Unscented卡爾曼濾波對目標位置預測

摘 要： 采用一種針對目標位置預測只能測量角度信息的卡爾曼濾波算法，實現對目標的位置、速度和加速度的估計。由于是純方位目標運動分析，所以一般的線性濾波方法不能使用，主要使用UKF濾波算法，并給出了具體步驟。通過仿真運算與以前的方法進行比較，發現該算法實現方便，并在濾波精度、穩定性和收斂時間等方面有了很大提高。

關鍵詞： 純方位目標運動； 非線性濾波； UKF； EKF

中圖分類號： TN953?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0034?04

0 引 言

在現實的目標運動分析中，目標運動方程的建立一般都不是線性的，特別是針對紅外尋的制導導彈，導引頭僅能夠測量角度或角速度信息，無法測量出彈目相對距離、相對速度和目標加速度等先進制導律所需要的制導參數問題。盡管有些可以近似看成線性系統，但是大多數的系統不僅不能用線性微分方程描述，而且其非線性因素還不能忽略。此外有時為了更加精確地得到濾波結果，也必須應用反映實際系統的非線性模型，因此對于非線性系統的濾波是一個必須要解決的問題。

由于一般的非線性系統在理論上難以找到嚴格的遞推濾波公式，因此目前只能采用近似方法研究，而線性化是用近似方法來研究非線性濾波問題的重要途徑之一，這就是擴展卡爾曼濾波算法（EKF）。但是EKF線性化過程中忽略了二階以上的分量，因此在濾波精度上存在著較大誤差。為了彌補EKF方法的不足，人們希望通過對非線性函數的概率密度分布近似，來代替對非線性函數的近似，這樣就可以利用采樣逼近的方法來解決非線性問題。1997年，Juliear S.J.和Uhlman J.K.提出了一種新的非線性濾波方法——Unscented卡爾曼濾波（UKF）。UKF不需要對非線性系統的狀態方程和觀測方程進行線性化，而是利用Unscented變換（UT）方法來近似非線性函數的概率密度分布，因此UKF方法在計算精度上要高于EKF方法，并且不需要計算狀態轉移矩陣的雅可比矩陣，這使得其應用范圍更加廣泛。

1 UT

UT是UKF的基礎，UT的思想是用固定數量的參數去近似一個高斯分布，這比近似任意的非線性函數或變換更容易。

UT的具體公式如下：

[χ0=x] （1）

[χi=x+（n+λ）Pxi， i=1，2，…，n] （2）

[χi=x-（n+λ）Pxi， i=n+1，…，2n] （3）

式中：[λ=α2（n+k）-n]是一個比例因子。[α]決定[x]周圍[χ]點的分布狀態，調節[α]以使高階項的影響達到最小，通常選擇[0≤α≤1。]對高斯分布的情況，當狀態變量為單變量時，選擇[k=2；]當狀態變量為多變量時，選擇[k=3-n。][（n+λ）Pxi]是矩陣[（n+λ）Px]的第[i]列（當[P=]ATA時，取[（P）i]的第[i]行；當[P=AAT]時，取[（P）i]的第[i]列）。[χ]點的選取就是選取盡可能代表[X]分布的點，而這些點的分布程度取決于[n+λ]的大小。

[y]的均值和方差可以通過下述公式獲得：

[yi=f（xi）， i=1，2，…，2n] （4）

[y=i=02nWmiyi] （5）

[Py=i=02nWpi（yi-y）（yi-y）T] （6）

[Wm0=λ/（n+λ）] （7）

[Wp0=λ（n+λ）+1-α2+β] （8）

[Wmi=Wpi=12（n+λ）， i=1，2，…，2n] （9）

其中[Wmi]和[Wpi]分別對應著計算[y]的均值和方差的加權系數，要求[i=02nWmi]=[i=02nWpi]=1。

2 UKF濾波算法

設非線性系統的狀態方程和觀測方程為：

[x（k+1）=φ[x（k），w（k），k]] （10）

[z（k+1）=h[x（k+1），v（k+1），k+1]] （11）

式中：[x（k）]為[n]維狀態向量；[z（k）]為[m]維的觀測向量；[w（k）]為系統噪聲，[v（k）]為觀測噪聲，假設它們是均值為零的高斯白噪聲，且互不相關；[φ（?）]為[n]維向量方程，是[x（k）、][w（k）]和[k]的非線性函數；[h（?）]為[m]維向量方程，是[x（k+1）、v（k+1）]和[k+1]的非線性函數。具體算法如下：

（1）設置初值

[x（0）=E[x（0）]]

[P（0）=E{[x（0）-x（0）][x（0）-x（0）]T}]

（2）當[k>1，]計算[2n+1]個[χ]點：

[χ（k-1）=x（k-1），x（k-1）+（n+λ）P（k-1）i， x（k-1）-（n+λ）P（k-1）i， i=1，2，…，n]

（3）時間更新

[χk（k-1）=φ[χ（k-1）]]

[x（k）=i=02nWmiχ（k（k-1））]

[P（k）=i=02nWpi[χ（k（k-1）-x（k）][χi（k（k-1））-x（k）]T+Qk]

