基于多步優(yōu)化GM（1，1）模型的云計算資源負(fù)荷短期預(yù)測

張 磊，徐達(dá)宇

ZHANG Lei1,XU Dayu2

1.安徽工商職業(yè)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)中心，合肥 230009

2.合肥工業(yè)大學(xué) 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009

1.Network Centre,Anhui Business Vocational College,Hefei 230009,China

2.Optimization and Intelligent Decision Making,Ministry of Education Key Laboratory of Process,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

1 引言

云計算以承諾向用戶提供具有高可擴(kuò)展性、靈活性和成本效益的計算、存儲及其他各類應(yīng)用服務(wù)而受到業(yè)界的廣泛關(guān)注。為了實現(xiàn)這些承諾，云計算服務(wù)提供商不僅需要通過構(gòu)建完善的基礎(chǔ)設(shè)施、采取迅速有效的管理機(jī)制對資源進(jìn)行規(guī)劃以提供高質(zhì)量服務(wù)來滿足用戶需求，同時還需要控制成本、提高利潤來謀求自身的長期發(fā)展，而云計算數(shù)據(jù)中心能源消耗所產(chǎn)生的費用是運營成本中一個主要的構(gòu)成部分。

云計算環(huán)境下的資源負(fù)荷預(yù)測是實現(xiàn)云計算海量異構(gòu)資源有效管理以應(yīng)對動態(tài)且不確定的多元化用戶需求，保證及時、可靠地將各種資源提供給使用者的同時降低運營商、服務(wù)供應(yīng)商自身的成本，以及減少數(shù)據(jù)中心能源消耗過程中重要的一步[1]。利用歷史數(shù)據(jù)對未來一段時間內(nèi)資源負(fù)荷進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測，就可以運用服務(wù)器運行機(jī)制（例如服務(wù)器開/關(guān)、休眠/掛起）、虛擬化技術(shù)（例如虛擬機(jī)遷移）和相應(yīng)的負(fù)載均衡策略來實現(xiàn)整個云計算系統(tǒng)資源的合理配置，并為云計算運營商和服務(wù)供應(yīng)商提供有力的決策支持。在先前的云計算資源負(fù)荷預(yù)測研究中，相關(guān)學(xué)者使用了如自回歸模型（Auto-Regression，AR）[2]、模式匹配[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]、貝葉斯模型[6]等預(yù)測方法。然而，云計算系統(tǒng)是受多種因素影響的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，其資源負(fù)荷也相應(yīng)地表現(xiàn)出強烈的動態(tài)性，以上文獻(xiàn)中所提的預(yù)測方法都只是簡單地使用了傳統(tǒng)預(yù)測模型展開實驗，并未在對云計算資源負(fù)荷特征分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行對應(yīng)的預(yù)測模型選擇和構(gòu)建；并且單一的預(yù)測模型難以準(zhǔn)確描述云計算資源負(fù)荷復(fù)雜的內(nèi)部變化規(guī)律，不能及時調(diào)整模型參數(shù)以反映外部環(huán)境因素發(fā)生的變化。文獻(xiàn)[7-9]分析了云計算資源負(fù)荷的特征，并在資源使用率、任務(wù)執(zhí)行時間、資源請求內(nèi)容等幾個方面與網(wǎng)格計算（Grid Computing）及其他高性能計算（High Performance Computing，HPC）系統(tǒng)進(jìn)行了全面地比較。本文在這些研究的基礎(chǔ)上總結(jié)了云計算資源負(fù)荷的幾個主要特點：（1）大部分云計算中的任務(wù)具有較短的執(zhí)行時間。75%至80%的任務(wù)執(zhí)行時間在3分鐘左右；（2）云計算中的每個任務(wù)對資源的需求是少量的。大部分單個任務(wù)使用的資源約占一臺機(jī)器總資源量的2.5%。（3）相比于網(wǎng)格計算和其他HPC系統(tǒng)，云計算資源負(fù)荷表現(xiàn)出較高的噪聲，具有短期內(nèi)頻繁變化的特點。以上這些云計算資源負(fù)荷特點決定了其預(yù)測模型需要有較強的非線性擬合能力和自適應(yīng)的模型參數(shù)調(diào)整能力來不斷適應(yīng)負(fù)荷的動態(tài)性。

