八足仿蟹機器人行走穩定性分析

王立權，王海龍，陳曦，許俊偉，任夢軒

(1. 哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001；2. 哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱，150001)

足式機器人相對于輪式或履帶式機器人的主要優勢就是在崎嶇不平的路面上實現穩定行走[1-3]。足式機器人運動過程中要滿足行走穩定性要求，即不能發生傾翻。在運動過程中，若發生傾翻，則可能導致機器人結構件損壞、系統失控、作業失敗乃至整個系統報廢等一系列問題[4]，因此，傾翻穩定性研究對于足式機器人而言是至關重要的?，F有的文獻中，提出了幾種關于多足機器人穩定性的判定方法。其中McGhee 和Frank 在20 世紀60 年代提出的重心投影法(CG projection method)是最早的靜態穩定性判別方法，其定義為機器人質心在落地足支撐面的垂直投影點到支撐多邊形的最短距離。該方法的不足之處是只能處理平坦地面的穩定性，而無法處理非平坦路面[5]。為了更好地描述穩定性，Messuri 于1985 年提出了能量穩定裕度(energy stability margin, ESM)的方法，即將機器人當前勢能與傾倒過程中最大的勢能差作為穩定裕量衡量準則，該方法無論對于平坦路面還是非平坦的路面都是最適合的[6]。按照ESM 的理論，機器人的穩定性與其質量成正比，但事實并非如此，隨著機器人質量的增加，外界的干擾因素也隨之增大，機器人的穩定性并不會成比例增長。鑒于此，Messuri和Klein 對能量穩定裕量進行改進，考慮到質量對穩定性的影響，提出規范化能量穩定裕度[1](normalized energy stability margin,NESM)。2005 年Garcia 等[7]對規范化能量穩定裕量進行了修改，將慣性力影響考慮到推導過程中，提出了規范化動態能量穩定裕度(normalized dynamic energy stability margin,NDESM)，使其可以作為動態穩定性判定準則。但是，該方法沒有考慮外界的干擾力矩項。王鵬飛等[8]提出了采用支撐面壓力中心至各落足點所形成的支撐凸多邊形各邊的最短距離來評定機器人行走穩定性。李斌等[4]提出了穩定錐(stability pyramid technique,SPT)方法，用傾翻穩定性指數對可重構機器人的穩定性進行綜合判定。田海波等[9]針對輪腿式變形機器人，采用傾翻穩定性指數和能量穩定錐方法對機器人的運動穩定性進行綜合評價，提出了動態能量穩定錐的方法(dynamic energy stability pyramid method,DESPM)，但沒有對感知系統設置、運算速度等進行考慮，因此，還不能用于解決實際問題?？傮w說來，現有的幾種穩定性評價方法并不完善，仍有待進一步研究。為準確評價具有圓弧形指節結構八足機器人的運動穩定性，本文將上述穩定性判定方法的不足之處進行全面考慮，對NESM 進行改進，并將其應用于八足機器人運動穩定性研究中。

1 八足機器人

八足仿蟹機器人的三維模型如圖1 所示。機器人總體結構包括了步行足和軀干2 部分。矩形的軀干底板是機器人各系統的載體，底板與步行足之間通過彈性梁連接。仿蟹機器人以橫向行走為主要的行走方式，為簡化結構提高效率，八條步行足在機體上平行對稱布置。每條步行足由基節、股節、脛節和指節4 部分組成，各關節采用串聯開式鏈方式連接，脛節和指節之間無相對運動，除指節外其余三關節的設計采用模塊化設計思想，新型的模塊化驅動關節由微型直流伺服電機通過蝸輪蝸桿減速器輸出扭矩，蝸輪蝸桿減速器的自鎖特性使機器人即使在掉電的情況下依然能夠保持掉電前的姿態，該模塊化關節具有傳動間隙小、輸出扭矩大、互換性好、容易維修等優點[10-12]。圓弧形指節結構使機器人在運動過程能夠產生類滾動的運動效果，使運動更加的平穩。新型仿蟹機器人的技術參數如表1 所示。機器人的足端配備了力傳感器用于檢測步行足與地面的接觸力，在機器人的機體上方安放了電子羅盤、GPS 和陀螺儀等傳感器用于機器人的導航定位和內部工作狀態的檢測。

