基于疊加修正法的承彎組合結構臨界預緊力研究

董曉傳，金淼，張杰，姚陽

(燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，河北 秦皇島，066004)

承彎組合結構作為預緊組合結構的一種，是指預緊力作用在縱向方向，并且承受橫向載荷的組合結構，通常作為主要的承力部件廣泛應用于鍛壓成形設備、加工機床及模具等方面[1-3]。整體性是承彎組合結構的一個關鍵問題[4]。所謂整體性，是指通過預緊連接在一起的各部分結構，始終能夠保持一個整體，不出現開縫現象[5-6]。因為一旦出現開縫，在反復的加載與卸載過程中，頻繁的撞擊極易引起開縫處發生局部塑形變形或破壞，進而導致整個結構失效。預緊力是保證整體性的關鍵因素，然而，如何確定合理的承彎組合結構預緊力始終是設計過程中的難題。吳生富等[7]提出用神經網絡取代有限元對承彎組合結構進行整體性分析，提高了計算效率及計算精度，但其并未涉及組合結構預緊力的計算方法。文獻[8]通過力矩平衡，提出了中心載荷工況下液壓機下橫梁拉桿預緊力的求解方法。文獻[9]在其基礎上研究了擴孔工況下組合下橫梁拉桿的受力及尺寸。然而這些計算方法均基于材料力學中的彎曲變形原理，未考慮組合結構的剪切變形。承彎組合結構限于結構剛度、載荷工況等因素的制約，其跨高比通常不大于3，屬于深梁結構[10]。有別于歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁，深梁結構場量計算中不能忽略剪切變形的影響[11-12]。目前，在承彎組合結構預緊力的計算中考慮剪切變形的研究尚無報道。本文作者以矩形截面承彎組合結構為研究對象，為兼顧剪切變形，基于疊加修正法改進Airy 應力函數的求解結果，進一步提高組合結構x 方向應力場的計算精度，進而求解合理的承彎組合結構的臨界預緊力。

1 承彎組合結構臨界預緊力理論計算模型

承彎組合結構的二維結構簡圖如圖1 所示。當承受中心載荷時，由于底部支座的支撐，組合結構承彎并產生一定的彎曲變形，導致子結構結合面出現分離趨勢，而兩端面處拉桿的預緊力可降低開縫趨勢，從而保證組合結構的整體性。

圖1 承彎組合結構簡圖Fig.1 Sketch of pre-stressed composite beam

為簡化承彎組合結構預緊力的計算，此處提出3條假設：

1) 開縫前，按照整體結構計算組合結構的各種場量關系；

2) 承彎組合結構變形前后拉桿受力不變；

3) 所有作用力均為均布載荷。

提出假設1)的原因是：組合結構各子結構間若要緊密貼合，則其接觸面處的x 方向應力必然為非正值，即壓應力。因此，在開縫前，組合結構接觸面處的應力場與相同尺寸及邊界條件的整體結構應力場分布基本一致。提出假設2)的原因是：由于矩形截面組合結構剛度遠大于拉桿剛度，且承載后拉桿變形量微小。

根據上述假設，建立承彎組合結構預緊力的平面應變理論計算模型，如圖2 所示。圖中，q 為外加載荷的集度，q0為預緊力的集度，a 為外加載荷在單個子結構的作用區間，b 為支撐載荷在單個子結構的作用區間，c 為組合結構高度的1/2，c1為組合結構x 軸距上拉桿中心線的距離，c2為組合結構x 軸距下拉桿中心線的距離，d 為預緊力的作用區間，l 為支撐載荷作用中心距的1/2，l0為單個子結構的長度。

圖2 組合結構預緊力計算模型Fig.2 Theoretical model of composite structure

由圖2 可知：加載后，模型必然產生一定的彎曲變形，根據彎曲特點，模型中截面下部的壓應力逐漸減小，且最小值點位于接觸面最下端M 點處。當該點壓應力恰好為零時，該模型即成為組合結構臨界預緊力計算模型，此時模型的狀態稱為臨界開縫狀態。因此承彎組合結構臨界開縫判據可表示為

而其加載前的預緊力稱為該載荷下承彎組合結構的臨界預緊力。

圖2 中的所有參數僅拉桿預緊力q0未知，因此，只需求出組合結構中截面處x 方向應力σx的表達式，再結合臨界開縫判據式(1)，即可進行求解。

2 x 方向應力場的疊加修正解及臨界預緊力計算

根據疊加原理可知，圖2 中的理論計算模型可視為承受橫向載荷的彎曲模型與承受縱向載荷的壓縮模型2 部分的疊加。考慮到剪切變形，采用彈性力學中的Airy 應力函數求解該模型。

2.1 承彎組合結構x 方向應力場

圖3 所示為理論模型的分解。圖3(a)中彎曲模型僅在上、下表面受到非連續均布載荷的作用，且關于y 軸對稱，將其按照周期為2l0的傅里葉三角級數形式展開，并進一步分解為一系列余弦函數模型與1 個均布載荷模型的疊加，分解模型的載荷在上、下表面的表達式如下。

余弦函數模型中，在y = ±c處，上、下表面的應力邊界條件分別為

從而，可設如下形式Airy 應力函數：

其中：f(y)為坐標y 的函數。將式(3)代入雙調和方程，得到關于f(y)的常系數線性微分方程，求其通解可得f(y)的表達式，且含有4 個待定系數。再結合該部分上下表面的4 個應力邊界條件，易于求得f(y)，再將其代入式(3)，從而可得余弦函數模型x 方向應力為

