一類基于第三十一家族的LA-群

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（廣西大學數學與信息科學學院，廣西南寧530004）

一類基于第三十一家族的LA-群

班桂寧，許永峰，陳倩，趙麗萍

（廣西大學數學與信息科學學院，廣西南寧530004）

利用群的擴張理論對p6階群Φ31(16)進行了推廣,得到了一類新的P-群,給出了它的一些性質,特別地驗證了它是LA-群.

有限P群；自同構群；自由群；LA-猜想；階

有限P-群作為有限群論中的一個重要分支,有著豐富悠久的歷史.群論學者們在這方面得到了許多有意義的結果［1-4］.1980年,Rodney James對階小于等于P6（P為奇素數）的有限P-群進行了完全分類［5］，但沒有給出其自同構群.關于有限P-群的自同構群，有一個著名的LA-猜想:階大于P2的有限非循環P-群的階是其自同構群的階的因子.本文對Rodney James在文獻［5］中給出的P6階群Φ31家族的Φ31(16)進行推廣，得到了有限P-群的一個重要類,然后運用Schreier群擴張理論和Van Dyek自由群理論證明了所得群G的存在性,并且給出了群G的一些性質，最后通過計算群G自同構群的子群R（R=lnn(G)Ac(G)）的階,以此證明所得到的群為LA-群.文中所討論的群均為有限P-群,P為奇素數,其余所有參數均為非負整數,相關符號若無特殊說明均是標準的,具體可參考文獻［5-7］.

1 主要引理

引理1［6］(Van Dyek)設G是由生成元x1,x2,…,xr和關系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I所定義的群,H=〈a1,a2,…,ar〉(這些ai可能相同),?i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,則存在唯一的滿同態σ∶G=Fr/N→H使得xiN→ai，其中Fr=〈x1,x2,…,xr〉為自由群,Y=〈{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}〉,N=YFr (Y在Fr中的正規閉包),G=Fr/N.如果|G|≤|H|<+∞,則上述的σ為群同構(即H是由生成元{a1,a2,…,ar}與定義關系fi(a1,a2,…,ar)=1,?i∈I所定義的群).

引理2［7］設G是有限群,則G的全體中心內自同構組成的Aut(G)的子群,并且它和Z(G|Z(G))是同構的.

引理3［8］設G是PN-群,G/G′和Z(G)的不變型分別為1≤mt≤mi-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1,則|Ac(G)|=pa,其中a=∑min{mj,kj}.

2 主要結果

定理1設則G成為一個群的充要條件是其中所給的關系是群G的定義關系,且|G|=Pt+t1+t2+s1+s2+r.

證（Ⅰ）設G為群,由所以si≤t,si≤ti,r≤si,r≤ti(i=1,2),即r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t},s2≤min{t2,t}.

（Ⅱ）利用群的擴張理論證明在定理所給的條件下群G的存在性,分以下兩步完成:

下面利用自由群理論證明G1中所給的關系即為群G1的定義關系.

設F={x,x1,y1,y2,z}為自由群,令∈所以?于是,故|ˉF|≤Pt+t1+s1+s2+z=|G1|.由引理1知G1?得證.

（2）證明G的存在性,且G中所給的關系即為群G的定義關系.令N=G1,設F=〈t〉為Pt2階循環群.作映射此時有故τ∈Aut(N).又所以.于是由Schreier擴張理論得到N被F

定理2群G有下列性質:

下面利用自由群理論證明G中所給的關系即為群的定義關系.

設F={x,x1,x2,y1,y2,z}為群,的一擴張則令所以于是

（3）G為PN-群;

證（1）令N=〈β1,β2,γ〉,顯然N≤G′且N?G′,則G/N=〈αN,α1N,α2N〉是交換群.所以G′≤N,即G′= N.故G/G′=〈αG′,α1G′,α2G′〉,Φ(G)=G′〈gp|g∈G〉=〈β1,β2,γ〉〈αp,α1p,α2p〉.

