巖石亞臨界裂紋擴展應力強度因子Williams 級數計算及數值模擬

郝瑞卿，李江騰，曹平，廖峻，劉博

(中南大學 資源與安全工程學院， 湖南 長沙，410083)

近年來，人類修建的巖土工程規模不斷擴大，為保證這些工程的順利進行以及工程結束后使用的穩定性、安全性，要求巖體工程能保持長期的穩定性。根據斷裂力學原理，在巖體裂紋尖端的應力強度因子KⅠ未達到其斷裂韌度 KIC時，裂紋會以一種較穩定的速度向前擴展，這種巖石裂紋穩定的、準靜態擴展方式稱為巖石的亞臨界擴展。而當亞臨界擴展進行到一定程度時，通常巖石內裂紋將會快速擴展，進而發生斷裂，導致巖土工程失穩，說明巖土工程的穩定性與巖石裂紋擴展的時間相關：因此，研究巖石亞臨界裂紋擴展規律對巖石穩定的時間相依性研究具有重要意義。目前，已有許多學者對巖石亞臨界裂紋擴展進行了試驗研究，如肖洪天等[1]對三峽船閘高邊坡花崗巖進行了雙扭試驗，得到了花崗巖亞臨界裂紋擴展速度與應力強度因子之間的關系；張雯等[2]分析了巖石亞臨界裂紋擴展的應力腐蝕機理，認為亞臨界擴展是由拉應力和裂紋尖端物質與環境中的腐蝕介質發生化學反應使化學鍵斷裂這2 種機制聯合作用的結果，并測試了金川礦區的3 種巖樣，得到了應力強度因子與裂紋擴展速度之間的關系。袁海平等[3]對金川礦區的軟弱復雜礦巖進行了雙扭試驗，得到礦巖的斷裂韌度及應力強度因子與裂紋擴展速度之間的線性關系；陳瑜等[4-7]對巖石亞臨界裂紋擴展進行了實驗研究，并得到裂紋擴展的停滯速度和門檻值。汪亦顯等[8]得到了含水率較大的巖石亞臨界裂紋擴展中應力強度因子與裂紋擴展速度的關系。上述研究均是從雙扭試驗中應力強度因子與柔度和應變能釋放率之間的關系推導出應力強度因子的求解公式。本文作者運用Williams 級數，對雙扭試驗中應力強度因子的數值解進行推導，并在上述學者所做試驗研究的基礎上，應用ANSYS 數值模擬軟件對巖石亞臨界裂紋擴展進行數值模擬，將3種方法所得應力強度因子進行比較和分析，以便為巖土工程穩定的時間相依性研究提供基本參考。

1 雙扭試驗的基本原理

雙扭試驗是測試亞臨界裂紋擴展速度的一種直接方法，它能夠直觀地監測裂紋的擴展過程，加載及預裂方式簡單有效，適用性廣，并且在確定應力強度因子KⅠ時不需知道裂紋的長度，因此，該方法成為研究亞臨界裂紋擴展的有效手段。雙扭試件最先應用于研究玻璃、陶瓷等脆性材料的斷裂特性，Ciccotti 等[9-12]將其應用于巖石材料，研究其斷裂韌度及亞臨界裂紋擴展規律。

圖1 所示為雙扭試件示意圖。該試件為一矩形薄板，在板的下表面沿長度方向的對稱線開有1 條通槽，以使加載時裂紋沿該槽擴展。

圖1 雙扭試件示意圖Fig.1 Schematic diagrams of double torsion specimen

雙扭試件可以看作由2 個彈性扭轉桿組成。對于小變形，且寬度遠大于試件厚度的雙扭試件，裂紋尖端的應力強度因子KI[9-12]為

式中：P 為作用于扭桿上的荷載；wm為扭臂的長度；μ 為泊松比；d 為試件的厚度；dn為試件厚度與通槽厚度之差；w 為試件的寬度。

式(1)為計算應力強度因子所用公式，可知應力強度因子與荷載、試件尺寸和泊松比等因素有關，而不依賴于裂紋長度a。

2 雙扭試驗裂紋尖端應力強度因子Williams 級數解

2.1 作用力的轉換

由圖1 可知：雖然雙扭試驗中試件端部受到力偶作用，但試件裂紋擴展是由于裂紋面受到垂直于裂紋面的應力作用，裂紋擴展原理與Ⅰ型裂紋的擴展原理相同，故可以在力偶作用面內用1 對能產生相同裂紋擴展效果的拉力代替力偶。

