一種基于參數(shù)估計的自適應雙邊濾波算法

南棟，畢篤彥，馬時平，婁小龍，倪嘉成

(空軍工程大學 航空航天工程學院，陜西 西安，710038)

自然場景下，在獲取圖像時不可避免地會引入噪聲，尤其是高斯白噪聲[1]。因而，圖像去噪是圖像處理領域中一項基本而又關鍵的技術，其結果直接決定后續(xù)處理的性能。濾波作為圖像去噪的一項重要手段，其基本原理是將圖像中的每個點與其相鄰的幾個像素點的像素值作加權平均卷積運算。在其處理過程中，如何有效濾除噪聲并較好保持圖像邊緣細節(jié)，成為各種濾波算法的關鍵。為了在濾除噪聲的同時保持圖像邊緣信息，Tomasi 等[2]提出了雙邊濾波算法(bilateral filtering)。它是一種非線性濾波算法，具有非迭代、運算簡潔以及局域特性等優(yōu)點[3-4]，但其效果由空間標準差和亮度標準差這2 個參數(shù)同時決定，參數(shù)選擇不當會導致處理結果有較大差異。本文作者針對不同噪聲水平、邊緣強度圖像，提出一種基于參數(shù)估計的自適應雙邊濾波算法：從文獻[5]出發(fā)，估計圖像的噪聲水平，進而自適應調(diào)整雙邊濾波的空間標準差參數(shù)；同時，從圖像可見邊緣強度計算出發(fā)[6]，自適應調(diào)整亮度標準差參數(shù)；最終實現(xiàn)雙邊濾波參數(shù)根據(jù)輸入圖像的本質(zhì)特征自適應獲取，避免了參數(shù)的人工設置，在濾除噪聲的同時最大程度地保持了圖像的邊緣信息的有效性。

1 基于參數(shù)估計的雙邊濾波算法框架

1.1 雙邊濾波

雙邊濾波方法是基于高斯濾波方法提出的，主要是針對高斯濾波中將高斯權系數(shù)直接與圖像信息作卷積運算進行圖像濾波的原理，將濾波權系數(shù)優(yōu)化成高斯函數(shù)和圖像亮度信息的乘積，優(yōu)化后的權系數(shù)再與圖像信息作卷積運算，這樣就能在濾波的同時考慮到圖像信息中的邊緣細節(jié)，使圖像在正常高斯濾波后很模糊的邊緣信息保持清晰。本文認為所處理的自然有噪圖像均為零均值加性高斯噪聲圖像[7]，生成模型如下所示：

式中：I(x,y)為獲取的噪聲圖像；f(x,y)為無噪圖像；n 為服從零均值高斯分布噪聲。通過雙邊濾波后的圖像為[8]：

式中：Ibf(p)為像素點p 經(jīng)雙邊濾波后的值；I 為輸入像素點亮度； wp為歸一化參數(shù)；p 為輸入像素點；s為p 的鄰域；q 為鄰域中的像素點；Gσs和Gσr分別為空間函數(shù)和亮度函數(shù)，定義為[9]：

式中：σs和 σr分別為空間標準差和亮度標準差參數(shù)。不同參數(shù)下的雙邊濾波結果見圖1。從式(3)和圖1 可知：隨著 σs變大，空間函數(shù)作用變得突出，使圖像去噪效果更明顯，但過大時會導致圖像紋理特征過于模糊；隨著 σr變大，亮度函數(shù)作用變的平滑而穩(wěn)定，其在亮度突變得邊緣基本保持恒定，使雙邊濾波轉(zhuǎn)化為高斯低通濾波，從而失去對邊緣保持的約束作用[10]；當 σs或 σr過小時，雙邊濾波的濾波作用均會消失[11]。因此，針對不同噪聲水平、邊緣強度圖像，選擇合理有效的參數(shù)，明確各參數(shù)之間的關聯(lián)，從而達到最佳的濾波效果，一直是雙邊濾波亟需解決的問題。

圖1 不同參數(shù)下的雙邊濾波結果Fig.1 Results of bilateral filtering with different parameters

1.2 基于主成分分析的噪聲水平估計

從噪聲圖像生成模型出發(fā)，將式(1)看作為歐式空間中的向量運算，取空間中的單位向量為u，本文認為圖像與噪聲不相關，因此，對式(1)求其在u 方向上的方差，可得

式中：V(x)為x 項的方差； σn為高斯噪聲的標準差，即所需求取的噪聲水平。定義單位向量u 的最小取值為

采用PCA 方法[12]，計算圖像I 的方差：

式中：i ≠ j時， uiTuj=0； ΣI為I 的協(xié)方差矩陣；λi為 ΣI的第i 個特征值。對式(4)的等式兩邊同時求最小方差可得

在圖像的弱紋理區(qū)域可近似認為最小能量分量λmin(Σf)=0，因此，可得到噪聲水平的估計值：

式中：ΣI′為選擇的弱紋理區(qū)域的協(xié)方差矩陣。

1.3 圖像可見邊緣強度計算

文中定義出的圖像可見邊緣強度為：

式中：N 為圖像中像素點總數(shù)；e 為本文定義的圖像可見邊緣強度，反映一幅圖像的整體邊緣強度水平；Is為所有可見邊緣像素點數(shù)總和，

式中：Isobel(x,y)為圖像經(jīng)sobel 算子檢測后的結果。

2 本文算法實現(xiàn)