圖1 八足仿蟹機器人3 維模型Fig.1 3D model of a octopod crab-like robot

表1 八足仿蟹機器人技術參數Table 1 Technical parameter of a octopod crab-like robot

2 數學模型

多足機器人機體質心距站立面的高度和質心與落足點的相對位置關系對機器人行走穩定性有著至關重要的影響，首先對八足仿蟹機器人結構方案進行抽象和簡化，然后對簡化后的機器人機構進行運動學分析，獲得質心高度、跨距與機器人各關節角度之間的關系，以便對機器人八足行走穩定性進行研究。

當八足仿蟹機器人處于行走或者站立狀態下，機器人軀體、步行足和支撐地面構成一個具有不同支鏈數并聯機構[13]。由于八足機器人布局采用平行對稱的方式，機器人橫行時可將其空間并聯機構簡化為平面5 連桿機構，簡化后機器人機構簡圖如圖2 所示。其中θ1和θ3為單步行足股節與機體軸線之間的夾角，θ2和θ4為脛節與相鄰股節的夾角，機器人股節、脛節和軀體的長度分別用L1，L2和L3表示。為了使電子羅盤能夠采集正確的地磁偏角，保障機器人定位導航系統的正常工作，八足機器人在實際行走過程中其機體應始終處于水平狀態。機器人特殊的圓弧形指節結構，假設在行走過程中沒有滑動只有純滾動運動，機器人機體高度h 和前后落足點之間的跨距s 應始終保持不變。

圖2 八足仿蟹機器人行走機構簡圖Fig.2 Walking mechanism diagram of a octopod crab-like robot

對簡化后的機器人機構應用閉環矢量法[14]得：

式中：ri代表從坐標系原點指向i 點矢量；rij為從i 點指向j 點矢量；i 和j 分別指代圖中的A，B，C，D 和E 點。

將式(1)中各矢量向圖中坐標系的x 和y 軸上投影，可獲得機器人的質心距站立面的高度h 與各關節角度之間的關系：

同理，機器人的質心在站立面的投影點至下坡向落足點和上坡向落足點的距離sd和su可用式(3)求得：

通過對式(2)和式(3)分析可知：機器人在斜面上行走時，機體質心距斜面的高度h 和前后支撐落足點間的跨距s 由斜面的傾斜角度φ、機體與股節的夾角θ1和θ3共同決定。

3 穩定性分析

當八足仿蟹機器人處于行走狀態下，其運動速度較低，通常可以忽略軀體動能對穩定性的影響，在分析機器人行走穩定性時，可采用規范化的能量穩定裕度(NESM)來判定其穩定性。即用機器人繞給定轉軸旋轉到臨界穩定位置時質心點垂直方向上的高度變化量來表征機器人的穩定裕度，如圖3 所示。

圖3 八足仿蟹機器人靜態穩定裕度計算簡圖Fig.3 Calculation diagrams of static stability margin for a octopod crab-like robot

為了使表達更加明確，首先給出一些本文用到的一些專有名詞的定義[15]：

支撐面PS為假想的機器人站立平面；旋轉軸線i為由任意2 個落足點連線形成的機器人可繞其翻滾的支撐邊；重心平面PG為由機器人重心與支撐邊線所形成的平面；臨界平面PC為當穩定裕量為0 時機器人重心與旋轉軸邊線所形成的平面；斜面傾角φ 為水平面與機器人的支撐平面之間夾角；質心高度h 為機器人質心到支撐面的最短距離；旋轉軸邊水平傾角εi為旋轉軸線在機器人支撐面內的投影與支撐面內水平線之間的夾角；旋轉軸邊垂直傾角εr為水平面與旋轉軸線之間的夾角；支撐跨度sDi為重心在支撐面內的投影點到支撐邊線的最短距離；穩定裕度SNESMij為表征機器人抵抗繞由i 和j 落足點形成的支撐邊線翻滾的能力；穩定裕度SNESMi為表征機器人抵抗繞支撐多邊形第i個支撐邊翻滾的能力。