基于以上論述，本文將重點放于云計算資源負(fù)荷的短期預(yù)測研究中，短期負(fù)荷要求模型能夠盡可能使用較少的數(shù)據(jù)量、較短的預(yù)測時間去獲得準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果，從而能夠及時地為云計算的資源合理配置和調(diào)度提供可靠的決策支持，目的是為了能夠更有效地對云計算資源進(jìn)行實時控制和管理，保障云計算系統(tǒng)的穩(wěn)定運行及其資源的高效供應(yīng)，保證對云計算用戶提供可靠的服務(wù)。本文結(jié)合云計算資源負(fù)荷特點，闡述了GM（1，1）灰色模型在預(yù)測性能上的優(yōu)劣，提出基于多項式回歸模型、馬爾科夫鏈和布谷鳥搜索算法多步優(yōu)化的GM（1，1）預(yù)測模型，并將該模型用于云計算環(huán)境下資源負(fù)荷的短期預(yù)測應(yīng)用中去，也是對GM（1，1）灰色模型的應(yīng)用范圍作進(jìn)一步的推廣。實驗結(jié)果表明，相比于其他傳統(tǒng)時間序列預(yù)測模型，本文所建模型具有更高的預(yù)測精度，體現(xiàn)出良好的預(yù)測性能，適合對具有較強動態(tài)性和非線性的云計算資源負(fù)荷進(jìn)行短期預(yù)測。

2 基于多步優(yōu)化的GM（1，1）預(yù)測模型

自20世紀(jì)80年代我國學(xué)者鄧聚龍教授[10]創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論以來，灰色系統(tǒng)預(yù)測方法得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。其中GM（1，1）模型因其計算簡便、應(yīng)用廣泛而在灰色預(yù)測中占有重要地位，是運用最早也是迄今為止應(yīng)用最為廣泛的灰色模型，它以部分信息已知、部分信息未知的不確定性系統(tǒng)為研究對象，通過對已知信息的生成、開發(fā)，提取有價值的信息，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控。其建模不依賴于原始數(shù)據(jù)的分布信息，而是運用累加生成的方法使得序列呈現(xiàn)出整體的灰指數(shù)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建灰色微分方程并求解。灰色模型不需要大樣本數(shù)據(jù)就能建模預(yù)測，且建模過程簡單、算法復(fù)雜度低，并被證明在短期預(yù)測中具有獨特的優(yōu)勢[11]。因而，GM（1，1）模型被廣泛地用于國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域[12-14]。但是，和其他預(yù)測方法一樣，GM（1，1）模型也存在一定的局限性，它對非負(fù)光滑單調(diào)序列的預(yù)測精度較高，而對非線性動態(tài)振蕩序列的預(yù)測效果并不理想[15]。因此，為了GM（1，1）模型能更好地應(yīng)對云計算資源負(fù)荷時間序列的預(yù)測問題，本文將在闡述GM（1，1）預(yù)測模型建模機(jī)理的基礎(chǔ)上，構(gòu)建基于多步優(yōu)化的GM（1，1）灰色預(yù)測模型。

2.1 GM（1，1）灰色模型介紹

GM（1，1）灰色預(yù)測模型的建模機(jī)理如下：設(shè)原始序列 為，其 中，。對原始序列進(jìn)行一次累加得到一組新序列，其中模型的白化微分方程式為：

GM（1，1）模型的差分形式（灰微分方程）為：

從而得出灰色預(yù)測公式為：

2.2 P-GM（1，1）模型

其中 βi(i=0，1，2，3)為多項式系數(shù)，可由最小二乘法計算出各系數(shù)值：

其中，

在確定各系數(shù)值后，就可用所建的P-GM（1，1）模型計算得到一組新的預(yù)測序列來代替原有的預(yù)測序列，并且該組新預(yù)測序列會比GM（1，1）預(yù)測得到的值更接近實際值。

2.3 MP-GM（1，1）模型

經(jīng)過三次多項式回歸優(yōu)化后的GM（1，1）模型P-GM（1，1）在預(yù)測精度上有了一定的提高，但與實際值依然存在一定的誤差，從而形成一個殘差序列。因此，在P-GM（1，1）模型擬合結(jié)果的基礎(chǔ)上，本文利用適合于預(yù)測具有較強隨機(jī)性和波動性數(shù)據(jù)的馬爾科夫鏈（Markov chain）對P-GM（1，1）模型進(jìn)行再次改進(jìn)以進(jìn)一步提升本文所建模型對于動態(tài)云計算負(fù)荷時間序列的擬合能力，構(gòu)建MP-GM（1，1）模型，再次提高云計算資源負(fù)荷的預(yù)測精度。運用馬爾科夫預(yù)測法進(jìn)行預(yù)測，主要工作原理是利用初始狀態(tài)的概率向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來推測預(yù)測對象未來某一時間所處的狀態(tài)。由實際序列及P-GM（1，1）擬合結(jié)果可以得到一組殘差序列e(i)。其中，

