高中數學習題教學的三個著力點

袁紅

習題課是高中數學最為常見的課型，習題教學不是搞題海戰術.傳統的習題教學我們教師習慣于用“成題”，現成的資料、現成的參考答案，的確節約了不少備課的時間，但是反過來思考，這樣做對學生的發展好么？教學的效度高么？筆者認為直接用“成題”、“套題”忽視了學生的學習主體性地位，習題課應該包含“問題設置”、“師生互動”、“解后反思”三個重要的環節.這三個環節也是習題教學的著力點，是促進課堂高效的重要推手.本文就該話題進行簡單的分析，望能有助于教學實踐.

一、合理設置問題，循序漸進發展學生思維

最近發展區理論認為，學生的學習是一種過渡的心理狀態，通過巧妙的設問可以激發學生的認知沖突，使得原有知識狀態失衡，在教師的引導下進行探究，新舊知識相互摩擦碰撞，推進學生知識平衡的移動，達到理想的潛在發展水平.習題教學中如何設置問題？筆者認為有效的問題應該具有層次感.

例如，“求函數值”的習題課，筆者考慮到這部分知識的教學目標和所帶班級的實際情況，從學生的最近發展區出發設計了一個有層次感、有梯度的例題.

例1 已知函數f（x）=3x-2 （x≥0），

x2-1 （x<0），求：

（1）f（2），f（-2）的值；

（2）f（f（-2）的值；

（3）當a>12時，f（2a-1）的值；

（4）f（2a-1）的值.

評析 這道習題采用了小步子、多臺階的分層設置方式，確保每個同學都能切入到問題的思考，并在問題的領引下，由簡單到復雜地解決問題，不斷地發散學生解題能力，發展學生思維.

二、互動理答，追加問題激活學生深層思考

學生在解題過程中，尤其是習題較為復雜時，可能會出現思維盲點，無法企及答案，這個時候怎么辦？任由學生空白著，還是直接灌注正確的解題方法呢？筆者認為，在學生解題出現困惑或矛盾時，應該從學生的具體學情出發進行追問、理答，分析學生解題時的思維和知識水平與待解決問題之間的思維和知識落差，在矛盾之處或思維困惑處追問，并以此為突破口完成問題的解決.這樣做的好處在于為學生提供思考問題的機會，引導學生的思維深入化發展，更重要的是難題的解決不是灌輸的，而是學生自己發現的，學生的成就動機維持在較高的發展水平，數學學習的積極性會很高.

例如，筆者在和學生一起推導等差數列前n項和時，給學生提供了一道例題.

例2 1+2+3+4+…+100=？

原以為這個例題，學生調用頭腦中的數學知識可以解決，但是教學實踐中發現，大部分學生運用高斯算法能夠以較快的速度得到等差數列前n項和：

Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…，但是這個是結果么？顯然不夠全面.對于學生的這一答案如何處理呢？為了讓學生自我發現問題，筆者采用追問的形式與學生互動理答.

追問1：大家在思考問題時，有沒有考慮n的奇偶性？

追問1是提示性追問，目的在于讓學生自主意識到前期的解題可能存在不夠全面的問題，為此，反思自己的解題，從n為偶數和奇數這兩個角度重新對例2進行思考，并有新的發現：當n為偶數時，Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an2+an2+1）=n（a1+an）2；但是生成了新的困惑和矛盾，那就是如果n為奇數，因為題境中缺乏與an+12配對的項，所以有一部分同學的思維又卡殼了，怎么辦呢？筆者運用先行組織者理論將學生的思維引向以前學習過的知識，引導學生通過對比實現方法上的遷移.

追問2：在初中，一個上底為a，下底為b，高為h的梯形，面積S的大小是如何推導的？

追問2看似與本題無關，但卻是學生解決例2的先行組織者，目的在于盤活學生的思維，從“梯形面積公式的推導”過程中提取出“倒序相加的方法”，繼而問題的解決就自然而然了，在學生得到答案的同時，思維也得到了發展，而且也學會了處理復雜問題的方法，思維縝密性和發散度都得到了有效的提升.