力偶作用平面示意圖如圖2 所示。根據彈性力學基本理論[13]，力偶作用面內最大切應力τmax為

式中：M 為作用于桿端截面力偶；β為與d 和w 相關的系數。

圖2 力偶作用平面示意圖Fig.2 Plane of couple diagram

則模型底面任一點切應力τ 為

式中：x 為距坐標原點的距離；τmax為切應力τ 的最大值。可得底面切應力的合為

則模型所受到產生Ⅰ型裂紋的合力F合為

通過上述分析可知：雙扭試驗中裂紋的擴展由上述合力產生，故可用該力替代力偶。轉換后的分析模型見圖3。圖3 中：P 為轉換后的合力；r 和θ 為極坐標；b 為試件長度；c 為試件長度與裂紋長度之差。

圖3 力偶轉換后分析模型圖Fig.3 Model diagram after changing couple

2.2 Williams 級數表示的應力函數

力偶轉換后，原雙扭試驗轉換為平面問題，故可采用Williams 級數進行分析。由文獻[14]知，Williams提出的無窮級數應力函數分為偶函數和奇函數2 部分，其中偶函數相當于Ⅰ型裂紋里對稱加載，故可設圖3 所示模型的應力函數為

式中： φ (r,θ)為極坐標；Cj為待定系數。引入1 個無量綱系數Xj[14]，其與應力函數 φ (r,θ)中第j 項待定系數Cj的關系為

式中：b 為試件長度。根據直角坐標和極坐標的轉換關系，可求得：

對于任意直角坐標系Ont 與原直角坐標系Oxy 之間夾角為ω，根據坐標系間關系可知

其二階偏導數為

由Airy 應力分量表達式[14]可知

根據斷裂力學原理可知

將式(13)代入，引入Williams 極數，應力強度因子KI′為

從式(15)可以看出：要解得應力強度因子KI′，必須求解無量綱系數X1。

2.3 邊界配置法解方程組

在邊界配置法中，為使方程可以求解，取應力函數前2m 項組成的有限級數形式的近似解代替精確解，故式(13)可改寫為

由于試樣左右對稱，故取1 半進行分析。根據理論力學中力的簡化可知：作用于裂紋口的1 對拉力可轉換為作用于模型長邊中點的大小相等、方向相同的力和這個力與平移距離相乘得到的力偶。簡化后的受力情況如圖4 所示。

圖4 配置點設置圖Fig.4 Diagram of collocation points

對于被研究部分m 個配置點的設置如圖4 所示，在右邊界設置4 個點，編號為1，2，3 和4；左邊界設置3 個點，編號為m-2，m-1 和m；在上邊界設置m-7 個點，編號為5，6，…，m-3。

在邊界配置法中，針對配置點建立邊界條件，每個配置點有2 個邊界條件，即

式中： φ0(xi, yi)為非裂紋體的應力函數，

式中：c 為試件長度減去裂紋長度，即c=b-a；λ1和λ2為與a 和b 相關的系數。

2.4 算例分析

為研究該計算方法的可行性，選取大理巖和花崗巖試塊為例，具體計算試件尺寸及力學參數見表1。

表1 試樣尺寸與力學參數Table 1 Sizes and mechanical Parameters of specimens

根據李江騰[16]試驗數據中不同測試點的受力，經過前述力的轉換可求得此計算方法中模型所受的單位厚度的力、力矩及開裂過程中裂紋長度a。大理巖試件具體參數見表2，花崗巖試件具體參數見表3。

從表4 可以看出：此計算方法所得的應力強度因子 KI′隨著裂紋長度的增加而減小，與試驗測得的應力強度因子 KI變化規律相同；同時，計算所得的 KI′與試驗測得的 KI比較相對較大，并且隨著裂紋占試樣長度比例的增大而差距增大。