根據(jù)殘差序列值e(i)的最大、最小值，將殘差序列分為S種狀態(tài)，每種狀態(tài)代表相應(yīng)的誤差區(qū)間（每個區(qū)間的誤差長度相同），這樣就可以獲得一個S×S的馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，而每個預(yù)測誤差都可定位在相應(yīng)的狀態(tài)中。用表示預(yù)測對象從狀態(tài)i經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移至狀態(tài) j的概率，則m步轉(zhuǎn)移概率為：

用as(t)表示第t個時期預(yù)測對象處于狀態(tài)s的概率，則{as(t)，s=1，2，…，S}稱為第 t個時期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量。設(shè)初始的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量為as(0)，利用初始的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量as(0)和一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P(1)，可以求出預(yù)測對象在任一時間處于任一狀態(tài)的概率向量。從而得到基于馬爾科夫鏈優(yōu)化的P-GM（1，1）預(yù)測模型：

其中，as(t)=[a1(t)，a2(t)，…，as(t)]=as(t-1)P(1)，為處于特定誤差區(qū)間范圍內(nèi)的一個灰數(shù)，即，ls和us分別為狀態(tài)s所對應(yīng)誤差區(qū)間的下限和上限。

2.4 CMP-GM（1，1）模型

在等式（12）中，若要獲得基于MP-GM（1，1）模型的預(yù)測結(jié)果，就需要確定灰數(shù)的值，即需要將灰數(shù)白化。根據(jù)文獻(xiàn)[14]所述，灰數(shù)的白化方法為：

其中λs∈[0，1]。從而可將等式（12）改寫為：

由等式（14）可知，只要確定向量 [λ1，λ2，…，λS]的值，就可以利用MP-GM（1，1）模型來進(jìn)行云計算資源負(fù)荷短期預(yù)測。因此，本文利用布谷鳥搜索算法（Cuckoo Search，CS）來確定向量 [λ1，λ2，…，λS]的最優(yōu)值，提出基于布谷鳥搜索算法的MP-GM（1，1）預(yù)測模型—CMPGM（1，1）預(yù)測模型。接下來首先介紹布谷鳥搜索算法的基本原理與算法流程。

2.4.1 布谷鳥搜索算法

2009年，Yang和Deb模擬布谷鳥的尋窩產(chǎn)卵行為，提出一種新的智能優(yōu)化算法——布谷鳥搜索算法[16]。這種算法主要基于布谷鳥的巢寄生繁殖機(jī)理和萊維飛行（Levy flights）搜索原理兩個方面，它模擬了布谷鳥尋找鳥窩的隨機(jī)搜索方式，并模擬出布谷鳥的卵被鳥窩主人發(fā)現(xiàn)后的進(jìn)一步隨機(jī)搜索過程[17]。在文獻(xiàn)[18]中，將布谷鳥搜索算法與粒子群算法、差分進(jìn)化算法和人工蜂群算法進(jìn)行了全面的比較，論證了布谷鳥搜索算法在獲取全局優(yōu)化值方面具有優(yōu)良的性能。把布谷鳥尋窩的方式形成理論，需假定以下3個理想狀態(tài)：（1）布谷鳥一次只產(chǎn)一個卵，并隨機(jī)選擇鳥窩來孵化它；（2）在隨機(jī)選擇的一組鳥窩中，最好的鳥窩將會被保留到下一代；（3）可利用的鳥窩數(shù)量是固定的，一個鳥窩的主人能發(fā)現(xiàn)一個外來鳥蛋的概率為 pα∈[0，1]。在這三個理想狀態(tài)下，布谷鳥算法的基本步驟為：

步驟1 隨機(jī)產(chǎn)生 S 維向量λ=(λ1，λ2，…，λS)，設(shè)定目標(biāo)函數(shù) f(E)，生成 n個鳥窩位置λi（i=1，2，…，n），設(shè)置算法參數(shù)。