將噪聲水平、邊緣強度水平分別和空間標準差、亮度標準差進行線性相關運算，通過計算最優(yōu)濾波效果，求取在峰值信噪比最大下的參數(shù)系數(shù)。

2.1 空間標準差參數(shù)自適應獲取

選擇合理的弱紋理區(qū)域是參數(shù)估計的關鍵，圖像的弱紋理區(qū)域定義來源于圖像的奇異值分解[13]：

式中：GI為圖像的梯度矩陣；Dh和Dv分別為水平和垂直梯度導數(shù)算子；CI為圖像的梯度協(xié)方差矩陣；s12和 s22分別為最大和最小特征值，分別代表主能量和次能量，因此，當 s12＜50 時，認為該圖像區(qū)域為弱紋理區(qū)域，對應的梯度協(xié)方差矩陣近似為零矩陣。在弱紋理區(qū)域情況下，求式(1)的梯度協(xié)方差矩陣的均值：

求得的矩陣在對角上的元素有相同的概率分布，因此， 只需求出左上角的元素分布。 令v (n)=nTDhTDhn ，可求出其矩量母函數(shù)：

式中： λi為DhTDh的第i 個特征值；N 為特征值數(shù)量。因為伽馬分布的矩量母函數(shù)為

式中：α 為形狀參數(shù)；β為尺度參數(shù)。對比式(13)和(14)，可以得到v(n)的近似分布函數(shù)：

式中：δ 為最大累積分布概率，設定為0.99tr(DhTDh)為DhTDh的跡，F(xiàn) 為伽馬累積分布函數(shù)；σn為估計的噪聲分布水平。最終，采用迭代運算來計算圖像的噪聲水平，具體步驟如下：

1) 以圖像的每一個像素點為左頂點，可劃分出數(shù)個7×7 的區(qū)域；

3) 由式(15)計算分布函數(shù) τ(k)，將梯度協(xié)方差矩陣的均值中v(k)(n)≤ τ(k)的區(qū)域作為弱紋理區(qū)域，得到新的弱紋理區(qū)域集合w(k+1)；

實驗表明，經(jīng)過3 次迭代運算即可估計出噪聲水平[5]。本文認為，圖像噪聲水平與空間標準差參數(shù)為線性關系，如下式所示：

2.2 亮度標準差參數(shù)自適應設置

圖像可見邊緣強度直接決定人眼視覺對圖像認知質(zhì)量的優(yōu)劣，因此，為了在保證濾波效果的同時，能夠滿足人眼的視覺愉悅性，采用下式來約束亮度標準差參數(shù)：

為了得到合理有效的參數(shù)系數(shù)，對100 幅不同圖像加入不同強度的隨機噪聲，并對其進行雙邊濾波處理，可發(fā)現(xiàn)：當a=9，b=14 時，濾波后圖像能夠獲得最佳峰值信噪比。

3 實驗結果及分析

為了進一步驗證算法的有效性，選擇2 幅人工加噪圖像和2 幅含有自然噪聲的圖像進行實驗，分別采用引導濾波算法[14]、自適應流形濾波算法[15]以及本文算法進行處理，結果如圖2～5 所示。

實驗中，引導濾波算法和自適應流形濾波算法在進行濾波時，所選用參數(shù)均為經(jīng)驗取值。從實驗結果可以看出：在一般噪聲情況下，3 種濾波算法的效果基本相同(如圖2 和圖4 所示)；但當場景噪聲水平有較明顯變化時，引導濾波算法和自適應流形濾波算法不具備自適應性，因此，不能獲得較好效果，而本文算法則能取得較理想結果(如圖3 和圖5 所示)。針對人工加噪和自然有噪圖像濾波，采用不同的客觀評價方法。表1 所示為人工加噪圖像濾波后的峰值信噪比對比，表2 所示為人工加噪圖像濾波后采用噪聲水平估計[5]的結果，表3 所示為自然有噪圖像濾波后平均梯度的對比，表4 所示為自然有噪圖像濾波后采用噪聲水平估計[5]的結果。

由表1～4 可知：在濾波后圖像的平均梯度均有所下降，并且3 種算法對邊緣的保持能力基本一致；同時，本文濾波算法在濾波后能夠有效去除噪聲，獲取最大峰值信噪比，由此可進一步說明本文自適應濾波算法的優(yōu)越性能。

圖2 加入強度為0.1 的隨機噪聲圖像濾波結果Fig.2 Results of image filtering with manual noise(σn=0.1)

圖3 加入強度為0.2 的隨機噪聲圖像濾波結果Fig.3 Results of image filtering with manual noise(σn=0.2)

圖4 圖像“猩猩”的濾波結果Fig.4 Filtering results of image“orangutan”

圖5 圖像“劇院”的濾波結果Fig.5 Filtering results of image“theatre”

表1 人工加噪圖像濾波結果信噪比對比Table 1 PSNR value of image filtering with manual noise

表2 人工加噪圖像濾波結果噪聲水平對比Table 2 Noise level of image filtering with manual noise

表3 自然有噪圖像濾波結果平均梯度對比Table 3 Average gradient value of image filtering with natural noise

表4 自然有噪圖像濾波結果噪聲水平對比Table 4 Noise level of image filtering with natural noise

4 結論

1) 在弱紋理區(qū)域選擇和Sobel 邊緣檢測算子基礎上，分別提出了圖像的噪聲水平和邊緣強度這兩大基本特性的估計方法。

2) 提出了一種自適應的濾波算法，最優(yōu)地選取了空間標準偏差和亮度標準偏差參數(shù)，保證了濾波后圖像的最佳峰值信噪比，為面向現(xiàn)有新型快速濾波器、設計其在最佳約束條件下的自適應濾波算法提供了有效思路。

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