聚焦高考中導數的“交匯性”

岳亞軍

導數是學習高等數學的基礎，作為解決數學問題的一種工具，它為高中數學注入了新的活力.導數方法的基礎性、工具性作用，凸現了它在整個教材中的地位.在高考數學試卷中是必然要出現的題型.筆者在平時的教學過程中總結發現：導數與函數、數列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應用數學知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結合近幾年全國高考試題，解析導數與相關知識的“交匯性”，供同學們復習參考.

一、導數與函數的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調遞增，在（-2，-ln2）單調遞減.

當x=-2時，函數f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導數研究函數的單調性、求函數的切線方程、求函數的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且常考常新.

二、導數與數列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設數列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應用導數證明函數問題，再利用數列與函數的關系證明數列問題的結論.

三、導數與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設函數f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導數常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數學問題時，學生還不適應，這也是難點之所在.

四、導數與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上為增函數；

當x∈（π4，1）時，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上為減函數.

又F（0）=0，F（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導數求函數的圖形性質及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學生推理能力、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力.

五、導數與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數與拋物線為載體，利用導數解決切線問題.

導數與三角的交匯，導數與立體幾何的交匯命題考查也常有出現，這里不再例舉.

導數是學習高等數學的基礎，作為解決數學問題的一種工具，它為高中數學注入了新的活力.導數方法的基礎性、工具性作用，凸現了它在整個教材中的地位.在高考數學試卷中是必然要出現的題型.筆者在平時的教學過程中總結發現：導數與函數、數列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應用數學知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結合近幾年全國高考試題，解析導數與相關知識的“交匯性”，供同學們復習參考.

一、導數與函數的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調遞增，在（-2，-ln2）單調遞減.

當x=-2時，函數f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導數研究函數的單調性、求函數的切線方程、求函數的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且常考常新.

二、導數與數列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設數列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應用導數證明函數問題，再利用數列與函數的關系證明數列問題的結論.

三、導數與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設函數f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導數常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數學問題時，學生還不適應，這也是難點之所在.

四、導數與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上為增函數；

當x∈（π4，1）時，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上為減函數.

又F（0）=0，F（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導數求函數的圖形性質及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學生推理能力、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力.

五、導數與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數與拋物線為載體，利用導數解決切線問題.

導數與三角的交匯，導數與立體幾何的交匯命題考查也常有出現，這里不再例舉.

導數是學習高等數學的基礎，作為解決數學問題的一種工具，它為高中數學注入了新的活力.導數方法的基礎性、工具性作用，凸現了它在整個教材中的地位.在高考數學試卷中是必然要出現的題型.筆者在平時的教學過程中總結發現：導數與函數、數列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應用數學知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結合近幾年全國高考試題，解析導數與相關知識的“交匯性”，供同學們復習參考.

一、導數與函數的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調遞增，在（-2，-ln2）單調遞減.

當x=-2時，函數f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導數研究函數的單調性、求函數的切線方程、求函數的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且常考常新.

二、導數與數列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設數列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應用導數證明函數問題，再利用數列與函數的關系證明數列問題的結論.

三、導數與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設函數f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導數常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數學問題時，學生還不適應，這也是難點之所在.

四、導數與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上為增函數；

當x∈（π4，1）時，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上為減函數.

又F（0）=0，F（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導數求函數的圖形性質及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學生推理能力、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力.

五、導數與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數與拋物線為載體，利用導數解決切線問題.

導數與三角的交匯，導數與立體幾何的交匯命題考查也常有出現，這里不再例舉.