基于Modified Volterra模型的SI發動機空燃比非線性模型預測控制

石屹然，田彥濤，史紅偉，張 立

（1.吉林大學通信工程學院，長春130012；2.長春工業大學電氣與電子工程學院，長春130012；3.吉林大學珠海學院，廣東珠海519041）

0 引 言

三元催化器（Three-way catalyst，TWC）有效降低了發動機尾氣中三大污染物質：NOx，CO，HC的排放。理論和實踐均證明將發動機空燃比（Air-fuel ratio，AFR）準確地控制在14.7±1%的范圍內，不僅能使TWC工作在最佳效率點，從而在最大程度上降低尾氣污染物的排放，而且還使得發動機燃油效率以及整體性能得到極大提高［1－4］。

目前，發動機AFR控制廣泛采用的是查表加PI反饋補償的方法［5－6］。這種方法雖然簡單可靠，但由于發動機具有很強的非線性，其控制效果并不理想［1－2，7］。Choi和Hendrick提出了一種基于狀態觀測器的AFR滑模控制方法［7］。該方法使得系統輸出響應速度大幅度提升，同時也降低了系統輸出的穩態誤差。但當發動機性能或燃料特性改變時，控制效果急劇下降。針對此問題，Yoon和Sunwoo提出了一種自適應動態滑模控制的AFR控制方法，有效地解決了由于發動機性能或燃料特性改變時模型發生改變的問題［8］。近些年，隨著非線性理論的飛速發展，非線性模型預測控制的理論與研究越來越受到學者們的關注。Manzie等人利用RBF神經網絡對發動機進氣量實現了多步預測，并取得了很準確的預測效果［1］。基于這個成果，Wang等［9］提出了基于RBF神經網絡的發動機AFR非線性模型預測控制方法。該方法利用一種簡化Hessian矩陣的SQP方法得到基于RBF神經網絡的最優噴油量序列，實現了對AFR的非線性模型預測控制。在隨后的一篇文章中，Wang等［10］又提出了一種基于MLP神經網絡的發動機AFR控制方法，并取得了很好的控制效果。然而，由于神經網絡是一個凹函數，使得該方法常常陷入局部最小值的困擾［11－12］。并且，神經網絡由于其本身的非參數化結構特點使得模型信息很難得以利用，這給后續最優控制算法的研究帶來了很大困難。

為了解決這一問題，本文采用參數化的多輸入多輸出的Voletrra模型來描述SI發動機非線性模型。Volterra模型是Taylor模型的一個擴展，是非線性系統的一個通用數學表達形式，具有良好的收斂性。大量實踐證明，僅需要較低的階次（一般為二階或三階）就可以很好地逼近一大類非線性系統［13－15］。特別是它將系統的線性部分和非線性部分分開的表達方式使它既具有鮮明的物理意義又具有良好的操作性，在非線性系統分析與辨識中得到廣泛的應用［13－15］。

SI發動機是一種多輸入多輸出系統，其發動機進氣閥角度與噴油量的質量流速的過渡過程時間存在極大差異。為此，本文提出了一種變采樣速率的修正Volterra級數的SI發動機辨識模型，該模型不僅降低了Volterra模型的截斷階次，而且還有效地提高了模型辨識精度。在此基礎上，本文提出了一種基于Modified Volterra模型的SI發動機AFR模型預測的自適應滾動優化控制方法。該方法利用SI發動機的Modified Volterra模型對真實系統輸出AFR進行多步預測，在AFR控制誤差平方和最小的準則下，通過滾動優化的方法形成最優的控制序列。同時，利用Matlab對一種業內普遍認可的基準發動機模型，即平均值發動機模型［16］（Mean value engine model，MVEM）進行了仿真實驗，并且與當前汽車廣泛使用的PI控制器算法進行了對比。仿真實驗證明了本文方法的有效性。

1 SI發動機動態模型

如圖1所示，MVEM模型被分成三個子模型以描述發動機進氣管的壓力和溫度、轉速以及噴油量的動態過程。該模型的兩個系統輸入分別為進氣閥角度θ和噴油量質量流速，以及一個系統輸出AFR。