三、引導解題反思，沉淀一類問題的解題方法

學生做完習題不應是習題教學的終了，而應是一個新的開始，我們要引導學生進行解題反思，將學生的解答作為一種資源，引導學生再次對自己和他人的解題過程進行思考，并與自己的原有想法進行對比，實現一類問題解法的沉淀，通過積累提高自己對知識、規律的理解深度.

例3 如圖1所示，圓x2+y2=12 與拋物線x2=4y有兩個交點A和B，圖中F為拋物線的焦點，直線l為過點F斜率為1的直線，分別與圓和拋物線相交于不同的四個點，從左向右依次為P1、P2、P3、P4，試求出|P1P2|+|P3P4|為多大.

對于這道習題，筆者將學生的解答情況進行了整理，大概有4種情況：

（1）無從下手，答案填寫出一片空白，筆者將這部分學生初步評定為D類.

（2）能夠具體計算出P1、P2、P3、P4四個點的坐標，筆者將這部分學生評定為C類.

（3）能夠分別寫出|P1P2|=1+k2|x1-x2|，|P3P4|=1+k2|x3-x4|；分別得到|P1P2|=2|x1-x2|；|P3P4|=2|x3-x4|，接下來就不知道如何進行下去了，筆者將這部分學生評定為B類.

（4）能夠進一步完成解題的，將待求式表示出來，并去絕對值符號，|P1P2|+|P3P4|=1+k2|x1-x2|+1+k2|x3-x4|=2[（x2+x4）-（x1+x3）]，轉化為韋達定理進行求解，筆者將這部分學生評定為A類.

在習題講解的過程中，除了D類學生的作業沒有投影外，從C類、B類、A類學生中分別挑選了一些字跡清晰的解答過程通過實物投影展示，并降級要求學生（如展示C類學生的解答，邀請D類學生）進行分析，引導學生逐漸地接近正確解答.了解學生的解題實際，才會讓我們的習題評講和復習做到有的放矢，同時一定要幫助學生進行思維的訓練，引導學生從概念最為本質的東西出發進行思考.

總之，高中數學習題課，必須結合學生的實際和知識內容有選擇性地設置例題讓學生思考，從學生的解題過程和實際出發進行科學的理答，引導學生對自己的解題過程和方法進行反思，最終沉淀出解決這類問題的方法，提升解決實際問題的能力，強化學生對知識與方法的記憶，提高習題教學的效果.endprint

習題課是高中數學最為常見的課型，習題教學不是搞題海戰術.傳統的習題教學我們教師習慣于用“成題”，現成的資料、現成的參考答案，的確節約了不少備課的時間，但是反過來思考，這樣做對學生的發展好么？教學的效度高么？筆者認為直接用“成題”、“套題”忽視了學生的學習主體性地位，習題課應該包含“問題設置”、“師生互動”、“解后反思”三個重要的環節.這三個環節也是習題教學的著力點，是促進課堂高效的重要推手.本文就該話題進行簡單的分析，望能有助于教學實踐.

一、合理設置問題，循序漸進發展學生思維

最近發展區理論認為，學生的學習是一種過渡的心理狀態，通過巧妙的設問可以激發學生的認知沖突，使得原有知識狀態失衡，在教師的引導下進行探究，新舊知識相互摩擦碰撞，推進學生知識平衡的移動，達到理想的潛在發展水平.習題教學中如何設置問題？筆者認為有效的問題應該具有層次感.

例如，“求函數值”的習題課，筆者考慮到這部分知識的教學目標和所帶班級的實際情況，從學生的最近發展區出發設計了一個有層次感、有梯度的例題.

