化無限為有限，解決小學數學中的高等數學問題

在小學數學教學中，我們經常會遇到“無數”“無限”“無窮”等字眼。學生在作業或者考試的反饋中，學生們基本都能說出類似“一個數倍數的個數是無限的” “圓有無數條對稱軸”等等結論，似乎表現了掌握良好的狀況。但是從課堂教學的蛛絲馬跡中，我們不難發現：學生對于這些問題的理解往往只停留于表面，經不起推敲和追問。因此，我認為：對于這類“小學數學中的高等數學問題”，我們不應該一筆帶過，不是用高等數學的思想方法，而是來用小學生所能接受的方式，從小學生所熟悉的有限種情況，逐步引導學生走向“無限”，體會“無限”和“有限”的聯系和差別，從而培養學生歸納、類比、初步合情推理的能力。

一、“虛”與“實”——看似有形，實則無形

從哲學角度來說，事物的“虛”與“實”是事物發展的兩個方面，是矛盾的統一體。在小學數學教學中，我們也經常可以看到“虛”與“實”的問題。例如，在教授“圓的認識”一課中，有學生提出，他在畫半徑時把整個圓都畫滿了，因此，他認為：圓的半徑應該是有限條的。這里折射出來的問題是：線段的長度是“實”的，而線段的寬度我們從來沒有研究過，因為它本來就是“虛”的。“虛”和“實”存在在了同一種物體中，學生理解困難也是必然的。因此，如果有學生提出此類問題后，教師可讓他設想自己換一支筆，用一支較細的筆畫的線段，還是畫了剛才那么多條，問他畫滿了沒有，學生一定會說還能畫。然后教師再接著問：如果再換一支更細的筆呢，讓學生深切感受線段寬可以變粗，可以變細，是“不定”的，也就是“虛”的，所以半徑的條數可以無限的畫下去。在“無限”的領域內體會物體的“虛”與“實”，可以讓學生認識到數學中既有實實在在、可以觀察可以度量的“具象”，也存在只能看不見摸不著只能用符號等概括的“抽象”。這樣，學生抽象思維就初步建立起來了，對圖形的認識也不是僅僅停留在“畫畫”“數數”等操作層面，而是萌發了更深層次研究的愿望。

二、“曲”與“直”——化整為零，以曲代直

恩格斯說：“高等數學的主要基礎之一是這樣一個矛盾：在一定條件下直線和曲線應當是一回事。”這句話高度概括了微積分的基本思想。全部微積分學就是建立在解決“直”與“曲”的矛盾，實現這一矛盾相互轉化的基礎上。在小學數學學習中，我們也經常遇到“化曲為直”的問題，如在“圓的面積”一課中，推導圓面積公式，我們通常用的方法是：把圓延半徑平均分成若干份，然后拼成一個近似的長方形，根據已知的長方形公式推導出圓的面積公式。在教學中，我們要注意多分幾次，把圓平均分成16份，32份甚至更多。引導學生發現：分的份數越多，形狀越是接近真正的長方形，長方形的長越是接近直的線段。這個過程雖然看上去耗時費力，但是我覺得萬萬不可省略。正如上述恩格斯所言，“曲”和“直”要建立起“同一性”的概念，學生理解上還是相當困難的。只有我們在教學中讓“曲”一點一點向“直”靠攏，學生才能體會到兩者的互相轉化的可能性，感受數學的力量。

三、“無限接近”與“相等”——同根同源，相互轉化

“接近”與“相等”，我們都知道這是兩個不同的概念。但是一旦“無限接近”，就變成了“相等”，這是“極限”所體現的含義。哲學上稱極限為“度”：當客觀事物在極限（度）范圍內變化時，相對而言主要是量的變化，而無明顯質的變化。“極限”的出現是“微積分”形成的基礎，因此它對于小學生的難度可想而知。小時候一直困擾我的“0.999……=1”， 雖然我們可以通過很多方式來證明相等，但對于不習慣嚴格證明而是習慣于“自己理解”的小學生來說，這個結論始終難以接受。所以，我認為類似的題目不宜在小學階段討論，而是用另一種方式體現。例如蘇教國標本數學新教材中就回避了這個問題，而添加了另一些學生容易理解的極限問題。在六年級總復習中，有兩道習題：填空，說說這兩組數分別會越來越接近幾？（1）0.9、0.99、0.999、（ ）、（ ）……（2） 1/2、1/4、1/8、（ ）、（ ）……很顯然，這組題目用簡單方式的詮釋了“極限”個含義，讓學生既輕松又有效地體會到什么是“極限”，豐富了掌握知識的內涵，實現了從感性到理性的飛躍。

四、“有限空間”和“無限個體”——矛盾統一，相輔相成

所謂有限空間內的無限個個體，指的是在一段區間內有無數個符合要求的答案。相對于“無窮大”而言，“有限空間內的無限個體”讓學生更難理解，如在學生認識了小數后，經常會遇到類似“在0.3和0.4之間有幾個小數”這樣的問題。曾經，我用符合要求的數軸上的一段展示給學生，說明：這條線段上有無數個點，所以之間有無數個小數。但是，學生回應我的卻是一片迷惘的眼神。經過分析，我發現了證明“一段數軸上有無數個點”這個結論，可能比“兩個數之間有無數個數”更難讓學生理解，更不要說用它來證明后者了。其實，此類問題，中國的古人早已經有過研究：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。我們可以借用古人的方法，分層次舉例，實現從有限自然過渡到無限。仍用上題舉例，我們可以先讓學生找找0.3和0.4之間有沒有一位小數；再找找出0.3和0.4之間有沒有兩位小數，有幾個；再找出0.3和0.4之間有幾個三位小數……，讓學生感受能一直這樣不停的找下去，進而得出結論：在0.3和0.4之間有無數個小數，就是顯而易見的事了。在教學過程中，我們不吝惜讓學生充分探索的時間，是這部分教學的關鍵。只有通過學生反復列舉，才能真正讓他們體悟“無限”的含義。

美籍德國數學家魏爾曾經說過“數學是關于無限的科學”，可見“無限”這一部分內容在數學中的重要性和普遍性。在小學階段傳授“無限”的這部分內容，我們應該充分考慮小學生的認知發展水平，把“無限”變成“有限”，變成學生可以接受的方式，讓學生體會數學的奇妙，體驗數學的抽象性，激發他們進一步探索的興趣。