數形結合 變 “化” 有常

《數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識與技能是數學學習的基礎，而數學思想方法則是數學的靈魂和精髓。數學思想方法有很多，數形結合就是其中之一。“數”是抽象的，“形”是形象的，“數”與“形”的有機結合，可以使抽象思維與形象思維實現完美統一。可以說，數形結合作為一種重要的數學思想方法，對促進學生的數學學習具有很大的作用。筆者認為，可以從以下幾個方面來認識。

一、數形結合，化難為易

【案例1】 《小數的近似數》

出示：近似數1.50末尾的“0”能去掉嗎？為什么？

有的學生認為可以，因為1.50=1.5；有的學生認為不可以，因為計數單位不同。學生拿不定主意。

師：一個兩位小數，保留一位小數后是1.5，這個數最大可能是幾？最小可能是幾呢？

生：最大是1.54，最小是1.45。

師：一位三位小數，保留一位小數后是1.5，這個數最大可能是幾？最小呢？

生：最大是1.549，最小是1.450。

師（出示數軸）：你能在數軸上找出這兩個數嗎？

學生在數軸上找到點后，教師分別標上這兩個數。

師：現在你能找出這個三位小數的取值范圍嗎？

學生指出取值范圍后，教師用括線連起來。（如圖1）

圖1

師：還有一個三位小數，保留兩位小數后是1.50，這個三位小數最大可能是幾？最小是幾？

生：最大是1.504，最小是1.495。

師（出示第二條數軸）：你能在這條數軸上找出這兩個點嗎？

學生找出點，教師標上數據，然后讓學生指出取值范圍，教師用括線連起來。（如圖2）

圖2

師：比較這兩幅圖，你有什么發現？

生：雖然1.50與1.5的大小一樣，但保留時取值范圍不一樣，保留一位小數，這個數的取值范圍在1.549與1.450之間，保留兩位小數，這個數的取值范圍在1.504與1.495之間。

生：保留的位數越多，近似數越精確。

生：近似數1.50末尾的“0”不能去掉，因為取值范圍不同。

【反思】 數軸是一種最基本的數形結合載體。在這個案例中，讓學生理解“1.50比1.5更精確”是本節課的難點。為了幫助學生順利突破這一教學難點，教者分別將“三位小數保留一位小數”與“三位小數保留兩位小數”的最大值和最小值分別表示在數軸上，引導學生借助數軸所顯示的直觀意義，更加具體地理解這兩者取值范圍不同，進而啟發學生對“近似數末尾的0不能去掉”這一知識點有了準確而深刻的認識。

二、數形結合，化繁為簡

【案例2】 《解決問題的策略——轉化》

出示：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32

師：觀察這道算式中的數，有什么特點？

生：后一個數正好是前一個數的1/2。

師：你準備怎樣計算？

生：先通分，再計算。把這些分數都轉化為分母是32的分數，16/32+8/32+4/32

+2/32+1/32=31/32。

師：除了通分，還有沒有更簡單的方法呢？我們用正方形來代表1，（課件顯示正方形），你能在這個圖形中表示出這道算式的意思嗎？

學生獨立畫圖后，教師搜集并展示作品。（如圖3）

師：觀察這幅圖，你有什么發現？

生：這幾個數的和，正好比1少1/32。1-1/32=31/32。

師：是呀，像這樣一道算式，后一個數是前一個數的1/2，求這幾個數的和，可以用1減去最后一個數。

【反思】 以上案例中，計算“1/2+1/4+1/8+1/16+

1/32”，可以用通分法，也可以畫圖法，還可以有其他方法。但隨著算式中加數個數的增加，如果采用常規的計算方法，就有很大的局限性。如何將一道繁瑣的算式轉化簡單的計算過程呢？教者借助正方形將加法算式形象地表示出來，使加法算式形象化、規律化、可視化，讓學生在觀察、比較中，輕松探索出計算規律。

三、數形結合，化隱為顯

【案例3】 《長方形和正方形面積計算》

出示：在一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙片上，剪下邊長是2厘米的正方形，最多可以剪出多少個？

師：仔細讀題，你讀懂了什么？

生：從長方形紙片里剪小正方形，要求小正方形的個數。

師：你準備怎么解答？

生：先求長方形的面積，再求小正方形的面積，最后用除法列式。

學生在黑板上板演：5×4=20（平方厘米）2×2=4（平方厘米）20÷4=5（個）。

師：有不同的想法嗎？（眾生搖頭）你們都是這樣想的嗎？（沒有學生提出不同想法）這個結果對不對呢？你能把這道題目剪的過程畫出來嗎？

學生畫圖，教師搜集學生作品，然后展示。學生的作品主要集中于下圖4。

師：通過畫圖，你有什么發現？

生：最多可以剪4個小正方形。

師：剛才計算的結果是5個小正方形，而實際畫圖的結果是4個小正方形，這是怎么回事呢？

你能結合圖來說說原因嗎？

生：畫圖時，長邊上最多有2個2厘米，還剩下1厘米，寬邊上正好有2個2厘米，這樣最多可以剪2×2=4（個）小正方形，而剩下的部分，長是4厘米，寬是1厘米，在計算時，把這個面積4平方厘米的小長方形，錯誤地看成面積是4平方厘米的小正方形。所以，正確結果是4個。

師：畫圖的作用真大呀！借助畫圖，我們發現這個剩下的圖形面積是4平方厘米，但不是正方形。那么，這道題應該怎樣解答呢？

生：先求長邊上有幾個2厘米：5÷2=2（個）……1（厘米）；再求寬邊上有幾個2厘米：4÷2=2（個）；最后求小正方形的個數：2×2=4（個）。

【反思】 這個案例中，從學生的解題思路和解答過程來看，似乎沒有什么問題。這時，教師巧妙地讓學生通過畫圖來表現解題過程，從而將隱藏的關系顯性化。通過畫圖，學生發現了計算結果與畫圖結果不一致，進而引發深層次思考，分析錯誤的原因，找到正確的解題方法。

“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”（華羅庚語）在小學數學教學中，教師要善于挖掘、巧妙滲透、靈活運用教材中蘊藏的數形結合思想，從而讓數學學習的過程變得更直觀、更形象、更方便、更高效。