例1 已知函數f（x）=3x-2 （x≥0），

x2-1 （x<0），求：

（1）f（2），f（-2）的值；

（2）f（f（-2）的值；

（3）當a>12時，f（2a-1）的值；

（4）f（2a-1）的值.

評析 這道習題采用了小步子、多臺階的分層設置方式，確保每個同學都能切入到問題的思考，并在問題的領引下，由簡單到復雜地解決問題，不斷地發散學生解題能力，發展學生思維.

二、互動理答，追加問題激活學生深層思考

學生在解題過程中，尤其是習題較為復雜時，可能會出現思維盲點，無法企及答案，這個時候怎么辦？任由學生空白著，還是直接灌注正確的解題方法呢？筆者認為，在學生解題出現困惑或矛盾時，應該從學生的具體學情出發進行追問、理答，分析學生解題時的思維和知識水平與待解決問題之間的思維和知識落差，在矛盾之處或思維困惑處追問，并以此為突破口完成問題的解決.這樣做的好處在于為學生提供思考問題的機會，引導學生的思維深入化發展，更重要的是難題的解決不是灌輸的，而是學生自己發現的，學生的成就動機維持在較高的發展水平，數學學習的積極性會很高.

例如，筆者在和學生一起推導等差數列前n項和時，給學生提供了一道例題.

例2 1+2+3+4+…+100=？

原以為這個例題，學生調用頭腦中的數學知識可以解決，但是教學實踐中發現，大部分學生運用高斯算法能夠以較快的速度得到等差數列前n項和：

Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…，但是這個是結果么？顯然不夠全面.對于學生的這一答案如何處理呢？為了讓學生自我發現問題，筆者采用追問的形式與學生互動理答.

追問1：大家在思考問題時，有沒有考慮n的奇偶性？

追問1是提示性追問，目的在于讓學生自主意識到前期的解題可能存在不夠全面的問題，為此，反思自己的解題，從n為偶數和奇數這兩個角度重新對例2進行思考，并有新的發現：當n為偶數時，Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an2+an2+1）=n（a1+an）2；但是生成了新的困惑和矛盾，那就是如果n為奇數，因為題境中缺乏與an+12配對的項，所以有一部分同學的思維又卡殼了，怎么辦呢？筆者運用先行組織者理論將學生的思維引向以前學習過的知識，引導學生通過對比實現方法上的遷移.

追問2：在初中，一個上底為a，下底為b，高為h的梯形，面積S的大小是如何推導的？

追問2看似與本題無關，但卻是學生解決例2的先行組織者，目的在于盤活學生的思維，從“梯形面積公式的推導”過程中提取出“倒序相加的方法”，繼而問題的解決就自然而然了，在學生得到答案的同時，思維也得到了發展，而且也學會了處理復雜問題的方法，思維縝密性和發散度都得到了有效的提升.

三、引導解題反思，沉淀一類問題的解題方法

學生做完習題不應是習題教學的終了，而應是一個新的開始，我們要引導學生進行解題反思，將學生的解答作為一種資源，引導學生再次對自己和他人的解題過程進行思考，并與自己的原有想法進行對比，實現一類問題解法的沉淀，通過積累提高自己對知識、規律的理解深度.

例3 如圖1所示，圓x2+y2=12 與拋物線x2=4y有兩個交點A和B，圖中F為拋物線的焦點，直線l為過點F斜率為1的直線，分別與圓和拋物線相交于不同的四個點，從左向右依次為P1、P2、P3、P4，試求出|P1P2|+|P3P4|為多大.

對于這道習題，筆者將學生的解答情況進行了整理，大概有4種情況：

（1）無從下手，答案填寫出一片空白，筆者將這部分學生初步評定為D類.

（2）能夠具體計算出P1、P2、P3、P4四個點的坐標，筆者將這部分學生評定為C類.