（3）由（1）、（2）知,Z(G)≤Φ(G),故G為PN-群.

定理3在以下六種情形下群G均為LA-群.

情形1 t2≤t1≤t;情形2 t1≤t2≤t;情形3t2≤t≤t1;情形4 t1≤t≤t2;情形5 t≤t2≤t1;情形6 t≤t1≤t2.

證由于R=Inn(G)Ac(G)≤Aut(G).于是只需證明|R|≥|G|,即可知G為LA-群.由引理2有|R|=|Inn(G)Ac(G)|=.由定理2知G/G′的不變型為(t,t1,t2),Z(G)的不變型為(t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r)且|G∶Z2(G)|=p3r,其中m=max{s1,s2}.下面只證明情形1下群G為LA-群.其他情形可類似情形1的證明.

在情形1 t2≤t1≤t下G/G′的不變型為t2≤t1≤t,需討論t,t1,t2,s1,s2,t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r的大小關系.

（Ⅰ）當s2≤s1時,m=s1.

(i)不妨設Z(G)的不變型為r≤s2-r≤s1-r≤t2-s2≤t1-s1≤t-s1.

(1)t1-s1≤t-s1≤t2≤t1時,由引理3,|Ac(G)|=pa=p3t+3t1+3t2-3s1-3r,此時|R|=|G|p2t+2t1+2t2-4s1-s2-r＞|G|,故群G為LA-群.

對于(2)t1-s1≤t2≤t-s1≤t1時,(3)t2≤t1-s1≤t-s1≤t1時,(4)t1-s1≤t2≤t1≤t-s1時,(5)t2≤t1-s1≤t1≤t-s1時,同理可得|R|＞|G|,故群G為LA-群.

(ii)對于Z(G)的其它不變型,類似于(i)的討論過程可以證群G為LA-群.

(Ⅱ)當s1≤s時,類似于(I)的討論過程可以證群G為LA-群.

故在情形1下群G為LA-群;對于情形2到情形6做類似于情形1同樣的討論,可以證明群G為LA-群.

［1］Flynn J,MacHale D,O’Brien E A,et al.Finite groups whose automorphism groups are 2-groups［J］.Proc Roy Irish Acad Sect A,1944,94(2):137-145.

［2］Yu S X,Ban G N,Zhang J S.Mininal-group with automorphism groups of order［J］.Alg Colloq,1996,3(2):97-106.

［3］俞曙霞,班桂寧.若干LA-群及有關定理［J］.廣西大學學報:自然科學版,1993,18(1):6-13.

［4］班桂寧,吳建平,張玉,等.一類特殊有限-群的自同構群的階［J］.云南大學學報:自然科學版,2008,30(SI):215-219.

［5］Rodney James.The groups of order(an odd prime)［J］.Math Comput,1980(34):613-637.

［6］班桂寧,俞曙霞.一類P-群的自同構群的階［J］.數學學報,1992,35(4):570-574.

［7］徐明曜.有限群導引［M］.2版.北京:科學出版社,2001.

［8］Exarchakos T.LA-groups［J］.J Math Soc Japan,1981,33(2):185-190.

A class of LA-groups based on the thirty-first family group

BAN Gui-ning,XU Yong-feng,CHEN Qian,ZHAO Li-ping
（School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,Guangxi,China）

This paper was a generalization of the order of p6of Φ31(16)group,by using the extension theory of group,and a new series of P-group was obtained.And some properties were shown.Particularly,it proved that the group was new LA-group.

finite group;automorphism group;free group;LA-conjecture;order

O152.1

：A

：1007-5348（2014）10-0005-03

（責任編輯：邵曉軍）

2014-05-12

國家自然科學基金(61074185)；廣西自然科學基金（0832054）.

班桂寧（1962-），男，廣西南寧人，廣西大學數學與信息科學學院教授，博士，主要從事有限群論與控制論研究.