計算碰撞函數里的距離變量；x相對于位移的碰撞速度；x1表示位移x 自由長度的正實數變量，若x＜x1則力賦一個正值，否則力為0 N，x1可以被定義為一個實數、函數或者變量；e 表示力的變形特性指數的一個正實變量；Cmax表示最大阻尼系數的一個非負實變量；d 表示在施加全阻尼時的邊界穿透量。根據設計實例中齒輪參數可計算得阻尼系數C=50 N·s/mm，穿透深度d=0.1mm，k=6.4×105N/mm，e=1.5。本文取仿真時間為0.5 s，步長為6 000。圖9所示為高重合度齒輪嚙合力仿真曲線。為了便于比較，圖10 給出了相同參數的漸開線齒輪的嚙合力仿真曲線。由圖9 和圖10 可知：

圖9 高重合度齒輪嚙合力曲線Fig.9 Meshing force of high contact ratio gear

圖10 漸開線齒輪嚙合力曲線Fig.10 Meshing force of involite gear

1) 與漸開線齒輪傳動相同，在仿真開始的瞬間，齒輪突然加速，嚙合力隨齒輪嚙合的進行發生波動，但波峰間距較大，即齒輪嚙合周期較長，隨著傳動的進行，嚙合力在一個均值附近以一定的幅值和周期上下波動，周期和幅值趨于穩定，這是齒輪周期性嚙入嚙出沖擊的表現。

2) 漸開線齒輪傳動的徑向嚙合力在均值處的波動幅值為758.43 N，而高重合度齒輪傳動的徑向嚙合力在均值處的波動幅值為459.16 N，比漸開線齒輪傳動減少了39.5%。

3) 漸開線齒輪傳動的切向嚙合力在均值處的波動幅值為399.24 N，而高重合度齒輪傳動的切向嚙合力在均值處的波動幅值為351.05 N，比漸開線齒輪傳動減小了12.1%。因此，從仿真結果來看，高重合度齒輪傳動的嚙入嚙出沖擊相對較小，傳動更加平穩。

6 結論

1) 利用基于壓力角的齒輪主動設計方法，可以在設計之前就預知齒輪傳動的重合度，還可以直接計算其曲率、滑動系數等嚙合特性，為方便快捷地設計滿足不同重合度需求的特殊齒輪奠定了基礎。

2) 與相同參數的漸開線齒輪相比，利用本文提出的方法設計的重合度為3 的齒輪，具有最大接觸應力小，滑動系數小的優點，有利于改善齒輪的磨損狀況，提高齒輪壽命。

3) 在相同條件下，高重合度齒輪傳動的徑向嚙合力在均值處的波動幅值比漸開線齒輪減少了39.5%，切向嚙合力在均值處的波動幅值比漸開線齒輪減小了12.1%，因此，其嚙入嚙出沖擊和傳動的平穩性均優于漸開線齒輪。

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