（3）能夠分別寫出|P1P2|=1+k2|x1-x2|，|P3P4|=1+k2|x3-x4|；分別得到|P1P2|=2|x1-x2|；|P3P4|=2|x3-x4|，接下來就不知道如何進行下去了，筆者將這部分學生評定為B類.

（4）能夠進一步完成解題的，將待求式表示出來，并去絕對值符號，|P1P2|+|P3P4|=1+k2|x1-x2|+1+k2|x3-x4|=2[（x2+x4）-（x1+x3）]，轉化為韋達定理進行求解，筆者將這部分學生評定為A類.

在習題講解的過程中，除了D類學生的作業沒有投影外，從C類、B類、A類學生中分別挑選了一些字跡清晰的解答過程通過實物投影展示，并降級要求學生（如展示C類學生的解答，邀請D類學生）進行分析，引導學生逐漸地接近正確解答.了解學生的解題實際，才會讓我們的習題評講和復習做到有的放矢，同時一定要幫助學生進行思維的訓練，引導學生從概念最為本質的東西出發進行思考.

總之，高中數學習題課，必須結合學生的實際和知識內容有選擇性地設置例題讓學生思考，從學生的解題過程和實際出發進行科學的理答，引導學生對自己的解題過程和方法進行反思，最終沉淀出解決這類問題的方法，提升解決實際問題的能力，強化學生對知識與方法的記憶，提高習題教學的效果.endprint

習題課是高中數學最為常見的課型，習題教學不是搞題海戰術.傳統的習題教學我們教師習慣于用“成題”，現成的資料、現成的參考答案，的確節約了不少備課的時間，但是反過來思考，這樣做對學生的發展好么？教學的效度高么？筆者認為直接用“成題”、“套題”忽視了學生的學習主體性地位，習題課應該包含“問題設置”、“師生互動”、“解后反思”三個重要的環節.這三個環節也是習題教學的著力點，是促進課堂高效的重要推手.本文就該話題進行簡單的分析，望能有助于教學實踐.

一、合理設置問題，循序漸進發展學生思維

最近發展區理論認為，學生的學習是一種過渡的心理狀態，通過巧妙的設問可以激發學生的認知沖突，使得原有知識狀態失衡，在教師的引導下進行探究，新舊知識相互摩擦碰撞，推進學生知識平衡的移動，達到理想的潛在發展水平.習題教學中如何設置問題？筆者認為有效的問題應該具有層次感.

例如，“求函數值”的習題課，筆者考慮到這部分知識的教學目標和所帶班級的實際情況，從學生的最近發展區出發設計了一個有層次感、有梯度的例題.

例1 已知函數f（x）=3x-2 （x≥0），

x2-1 （x<0），求：

（1）f（2），f（-2）的值；

（2）f（f（-2）的值；

（3）當a>12時，f（2a-1）的值；

（4）f（2a-1）的值.

評析 這道習題采用了小步子、多臺階的分層設置方式，確保每個同學都能切入到問題的思考，并在問題的領引下，由簡單到復雜地解決問題，不斷地發散學生解題能力，發展學生思維.

二、互動理答，追加問題激活學生深層思考

學生在解題過程中，尤其是習題較為復雜時，可能會出現思維盲點，無法企及答案，這個時候怎么辦？任由學生空白著，還是直接灌注正確的解題方法呢？筆者認為，在學生解題出現困惑或矛盾時，應該從學生的具體學情出發進行追問、理答，分析學生解題時的思維和知識水平與待解決問題之間的思維和知識落差，在矛盾之處或思維困惑處追問，并以此為突破口完成問題的解決.這樣做的好處在于為學生提供思考問題的機會，引導學生的思維深入化發展，更重要的是難題的解決不是灌輸的，而是學生自己發現的，學生的成就動機維持在較高的發展水平，數學學習的積極性會很高.

例如，筆者在和學生一起推導等差數列前n項和時，給學生提供了一道例題.