圖1 MVEM Simulink模型Fig.1 MVEM Simulink model

1.1 進氣管進氣動態過程

從空氣質量守恒的角度分析進氣管進氣的動態過程，可以得出關于進氣管壓力以及進氣管溫度的非線性微分方程［16］：

式中：Pi為進氣管壓力；κ為空氣的比熱容；R為氣體常數，本文取R＝287×10－5、Vi為進氣管體積；Ti為進氣管溫度；Ta為環境溫度；為排氣再循環（Exhaust gas recirculation，EGR）檢測的氣體質量流速；TEGR為EGR溫度；為通過進氣閥的空氣質量流速，且與進氣閥開度和進氣管壓力息息相關；為通過進氣口的空氣質量流速，它可表示為一個速度－密度公式［16］：

式中：

式中：mat0，mat1，v0，Pc是定值；ηi為容積率；ηi· pi為歸一化的壓縮氣體壓強，可通過式（8）求得［16］：

式中：si（n）和yi（n）為發動機轉速的函數，并且yi（n）?si（n）。

1.2 轉速動態過程

基于曲軸的能量傳動，轉速的微分方程表示為［16］

式中：摩擦功率Pf和抽運功率Pp與進氣管壓力Pi和轉速n密切相關；負載功率Pb是轉速n的函數；Δτd為噴油的延時時間；容積率ηi為進氣管壓力Pi、轉速n和空燃比AFR的函數，I為歸一化處理后的發動機轉動慣量；n為發動機轉速。

1.3 噴油的動態過程

噴油的動態過程可分為氣化燃料的動態過程和油膜流動動態過程。燃料質量流速和通過進氣閥約燃料質量流速之間的關系可按如下公式進行描述［16］：

1.4 空燃比測量

但是，從燃油噴射到燃油燃燒生成廢氣一般要經過發動機氣缸兩個沖程的時間。同時，廢氣到達EGO也需要一定的時間延遲。因此，在模型的最后有一個時間延遲環節，其延遲時間td為［16］

2 Volterra模型的改進與發動機系統辨識

2.1 傳統二階Volterra模型

Volterra模型作為Taylor模型的一種推廣模型一經提出即引起了學者們的廣泛關注。一般來講，二階Volterra模型即可很準確地描述一個非線性系統［13－15］。標準二階Volterra MIMO模型的表達形式為

式中：Nt為截斷階數；q為輸入變量個數；i為系統輸出個數；和分別為輸入變量ul的線性部分參數和非線性部分參數；hi0為第i個系統輸出的直流分量。

2.2 發動機輸入變量的不同響應速度

圖2 θ階躍變化時AFR響應曲線Fig.2 Response curve of AFR whenθstep change

圖3 階躍變化時AFR響應曲線Fig.3 Response curve of AFR when step change

2.3 Volterra模型的改進

如前文所述，由于發動機兩個輸入變量的系統過渡過程時間存在嚴重差異，導致標準二階Volterra模型無法準確地辨識發動機AFR系統。因而本文對標準Volterra模型進行改進，提出一種變采樣間隔的Volterra模型：

式中：tu為的系統過渡過程時間；tv為θ的系統過渡過程時間。

首先，選擇采樣周期Ts＝0.02 s，使得有足夠多的采樣樣本對系統進行細致描述。此外，為了避免Volterra模型陷入維數災難，對于較長過渡過程時間的，采用不同的采樣間隔，即每tu／tv個數據選擇一個數據對系統進行描述。

在式（18）中，tu／tv＝10，即當k＝1時，第1，11，21，…個數據被使用、當k＝2時，第2，12，22，…個數據被使用。由此可見，改進后的Volterra模型在保證了所有動態數據信息都被使用的情況下，大大縮短了模型截止階數，避免了維數災難帶來的困擾。

2.4 系統模型辨識

為了充分激勵發動機系統的全部非線性動態特性，本文采用具有白噪聲特性的隨機幅值序列（Random amplitude sequences，RAS）作為發動機的激勵信號。選取20 000個從20°到60°的RAS信號作為發動機輸入序列θ，同時選取20 000個從0.0005 kg／s到0.003 kg／s的RAS信號作為發動機輸入序列m·fi，將兩個序列以Ts＝0.02 s輸入給MEVM模型，得到系統輸出AFR序列。由輸入輸出序列組成對Modified Volterra模型的訓練樣本。

