一類p（x）-Lap lacian問題解的存在性

高娟娟，賈小堯，馬繼佳

（河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南洛陽471023）

0 引言

近年來，具有變指數(shù)增長條件的偏微分方程理論在彈性力學、電子流變流體學以及圖像處理等方面變得越來越重要。變指數(shù)空間問題最早由波蘭數(shù)學家W.Orlicz提出，而后由捷克數(shù)學家O.Kovácˇik和J.Rákosn′ik系統(tǒng)地建立［1］。從此以后，變指數(shù)空間的基本理論研究［2－4］以及具有變指數(shù)增長條件的偏微分方程的研究［5－13］吸引了國內(nèi)外廣大學者的關注，其中，文獻［5－9］研究了具有Dirichlet邊界條件的變指數(shù)問題，文獻［10－13］討論了具有Neumann邊界條件的變指數(shù)問題。但是，這些文獻都是關于次臨界或者臨界情形的研究，對于具有超臨界增長指數(shù)的變指數(shù)問題的研究則較少［14－15］。本文討論一類具p（x）-Lap lacian算子且?guī)в谐R界非線性項的Dirichlet問題：

其中，Ω?RN是一個具有柱對稱性的有界正則區(qū)域；p（x）∈C（），1＜p（x）＜N，?x∈，且λ＞0。本文利用一個新的緊嵌入定理以及經(jīng)典的變分方法得到了問題（P）弱解的存在性。

1 預備知識

本節(jié)將介紹有關變指數(shù)空間Lp（x）（Ω）和W1，p（x）（Ω）的相關結(jié)論，詳細內(nèi)容見文獻［1－4］。

令Ω＝Ω1×Ω2?RN，其中Ω1?Rm（m≥1）是有界正則區(qū)域，Ω2?Rk（k≥2）是中心在原點半徑為R的球。定義：

假設h（x）滿足以下條件：（h1）：h（x）是上的非負H?lder連續(xù)函數(shù)，關于x2∈Ω2徑向?qū)ΨQ且滿足h（x1，0）＝0；（h2）：lh＞0，lh＝sup｛λ＞0：＜∞，x∈Ω｝。

定義：

命題3 假設h（x）滿足條件（h1），（h2），且p（x），q（x）∈C＋（）∩S（Ω），p（x）＜N，則存在一個常數(shù)τ＞0，使得當p（x）＜q（x）＜p*（x）＋τ時（p*（x）＝為臨界指數(shù)），嵌入W（Ω）→（Ω）是緊的。

且有以下結(jié)論：

（1）L是連續(xù)有界且嚴格單調(diào)的算子；

（2）L是（S＋）型映射，即若在W1，p（x）（Ω）中有unu，且p（L（un）－L（u），un－u）≤0，則un→u。

命題5 記Φ＝∫ΩλF（x，u）d x，則若unu就有Φ（un）→Φ（u）和Φ′（un）→Φ′（u）。

2 主要結(jié)果

下面，給出f（x，t）的假設條件：

（f1） f：Ω×R→R滿足Caratheodory條件，且存在兩個常數(shù)C1，C2＞0使得≤C1＋C2q（x）－1，?（x，t）∈Ω×R，其中，q（x）∈C＋（Ω），q（x）＜p*（x）＋τ（τ＞0是命題3中得到的常數(shù)）。

（f2） ?M＞0，θ＞p＋，使得0＜θF（x，t）＜f（x，t）t對于≥M，?x∈Ω成立，其中F（x，t）＝（x，s）d s。

（f3） f（x，t）＝o（p＋－1），t→0對于x∈Ω是一致的。

定理1 若f（x，t）滿足條件（f1）且q＋＜p－，則問題（P）有一個弱解。

證明 根據(jù)條件f1有≤C（1＋q（x）），?（x，t）∈Ω×R。令＞1，可得：

因為q＋＜p－，所以當→∞時有I（u）→∞，即I是強制的。由命題3可知，I是弱下半連續(xù)泛函。從而，I在W（Ω）中有一個極小值點u，即為問題（P）的一個弱解。

定義2 （（PS）條件）稱一個C1的泛函Φ：Χ→R滿足（PS）條件，如果任意一個在X中使得有界且Φ′（vk）→0的序列｛vk｝（稱為（PS）序列）都有收斂子列。

定理2 假設f（x，t）滿足條件（f1）、（f2），并且條件（h1）、（h2）成立，則I滿足（PS）條件。

證明 設｛un｝?W（Ω）是（PS）序列，即｛I（un）｝有界且當n→∞時有→0。接下來需要證明｛un｝有收斂子列。

由θ＞p＋可知｛un｝是有界的。因為W（Ω）是自反的Banach空間，所以可以找到一個弱收斂子列｛uni｝?W（Ω）。由于uniu且I′（uni）→0，應用命題4和命題5可知uni→u。選擇｛unj｝?｛uni｝使unj∈S（Ω），因此｛unj｝?W（Ω）且仍有unj→u。從而，I滿足（PS）條件。

定理3 若f（x，t）滿足條件（f1）～（f3），h（x）滿足條件（h1）和（h2），且q－＞p＋，則問題（P）有一個非平凡的弱解。

證明 下面利用山路引理證明。由定理2可知I滿足（PS）條件。因為p＋＜q－≤q（x）＜p*（x）＋τ，?x∈Ω，有以下緊嵌入結(jié)果：

從而，存在常數(shù)C0，C1，

根據(jù)條件（f1）和（f3）可知，存在任意常數(shù)0＜ε＜1和常數(shù)C（ε）＞0，使得

令ε＞0足夠小，使得0＜λεC0＜，從而有

因為q－＞p＋，所以必存在r＞0和δ＞0，使對每個u∈W（Ω）且＝r都有I（u）≥δ＞0成立。

于是，當t→＋∞時，有I（tv）→－∞。又因I（0）＝0，從而I滿足了山路引理的條件。因此泛函I至少有一個非平凡的臨界點。

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