例2 1+2+3+4+…+100=？

原以為這個例題，學生調用頭腦中的數學知識可以解決，但是教學實踐中發現，大部分學生運用高斯算法能夠以較快的速度得到等差數列前n項和：

Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…，但是這個是結果么？顯然不夠全面.對于學生的這一答案如何處理呢？為了讓學生自我發現問題，筆者采用追問的形式與學生互動理答.

追問1：大家在思考問題時，有沒有考慮n的奇偶性？

追問1是提示性追問，目的在于讓學生自主意識到前期的解題可能存在不夠全面的問題，為此，反思自己的解題，從n為偶數和奇數這兩個角度重新對例2進行思考，并有新的發現：當n為偶數時，Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an2+an2+1）=n（a1+an）2；但是生成了新的困惑和矛盾，那就是如果n為奇數，因為題境中缺乏與an+12配對的項，所以有一部分同學的思維又卡殼了，怎么辦呢？筆者運用先行組織者理論將學生的思維引向以前學習過的知識，引導學生通過對比實現方法上的遷移.

追問2：在初中，一個上底為a，下底為b，高為h的梯形，面積S的大小是如何推導的？

追問2看似與本題無關，但卻是學生解決例2的先行組織者，目的在于盤活學生的思維，從“梯形面積公式的推導”過程中提取出“倒序相加的方法”，繼而問題的解決就自然而然了，在學生得到答案的同時，思維也得到了發展，而且也學會了處理復雜問題的方法，思維縝密性和發散度都得到了有效的提升.

三、引導解題反思，沉淀一類問題的解題方法

學生做完習題不應是習題教學的終了，而應是一個新的開始，我們要引導學生進行解題反思，將學生的解答作為一種資源，引導學生再次對自己和他人的解題過程進行思考，并與自己的原有想法進行對比，實現一類問題解法的沉淀，通過積累提高自己對知識、規律的理解深度.

例3 如圖1所示，圓x2+y2=12 與拋物線x2=4y有兩個交點A和B，圖中F為拋物線的焦點，直線l為過點F斜率為1的直線，分別與圓和拋物線相交于不同的四個點，從左向右依次為P1、P2、P3、P4，試求出|P1P2|+|P3P4|為多大.

對于這道習題，筆者將學生的解答情況進行了整理，大概有4種情況：

（1）無從下手，答案填寫出一片空白，筆者將這部分學生初步評定為D類.

（2）能夠具體計算出P1、P2、P3、P4四個點的坐標，筆者將這部分學生評定為C類.

（3）能夠分別寫出|P1P2|=1+k2|x1-x2|，|P3P4|=1+k2|x3-x4|；分別得到|P1P2|=2|x1-x2|；|P3P4|=2|x3-x4|，接下來就不知道如何進行下去了，筆者將這部分學生評定為B類.

（4）能夠進一步完成解題的，將待求式表示出來，并去絕對值符號，|P1P2|+|P3P4|=1+k2|x1-x2|+1+k2|x3-x4|=2[（x2+x4）-（x1+x3）]，轉化為韋達定理進行求解，筆者將這部分學生評定為A類.

在習題講解的過程中，除了D類學生的作業沒有投影外，從C類、B類、A類學生中分別挑選了一些字跡清晰的解答過程通過實物投影展示，并降級要求學生（如展示C類學生的解答，邀請D類學生）進行分析，引導學生逐漸地接近正確解答.了解學生的解題實際，才會讓我們的習題評講和復習做到有的放矢，同時一定要幫助學生進行思維的訓練，引導學生從概念最為本質的東西出發進行思考.

總之，高中數學習題課，必須結合學生的實際和知識內容有選擇性地設置例題讓學生思考，從學生的解題過程和實際出發進行科學的理答，引導學生對自己的解題過程和方法進行反思，最終沉淀出解決這類問題的方法，提升解決實際問題的能力，強化學生對知識與方法的記憶，提高習題教學的效果.endprint