圖3 理論模型的分解Fig.3 Decomposition of theoretical model

式中：

均布載荷模型中，結構在上、下表面受大小相等方向相反的均布載荷作用，易于求得其x 方向應力為零，因此，彎曲模型的x 方向應力只與式(4)有關。

同理，圖3(b)中的壓縮模型載荷可按照周期為2c的傅里葉三角級數形式展開，并進一步分解為一系列正弦函數模型、一系列余弦函數模型與一個均布載荷模型的疊加(坐標軸順時針旋轉90°)，其在兩端面的表達式如下。

均布載荷模型：

正弦函數模型：

余弦函數模型：

與彎曲模型計算方法相似，同理可求得其x 方向應力為

式中：

從而可知，式(4)與式(5)相加即為承彎組合結構x方向總的應力場：

2.2 疊加修正法

觀察式(6)可知：由于在計算式(4)與式(5)時，未能考慮理論模型四邊所有的邊界條件，因此該結果不是模型的精確解。

通過上述分析可知，式(6)的誤差主要源于式(4)，此處采用疊加修正法對式(4)進行適當修正，以提高承彎組合結構x 方向應力的計算精度。

所謂的疊加修正法是指將模型端部誤差反向疊加至原理論解，使其滿足該端部的邊界條件。由于本文僅需精確求解x 方向應力，因此，該修正方法對y 方向應力的影響忽略不計。

由式(4)可知：當x=±l0時，彎曲模型x 方向應力為

此亦為彎曲模型端部誤差，將該誤差的相反數疊加至式(4)并取x=0，則修正后的彎曲模型中截面x方向應力為

此處以跨高比為1，支撐長度和施力長度分別為300 mm 和500 mm 的整體結構為例，在承受20 MN的載荷工況下，其中截面x 方向應力的疊加修正解與有限元模擬解的對比如圖4 所示。

由圖4 可知：按照疊加修正法計算的彎曲模型理論解與相應的有限元計算結果重合度較高，相對誤差較小。

圖4 中截面x 方向應力的修正理論解與有限元解的對比Fig.4 Comparison of refined theoretical results and FEM results of stress along x direction in middle section

2.3 臨界預緊力的計算

將式(8)與式(5)相加(取x=0)，從而得到整個承彎組合結構中截面x 方向應力的表達式為

再根據臨界開縫判據式(1)，帶入M 點的坐標值，表達式中僅含有未知數q0，從而可解得承彎組合結構的臨界預緊力集度為

式中：下標M 表示帶入點M 坐標值后的相應表達式。

3 實驗驗證

按照承彎組合結構臨界預緊力的理論計算模型，設計并制造了矩形截面組合結構的實驗裝置。該裝置支座可拆卸，變換位置后，可構成跨高比分別為1.0，1.5，2.0 和2.5 的組合框架。

實驗中的外載荷、拉桿拉力及組合結構的接觸狀態均通過電測法測試，并通過德國IMC 數據采集系統實時采集記錄各項數據。監測組合結構開縫狀態的應變片位于子結構下表面靠近接觸面一側的中間位置(最易開縫處)。液壓加載裝置所加載荷則通過力傳感器控制。

實驗開始后，設置組合結構跨高比，然后施加一定的預緊力將兩部分子結構預緊為一體，再啟動液壓加載裝置，施加20 kN 載荷，觀察組合結構接觸面監測位置的應變數值。若應變值為零或接近為零，則此時的預緊力就是相應載荷下的臨界預緊力，反之，則需根據應變數值適當調整拉桿的預緊力，直至滿足臨界開縫判據。之后分別施加載荷至30，40，50 和60 kN，測試不同載荷情況下所對應的臨界預緊力數值。再調整支座位置，依次更換其余三組跨高比，重復上述實驗過程，測試不同跨高比下，相應載荷對應的臨界預緊力。實驗所測結果與理論公式計算結果的對比，如圖5 所示。

圖5 不同跨高比下臨界預緊力實驗值與理論值對比Fig.5 Comparison of theoretical and experimental results under different span-depth ratios

由圖5 可知：在同一跨高比下，當載荷變化時，隨著載荷的增大，臨界預緊力的數值均隨之增大，且載荷與臨界預緊力大致呈線性關系；當載荷不變，跨高比變化時，隨著跨高比的增大，臨界預緊力數值也有所增大。當跨高比由1.0 增加到2.5 時，臨界預緊力理論值增大了約1 倍(不同載荷增大倍數相差不大)。

在相同跨高比和載荷條件下，組合結構臨界預緊力的理論值均較實驗值大。究其原因，誤差主要源于本文的3 條假設。一方面，在理論計算中，將組合結構作為整體結構進行計算，勢必導致接觸面處較實際更難于出現開縫；另一方面，結構承載后發生彎曲變形，上、下拉桿受力必然發生變化，上拉桿拉力變小，下拉桿拉力增大，且下拉桿拉力增大幅度大于上拉桿拉力減小幅度(因組合結構彎曲中性層靠近模型底端)，而理論解相當于變形后上、下拉桿拉力的平均值。后者也是導致隨著載荷的增大，實驗值與理論值的誤差有所增大的原因。在4 個不同跨高比下，實驗值與理論值的最小誤差為4.0%，最大誤差為9.8%。

綜上所述，疊加修正法得到的承彎組合結構臨界預緊力計算公式理論值與實驗值的相對誤差均在10%以內，能夠保證承彎組合結構的整體性。

4 結論

1) 建立了矩形截面承彎組合結構臨界預緊力的理論計算模型，針對Airy 應力函數計算產生的誤差，提出采用疊加修正法計算組合結構x 方向應力場。

2) 結合開縫判據公式，得到了承彎組合結構臨界預緊力的理論計算公式。實驗結果表明，基于疊加修正法得到的臨界預緊力理論值與相應的實驗值吻合較好，能夠滿足承彎組合結構的整體性要求。

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