步驟2計算每個鳥窩的目標(biāo)函數(shù)值，并記錄當(dāng)前的最優(yōu)解。

步驟3保留上代最優(yōu)鳥窩位置，并按位置更新公式對其他鳥窩位置進(jìn)行更新。其中位置更新方式遵循萊維飛行，公式為：

其中，α為步長控制量，α＞0;⊙為點對點乘法；Levy(ε)為隨機(jī)搜索路徑，服從Levy分布：

步驟4產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)r∈[0，1]，與布谷鳥的卵被鳥窩主人發(fā)現(xiàn)的概率 pα對比，若 r＞pα，則對進(jìn)行隨機(jī)改變，反之不變。再對改變后的鳥窩進(jìn)行測試，與上一步得到的一組鳥窩位置比較取對應(yīng)測試值較好的鳥窩位置，并選出當(dāng)代的全局最優(yōu)位置。

步驟5判斷是否滿足結(jié)束要求。若滿足，輸出結(jié)果；若未滿足，則返回步驟2。

2.4.2 基于CS算法優(yōu)化的MP-GM（1，1）模型

在闡述了CS算法基本原理與算法流程的基礎(chǔ)上，針對本文云計算資源負(fù)荷短期預(yù)測的實際應(yīng)用情況，構(gòu)建基于CS算法優(yōu)化的MP-GM（1，1）模型—CMP-GM（1，1）預(yù)測模型，即通過CS算法不斷搜索最優(yōu)的參數(shù)設(shè)置來使得本文所提模型對動態(tài)的云計算負(fù)荷具有良好的自適應(yīng)能力，下面給出算法流程。

步驟2 利用布谷鳥搜索算法更新向量[λ1,λ2,…，λS]的值，使得目標(biāo)函數(shù) f(E)不斷逼近其全局最小值。

步驟3檢測算法停止條件，若不滿足，返回步驟2；若滿足，則輸出最優(yōu)的λs值，s=1，2，…，S 。

步驟4 運用等式（14），計算出基于CMP-GM（1，1）模型的最優(yōu)云計算資源負(fù)荷短期預(yù)測序列。

在上文論述了基于布谷鳥搜索優(yōu)化的MP-GM（1，1）算法流程的基礎(chǔ)上，下面給出本文所建的基于多步優(yōu)化GM（1，1）灰色預(yù)測模型CMP-GM（1，1）算法的偽代碼：

至此，基于多步優(yōu)化的GM（1，1）灰色預(yù)測模型CMP-GM（1，1）已構(gòu)建完畢。

3 實驗及結(jié)果分析

本文所用實驗數(shù)據(jù)來自NASA和Clarknet[19]，該數(shù)據(jù)詳細(xì)記錄了每秒鐘兩個數(shù)據(jù)中心接收到的服務(wù)請求內(nèi)容，其資源負(fù)荷如引言中所述具有很強的動態(tài)非線性性，在[5，20，21]等文獻(xiàn)中已被多次用于云計算負(fù)荷預(yù)測及其性能分析研究。在云計算實際的資源管理過程中，每5至10分鐘會實施一次資源重新調(diào)度和配置的過程[4，22]。因此，本文中將對兩個數(shù)據(jù)中心提取的數(shù)據(jù)以10分鐘為最小單位進(jìn)行統(tǒng)計，即每天記錄的數(shù)據(jù)點為144個，以此獲得相應(yīng)的歷史資源負(fù)荷時間序列數(shù)據(jù)，并利用前三天的資源負(fù)荷數(shù)據(jù)對未來六小時（36個數(shù)據(jù)點）的云計算資源負(fù)荷進(jìn)行短期預(yù)測，使預(yù)測結(jié)果能夠為云計算資源實現(xiàn)有效的實時配置和調(diào)度起到?jīng)Q策支持作用。為了對所建模型在預(yù)測性能進(jìn)行客觀的評價和比較，本文選擇以絕對平均百分比誤差（AMPE）、均方根誤差（RMSE）和平均絕對誤差（MAE）這三個指標(biāo)作為衡量預(yù)測性能是否優(yōu)良的評價指標(biāo)。它們的計算公式為：

在實驗過程中，首先利用GM（1，1）模型對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行第一步擬合，然后再通過P-GM（1，1）模型對獲得的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖1所示。

圖1（a） 基于P-GM(1,1)模型的NASA數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖1（b） 基于P-GM（1，1）模型的Clarknet數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