表2 大理巖試件計算點受力P、力矩M 及裂紋長度aTable 2 Force, couple and crack length of marble

表3 花崗巖試件計算點受力P、力矩M 及裂紋長度aTable 3 Force, couple and crack length of granite

表4 試驗和計算所得應力強度因子Table 4 Stress intensity factor of test and calculation MN·m-3/2

3 雙扭試驗的數值模擬

在試驗和理論推導的基礎上，本文應用ANSYS數值模擬軟件，分別對上述大理巖和花崗巖試件進行常位移松弛法雙扭試驗的數值模擬，通過ANSYS 軟件分析，分別計算大理巖和花崗巖在亞臨界裂紋擴展中裂紋尖端應力強度因子 KI′。具體模擬試件尺寸及力學參數見表1。

3.1 模型的建立

使用ANSYS 計算應力強度因子，常規單元在裂紋尖端存在奇異性，為提高計算精度，本次模擬采用奇異單元，即二次三角(或五面體)單元，消除應力強度因子奇異性，提高計算精度。

由雙扭試驗可知，模型對稱于沿長度方向所開的通槽，根據對稱性，取試件整體的1/2 建立幾何模型。圖5 所示為試件網格劃分模型。

圖5 試樣網格劃分模型Fig.5 Meshing model of sample

在裂紋尖端點處，采用奇異單元。圖6 所示為裂紋尖端處網格劃分模型。

圖6 裂紋尖端處網格劃分Fig.6 Meshing at crack-tip

3.2 加載求解

模型加載方式為：通槽所在邊界處施加對稱位移約束，反映另一半未畫出模型對本模型的影響；在試驗加載點對模型進行z 軸方向的位移加載，模擬試驗時的恒定位移；在鋼珠放置點進行全位移約束，即限制鋼珠放置點x，y 和z 方向的位移及轉動。

在求解應力強度因子前，定義沿裂紋面的路徑，以裂紋尖端作為路徑第1 點，沿裂紋面定義2 個附加點，以指出裂紋擴展方向。

圖7 所示為試樣1-1 y 軸方向的應力云圖。從圖7可以看出：在裂紋尖端點處有明顯的應力集中，與斷裂力學理論相符。表5 和表6 所示分別為大理巖、花崗巖根據雙扭試驗測得的應力強度因子KⅠ以及數值模擬所得的應力強度因子 KI′。

圖7 試樣1-1 y 軸方向的應力云圖Fig.7 Stress of y axis for sample 1-1

4 理論計算、模擬與試驗結果對比分析

大理巖和花崗巖根據試驗測得的應力強度因子、Williams 級數法計算的應力強度因子和模擬所得的應力強度因子的變化趨勢分別如圖8 和圖9 所示。

表5 大理巖應力強度因子Table 5 Stress intensity factor of marble

表6 花崗巖應力強度因子Table 6 Stress intensity factor of granite

圖8 大理巖應力強度因子變化趨勢圖Fig.8 Trend of stress intensity factor for marble

圖9 花崗巖應力強度因子變化趨勢圖Fig.9 Yrend of stress intensity factor for granite

從圖8 和圖9 可以看出：巖石亞臨界裂紋擴展過程中，隨著裂紋的擴展，應力逐漸松弛，裂紋尖端的應力強度因子逐漸減小。

5 結論

1) 采用Williams 級數及ANSYS 數值模擬2 種方法分別對大理巖、花崗巖在雙扭試驗中亞臨界裂紋擴展進行了理論計算和數值模擬，得到了裂紋擴展時裂紋尖端的應力強度因子，為巖土工程穩定的時間相依性研究提供了基本依據。

2) 隨著裂紋的擴展，應力逐漸松弛，裂紋尖端的應力強度因子逐漸減小，此減小規律符合斷裂力學的相關理論。

3) 巖石一般所處地質條件較復雜，周圍環境對巖石的亞臨界裂紋擴展影響如水對裂紋亞臨界擴展的影響較大，這在本文Williams 級數計算和模擬分析中并沒有得到體現；又如在地層深處，溫度對巖石亞臨界裂紋擴展的影響亦不能忽視。這些因素的影響還有待于進一步研究。

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