多足機器人處于行走狀態其空間姿態如圖3 所示，其中x0，y0和z0為建立在大地上的全局坐標系；xG，yG和zG為支撐面坐標系。機器人重心在支撐面內的垂直投影點 GO作為該坐標系的原點， xG軸與軀體縱軸方向相同，yG沿機體的前進方向。當機器人多于3 足處于支撐狀態時，若運動路面不規則，則支撐足可能不處于同一平面，此時機器人的支撐面選擇是使質心高度h 保持最大。由圖4 中的幾何關系可以求得機器人相對于任意支撐邊i 的SNESMi為：

式中：i 表示某條支撐邊，hi為重心繞支撐邊i 轉動到臨界穩定位置時重心垂直高度的變化。

多足機器人在運動過程中步態穩定裕度可通過下式計算：

其中：n 為機器人落地足所形成的支撐凸多邊形的邊數。

3.1 八足機器人行走穩定性分析

由前面的理論分析可知：只要保持機器人的穩定裕量大于0，機器人即處于穩定狀態。為了更好地對穩定性理論進行理解，給出一個具體的應用實例，本文以雙四足步態沿斜面坡度方向橫向行走為例分析八足機器人的行走穩定性(其他步態可以采用相同的研究方法)，將八足機器人的步行足從左前足開始按照逆時針的方向依次編號，采用雙四足步態運動時8 條步行足分為2 組，步行足1，4，6 和7 為一組，步行足2，3，6 和8 為另一組，2 組足交替抬起和落下，每一時刻都只有4 條步行足處于支撐狀態。運動中某一瞬時機器人重心和落足點投影圖如圖4 所示，圖中虛線為落地足所形成的支撐凸多邊形。

由第2 節運動學分析可知，當站立面傾角φ 已知，可求得機器人質心高度h 與跨距sd和su間的關系：

圖4 雙四足步態行走重心及落足點投影圖Fig.4 Projection figure of gravity center and touchdown points under walking of double tetrapod gait

對于由落足點1467 所形成的支撐凸多邊形如圖4虛線所示，根據三角函數關系可求得：

式中：sDij為質心投影點至由i，j 落足點構成的支撐邊的距離，i 和j 取值為1，4，6 和7；B 為機器人軀體的寬度。

當機器人在斜坡上沿坡度方向橫行時，支撐面傾角為φ，當以上下坡向支撐邊線67 或者14 作為傾翻旋轉邊時，此時旋轉邊的垂直和水平傾角分別是：εr=0°和εi=0°。聯立式(4)，(6)和(7)可得：

以側向支撐邊線17 或者64 作為傾翻軸邊時，旋轉軸垂直傾角εr的余弦值可通過式(9)求得：

將式(4)，(6)，(7)和(9)聯立可求得

由式(8)和(10)求得的最小值即為當前機器人的穩定裕量。從公式(8)和(10)可以看出：在機器人結構參數確定的情況下，穩定裕量與站立面的傾斜角度和機體質心的高度有關。

3.2 八足仿蟹機器人行走穩定性仿真與分析

隨著斜面傾角和機體質心的變化，由式(8)和(10)還不能直觀地獲得機器人行走穩定性的變化趨勢。為了定性得到八足機器人穩定裕度與斜面傾角和機體質心高度的關系，對其進行穩定性仿真。應用MATLAB軟件對站立面傾斜角度從0°變化到35°，質心高度從70 mm 變化到260 mm，機器人以雙四足步態方式行走時的靜態穩定裕度進行仿真得到如圖5 所示的曲線，其中圖5(a)所示為相對于下坡向旋轉軸14 的穩定裕度SNESM14和相對于上坡向旋轉軸67 的穩定裕度SNESM67對比曲線。由圖5 可知：隨著斜面坡度和質心高度的增加，機器人的穩定性降低，當機體高度小于某一值時(近似為157 mm)，相對于下坡向旋轉軸14的穩定裕度大于相對于上坡向旋轉軸67 的穩定裕度，但當機體高度大于該值時，相對于下坡向旋轉軸14的穩定裕量急劇下降，并小于相對于上坡向旋轉軸67的穩定裕量。相對于側向旋轉軸17 和64 的穩定裕度曲線如圖5(b)所示。綜合圖5(a)和5(b)分析可知：機器人的靜態穩定裕度隨著站立面傾角以及機體質心高度的增加而逐漸降低。