由圖1可以看出，云計算環(huán)境下的資源負(fù)荷時間序列具有極強的動態(tài)性，雖然P-GM（1，1）模型能夠擬合出數(shù)據(jù)整體的發(fā)展趨勢，但對于單個數(shù)據(jù)點的擬合結(jié)果并不是很理想。因而，在獲得P-GM（1，1）模型擬合結(jié)果的基礎(chǔ)上，下一步將結(jié)合馬爾科夫鏈來對P-GM（1，1）模型的擬合能力進(jìn)行進(jìn)一步提升。根據(jù)P-GM（1，1）模型的擬合誤差的最大值（Maximum error）和最小值（Minimum error），將誤差狀態(tài)分為五個狀態(tài)，每個狀態(tài)的誤差區(qū)間占區(qū)間[Minimum error，Maximum error]的 20%。該五個狀態(tài)所對應(yīng)的誤差區(qū)間如下所示：

在確定了各個狀態(tài)所對應(yīng)的誤差區(qū)間后，就可根據(jù)公式（10）分別計算獲得兩組數(shù)據(jù)的馬爾科夫一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和：

求得最優(yōu)的λs值后，運用公式（14）分別計算出基于CMP-GM（1，1）模型的兩組數(shù)據(jù)預(yù)測值，結(jié)果如圖2所示。

為了驗證所提CMP-GM（1，1）預(yù)測模型的有效性，本文選取GM（1，1）、自回歸移動平均（Auto Regressive moving average，ARMA）、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及指數(shù)平滑（Exponential Smoothing，ES）四個模型作為對比，并且使各個模型在該實驗數(shù)據(jù)環(huán)境下預(yù)測性能表現(xiàn)最優(yōu)的模型參數(shù)設(shè)置。其中ARMA模型的自回歸項數(shù) p和模型的移動平均項數(shù)q分別設(shè)為 p=2和q=1；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱含層和輸出層神經(jīng)元的最優(yōu)個數(shù)設(shè)置為36∶15∶36；指數(shù)平滑采用二次平滑，選取前12個點的平均值作為平滑初值，平滑參數(shù)α經(jīng)過識別、比較后，確定為 α=0.36，此時方差最?。籆MP-GM（1，1）模型中布谷鳥算法的終止條件為最大循環(huán)次數(shù)200。圖3給出了CMP-GM（1，1）模型與各模型預(yù)測結(jié)果的相對誤差比較結(jié)果。表1給出了CMP-GM（1，1）模型與各預(yù)測模型的預(yù)測模型綜合比較結(jié)果。

圖2（a） 基于CMP-GM（1，1）模型的NASA數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果

圖2（b） 基于CMP-GM（1，1）模型的Clarknet數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果

圖3 各模型預(yù)測結(jié)果的相對誤差比較

表1 各模型的預(yù)測結(jié)果比較

從預(yù)測結(jié)果比較中可以看出，本文所提的基于多步優(yōu)化的GM（1，1）模型CMP-GM（1，1）預(yù)測模型的預(yù)測值與實際值在整體上最為貼近。對于未經(jīng)改進(jìn)的GM（1，1）模型，CMP-GM（1，1）模型的預(yù)測誤差只有其20%～30%，證明了本文所建的多步優(yōu)化模型是有效的，能明顯提升GM（1，1）模型對于動態(tài)、非線性數(shù)據(jù)的預(yù)測能力。而相比于ARMA、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ES等在先前云計算資源負(fù)荷預(yù)測中被用到的模型，CMP-GM（1，1）模型也在預(yù)測精度上體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢。綜上所述，CMP-GM（1，1）模型不僅在直觀上反映出該模型良好的預(yù)測性能，而且在各評價指標(biāo)上也體現(xiàn)出了優(yōu)勢，對具有較強非線性性和動態(tài)性的云計算短期資源負(fù)荷時間序列展現(xiàn)了優(yōu)良的預(yù)測性能。

4 結(jié)論

本文首先介紹了云計算資源負(fù)荷特征，論述了資源負(fù)荷預(yù)測在實現(xiàn)云計算資源高效管理中的作用，并強調(diào)了資源負(fù)荷短期預(yù)測在實現(xiàn)對云系統(tǒng)實時控制和使其穩(wěn)定運行中的效用。繼而闡述了GM（1，1）灰色模型在預(yù)測性能上的優(yōu)劣，提出基于多項式回歸模型、馬爾科夫鏈和布谷鳥搜索算法多步優(yōu)化的GM（1，1）預(yù)測模型，并將該模型用于云計算環(huán)境下資源負(fù)荷的短期預(yù)測應(yīng)用中去。實驗結(jié)果表明，相比于其他傳統(tǒng)時間序列預(yù)測模型，本文所建模型具有更高的預(yù)測精度，體現(xiàn)出良好的預(yù)測性能，適合對具有較強動態(tài)性和非線性性的云計算資源負(fù)荷進(jìn)行短期預(yù)測。

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