取Modified Volterra模型階次為二階，采用帶有遺忘因子的遞推最小二乘（Recursive least squares，RLS）對Modified Volterra模型參數h0，au，bu，av，bv進行訓練。RLS既可以保證模型參數的辨識精度，同時也使得模型可以在線辨識修正，實現模型的自適應性。其遞推表達式為［17］

2.5 仿真結果

利用上文所述方法，設P（0）＝108×In×n，（0）＝10－8×Un×1，λ＝0.999，其中I為單位矩陣，n＝＋3×Nt＋1，Nt＝40，U為一個隨機矩陣。選取15 000個試驗樣本作為訓練樣本，另取2000個試驗樣本作為測試樣本，分別對標準二階Volterra模型和Modified Volterra模型進行辨識和測試。其辨識實驗結果如圖4和圖5所示。作為對比，圖5所示為在相同實驗條件下，采用標準二階Volterra模型的辨識結果。

由圖4和圖5可以明顯看出，改進后的Volterra模型辨識效果明顯優越于標準二階Volterra模型。

圖4 Modified Volterra模型辨識結果Fig.4 Modeling result of Modified Volterra model

圖5 標準二階Volterra模型辨識結果Fig.5 Modeling result of traditional 2-order Volterra model

3 AFR非線性模型預測控制策略

3.1 系統結構

基于Modified Volterra模型SI發動機AFR非線性模型預測控制系統結構如圖6所示。本文所提SI發動機AFR非線性模型預測控制的基本思想是：首先利用前文所得到的SI發動機的Modified Volterra辨識模型對真實系統輸出進行Ny步預測，并將預測輸出序列（t＋1），…（t＋ Ny）反饋給控制器。控制器根據預測輸出序列以及優化約束條件，滾動優化出新的未來最優控制序列，然后將最優控制序列的第一個控制值發送給真實發動機。

依此類推進入下一個控制循環周期。同時，在每一個控制周期中，利用真實系統的實際輸入輸出數據對Modified Volterra模型進行在線自適應矯正，并將模型誤差反饋給設置點，實現自適應閉環反饋控制。

圖6 SI發動機AFR非線性模型預測控制系統結構圖Fig.6 SI engine AFR nonlinear model predictive control system structure

3.2 模型預測

模型預測是模型預測控制的基礎和前提。以上文所得到的SI發動機辨識模型為基礎，利用歷史輸入數據，將辨識模型中的線性部分和非線性部分分開，即可以很方便地構造SI發動機AFR預測模型。