圖5 四支撐足行走狀態下穩定裕度曲線Fig.5 Curve of stability margin under four support legged walking

4 實驗研究

為驗證前面理論研究和仿真結果的正確性，應用八足機器人實物樣機搭建了一套機器人行走穩定性測試平臺。將八足機器人放在可傾覆的木板上，以模擬不同地面傾角，使用dSPACE 半物理仿真平臺采集機器人足底的支撐力R，實驗中機器人同樣采用雙足四足步態行走。在實驗過程中使用拉力傳感器在機器人質心的正上方平行于機體方向對機器人緩慢施加拉力F(施力點與質心的高度保持不變)，測量機器人足底支撐力的變化，當足底支撐力R=0 時，說明機器人處于臨界穩定狀態，此時拉力傳感器測量的拉力即為極限的擾動力，其值可以間接表征穩定程度：極限擾動力越大，表明機器人抵抗擾動的能力越強，也就是機器人越穩定。根據上述實驗原理，對機器人進行穩定性實驗，針對3 種典型的行走坡度：(0°，15°和20°)，質心高度從70 mm 到230 mm 每隔20 mm 測量1 次。實驗獲得的不同質心高度下的極限擾動力曲線與仿真得到的SNESM曲線對比如圖6 所示。分析圖6 中的實驗曲線可知：隨著質心的高度的增加，機器人的運動穩定性變差。當斜面傾角為0°時，機器人相對于上下坡向穩定性相同，因此極限擾動力曲線重合，實驗和仿真獲得的曲線近似一致；當斜面傾角不為0°，且質心高度小于某一臨界值時，機器人相對于下坡向傾翻的穩定裕度大于上坡向傾翻的穩定裕量，質心的高度超過該臨界值時相對于上坡向的傾翻的穩定裕量會大于下坡向的穩定裕量，2 種不同坡度的臨界質心高度值分別為160 mm 和220 mm，與數值分析獲取的157 mm 略有不同。偏差的出現主要是實驗中存在的一些誤差造成的，但是整體趨勢是一致的，驗證了臨界質心高度的存在。對比6(a)，6(b)和6(c)可以看出：機器人在0°，15°和20°斜坡上的最大極限擾動力分別為75，70 和50 N，可知隨著站立面傾斜角度的增加，機器人的穩定性是逐漸降低的，與數值分析獲得結果相同。圖6 中樣機實驗結果與MATLAB 仿真結果的特性基本吻合，從而驗證了本文提出的穩定性判定方法的正確性。

5 結論

1) 為了準確評價仿蟹機器人的運動穩定性，通過對圓弧式足端結構的八足機器人整體運動學分析，應用規范化能量穩定裕度判據，提出了八足機器人在各種復雜環境下靜態穩定的數學描述方法。

2) 針對八足生物常采用的雙四足步態行走方式下的機器人穩定裕度進行了分析研究，得出了靜態穩定裕度與機器人站立面傾角、機體高度的函數關系，并證明了臨界質心高度的存在。

圖6 不同質心高度極限擾動力與SNESM 曲線Fig.6 Limit disturbance force and SNESM curve of different centroid heights

3) 八足機器人靜態穩定裕度數學計算方法簡單、有效，能夠準確判定仿蟹機器人運動過程中穩定性及穩定裕量變化。該穩定性判定方法為研究多足仿生機器人在復雜地貌環境下的行走方式以及失穩狀態下的姿態恢復技巧提供了依據。

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