[z（k（k-1））=H[χ（k（k-1）]]

[z（k）=i=02nWmizi（k（k-1））]

（4）測量更新

[Pz（k）z（k）=i=02nWpi[zi（k（k-1））-z（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T+Rk]

[Px（k）z（k）=i=02nWpi[χi（k（k-1））-x（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T]

[K（k）=Px（k）z（k）P-1z（k）z（k）]

[x（k）=x（k）+K（k）[z（k）-z（k）]]

[P（k）=P（k）-K（k）Pz（k）z（k）KT（k）]

擴展卡爾曼濾波是通過對非線性方程進行線性化變化得到線性部分，經過泰勒展開式可以得出這種方法的精度為一階水平，而UKF算法則可以使均值精確到非線性部分泰勒展開式的三階水平，方差精確到二階水平。

3 UKF對目標位置預測的應用

3.1 模型

對目標飛機的運動進行建模時，可以將目標飛機看成一個質點，由于假設目標作直線運動的論文比較多，在此本文主要做目標機動的建模仿真。飛機最常見的機動動作是盤旋，而飛機勻速圓周運動的定常盤旋最具有代表性，故以此來建模仿真。其速度與過載的關系如下：

[XT=VTx=VTcosθcosψYT=VTy=VTsinθZT=VTz=-VTcosθsinψ] （12）

式中：[VT]表示目標飛機速度；[θ]表示傾角；[ψ]表示偏角；[XT，YT，ZT]為目標飛機在地面坐標系中的位置。

飛機在遭遇導彈攻擊以后，一般會進行機動飛行來逃避導彈攻擊，下面建立飛機等過載機動模型：

[ny=Constantnz=Constantnx=sinθ] （13）

式中：[nx]表示飛機切向過載；[ny，nz]表示法向過載在[y]軸和[z]軸上的分量。

3.2 仿真及結果分析

3.2.1 不同過載下目標機動

設目標飛機以0.6 Ma≈200 m/s的速度做[nf=2]到[nf=9]的盤旋機動，跟據公式（12）計算出勻速狀態下飛機各個過載的盤旋半徑和周期，觀測噪聲的方差矩陣[R=][0.01]，濾波誤差的協方差初始矩陣為[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，離散時間[T=0.1]s，分別進行仿真，仿真結果如圖1～圖7所示。在UKF中[α=0.5，][β=2。]

從圖1，圖2中可以看到使用EKF和UKF都能對目標的位置進行預測，但是當誤差穩定時，UKF的誤差要小于EKF的誤差，同時從圖2中還能看到UKF的收斂速度要高于EKF。

圖1 [nf]=2時彈目[x]軸距離

圖3～圖6分別是飛機在過載為4和過載為7的盤旋條件下進行的彈目仿真。從圖上可以看到隨著飛機的過載加大，飛機的機動性增強，機動半徑減小，機動時間縮短，跟蹤算法由于目標的機動性增大而相應誤差增大，跟蹤時間變長，但是UKF算法在飛機做大機動的前提下仍優于EKF算法。飛機在不同過載下分別被跟蹤的數據見表1。

圖2 [nf]=2時兩種算法誤差

圖3 [nf]=4時彈目[x]軸距離

圖4 [nf]=4時兩種算法誤差

從表1中可以看到，隨著過載的增大，EKF和UKF的跟蹤效果都在降低，主要原因在于目標機動的過載變大，時間變短，機動的半徑變得較小，跟蹤誤差增大。但是兩種算法相比較，UKF仍優于EKF算法。

3.2.2 測量干擾較大的目標機動

從上述的實驗仿真確定了在相同的條件下UKF算法的精度和收斂速度要高于EKF算法。但是在現實中，導彈的探測信息中存在多種噪聲，如視線角速度的量測誤差，導引頭量測誤差，失調角零位的測量誤差等等，這些因素都會引起信號量測值的波動。因此算法的抗干擾能力對于導彈的跟蹤效果顯得尤為重要。假設目標以0.6 Ma的速度勻速盤旋，觀測噪聲方差陣[R=][0.01]，陀螺回轉中心與位標器質心不重合引起的漂移服從[0.01*N（0，1），]濾波誤差的協方差初始矩陣[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，離散時間[T=]0.1 s，仿真如圖7所示。

圖5 [nf]=7時彈目[x]軸距離

圖6 [nf]=7時兩種算法誤差

圖7 EKF和UKF誤差對比

從圖7中可以看到UKF算法的抗干擾能力更強，更適合在干擾較強的環境中運用。

4 結 語

本文介紹了UT和UKF的概念，并將其應用到飛行目標的跟蹤，在觀測值為角度的情況下，對目標的狀態進行了較好的估計，同時在比較UKF和EKF算法中，反映出UKF能對所有高斯輸入向量的非線性函數進行近似，均值精確到三階，方差精確到二階，并且不需要計算雅可比矩陣來對非線性函數作近似變換，能處理非可導的非線性函數，計算量與EKF相當。理論分析和仿真結果均表明，UKF算法對于目標方位跟蹤領域較其他以往的濾波算法更加穩定，精度更高。

參考文獻

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