將式（18）改寫成［18］：

u＝ ［u（k）u（k＋1）…u（k＋Nu－1）］T∈，為未來時刻系統控制序列，Nu為控制步數。Guu為與未來時刻序列相關的模型線性部分，為系數矩陣，可表示為

式中：au（i）為前文Modified Volterra辨識模型中的對應系數。

式（22）中，fu∈RNy為與未來時刻序列相關的模型非線性部分，可通過下式計算得到：

其中：Bu∈為系數矩陣，可表示為

式中：bu（i，j）為前文Modified Volterra辨識模型中的對應系數。

式（22）中，c∈RNy為與未來時刻序列不相關且可視為數值固定不變的部分，可表述為

式中：cu∈RNy為與過去時刻序列相關部分，可表示為

式中：Huup為與過去時刻序列相關的線性部分；up∈為過去時刻序列；Hu∈為系數矩陣，可表示如下：當Ny＝Nt時，

當Ny＜Nt時，

式（27）中，gu∈為與過去時刻序列相關的模型非線性部分，可通過下式計算得到：

式中：Bu∈為系數矩陣，已在前文定義。

式（26）中，cv∈為與θ序列相關部分，由于未來時刻θ的變化是未知的，因而對未來時刻θ的數值不妨由當前時刻數值代替，可表示為

其中Hvvp為與過去時刻θ序列相關的線性部分，vp∈為過去時刻θ序列，Hv∈為系數矩陣，可表示為

當Ny＝Nt時，

當Ny＜Nt時：

式（31）中，gv∈為與過去時刻θ序列相關的模型非線性部分，可通過下式計算得到：

式中：v（·）tv／tu表示向量中在該位置存在tv／tu個相同元素v（·）；Bv∈為系數矩陣，可表示為

式中：bv（i，j）為前文所述Modified Volterra模型的對應系數。

式（31）中，Gvv為與未來時刻θ序列相關的模型線性部分，Gv∈為系數矩陣，可表示為

式（31）中，fv∈為與未來時刻θ序列相關的模型非線性部分，可通過下式計算得到：

式（26）中h0∈RNy為Modified Volterra模型中的直流分量部分，d∈RNy為模型誤差補償項。

3.3 滾動優化控制算法

設u∈RNu為k時刻的最優控制序列

設s∈RNy為設定值，在最優控制序列u的作用下，發動機AFR模型預測輸出與期望值的偏差為

取最優控制準則為系統的輸出與期望值的偏差的平方和最小，即：

將式（22）與式（39）帶入式（40），可得

則式（41）的最小二乘解為：

式（42）中的最優控制序列u的求取，實際上是一個滾動優化過程：設當前時刻為k，首先將上一個控制周期求得的控制序列u（k－1），利用式（24）計算得到非線性項fu，然后由式（42）得到新的控制序列ui（k）。如果控制序列u滿足‖ui（k）－ui－1（k）‖≤δ，則跳出循環，i為第i次循環，δ為可自由設定的公差。如不滿足迭代終止條件，則利用本次循環計算得到的控制序列ui（k）重新計算非線性項fu，并利用式（42）計算控制序列。顯然這一步的控制序列比上一次循環計算得到的控制誤差更小，依次類推，反復迭代直到滿足迭代終止條件為止。

該算法的迭代步驟為：

第1步：設i＝1。

第2步：當i＝1，k＝1時，隨機選取控制序列u；當i＝1，k≠1時，取ui（k－1）為初始控制序列；當i≠1，k≠1時，取ui－1（k）為初始控制序列。并利用初始控制序列計算得到非線性項fu。

第3步：利用公式（42）計算控制序列u。

第4步：如果控制序列滿足跳出條件‖ui（k）－ui－1（k）‖≤δ，則跳出循環，并將最優控制序列的第一個控制值給真實發動機；如不滿足迭代終止條件，則設i＝i＋1，并返回第2步重新計算。

由于上述迭代過程實際上是一個最小二乘滾動優化過程，所以該迭代過程的收斂性自然得到保證［18］。

4 仿真實驗結果

為了驗證本文的可行性及有效性，MEVM模型為被控對象，利用Matlab進行在線仿真實驗。如圖7所示，將進氣閥開度θ設為30°，在t＝10 s處經過0.5 s變化至25°，并在t＝20 s處經過0.5 s變化至30°。為了模擬人體正常抖動，在原有信號基礎上疊加幅值為0.5°的隨機噪聲信號。

圖7 進氣閥開度Fig.7 Throttle angle

設采樣周期為0.02 s，預測步數Ny為40，控制步數Nu為30，利用本文方法對發動機AFR進行控制。同時，利用當前汽車發動機AFR控制廣泛應用的PI控制器對發動機模型進行控制，其控制器表達形式為［16］

由于當前廣泛采用的控制器為PI控制器，故此τD取為0。利用Ziegler-Nichols方法對PI控制器進行參數整定，得到Ks＝3.28×10－4，τI＝0.25 s。并將PI控制器與本文方法的控制效果進行對比，如圖8，圖9所示。

從實驗結果可以看出，本文控制方法的控制效果明顯優于傳統PI控制器。圖8、圖9可知，當工作點發生改變時，本文方法具有超調量小，控制過程時間短的特點，均優于目前廣泛應用于發動機AFR控制的PI控制器。

圖8 本文方法AFR輸出曲線Fig.8 AFR Output curve of the method in this paper

圖9 PI控制器AFR輸出曲線Fig.9 AFR output curve of the PI controller

5 結束語

針對SI發動機的非線性及對于噴油量的質量流速m·fi和進氣閥開度θ的過渡過程時間存在嚴重差異的問題，本文提出了一種多輸入多輸出的Modified Volterra模型。該模型的最大特點是僅使用較低截斷階次，就可以得到很高的辨識精度。特別是該辨識模型的線性和非線性部分的分開表達形式，使得該模型不僅具有鮮明的物理意義，而且具有良好的可操作性。文中應用該模型實現了SI發動機AFR的在線自適應系統辨識。在此基礎上，本文提出了一種基于Modified Volterra模型的SI發動機AFR非線性模型預測控制方法。仿真實驗與傳統的AFR PI調節器控制的對比試驗充分證明了本文方法對于SI發動機AFR控制的有效性。

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