基于體系可靠度的鋼桁梁結構優化設計

劉揚，魯乃唯，殷新鋒

(1. 長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙，410114；2. 長沙理工大學 橋梁工程湖南省高校重點試驗室，湖南 長沙，410114)

鋼桁梁結構一般由主桁架、聯結系和橋面系主成。主桁架是主要承重結構，它由上、下弦桿和腹桿組成[1]。對于鋼桁梁這類具有高次超靜定的復雜結構的優化設計，設計變量與結構受力響應已不存在簡單的顯式關系，這使得此類結構的約束優化分析較為困難。文獻[2]建立了橋梁主桁架的撓度、彎曲應力與結構尺寸的函數表達式，采用響應面法對橋梁主桁架結構進行了優化設計，并對優化結果進行了有限元分析和驗證。文獻[3]提出了將BP 神經網絡和遺傳算法相結合用于結構優化設計的方法。考慮構件制作誤差和荷載的變異性等隨機因素時，確定性的優化設計并不能保證其可靠性[4]，加之鋼桁梁桿件較多，難以把握整體安全性[5]。事實上，把結構可靠度引入到工程結構優化設計數學模型中，考慮多個失效模式及失效路徑，基于體系可靠性對鋼桁梁結構進行優化設計，即能達到優化目的，又可保證結構體系的安全性。文獻[6]建立了半剛性連接框架的拓撲模型，并結合遺傳算法進行了基于體系可靠度的結構優化設計，認為不考慮可靠度的優化設計結構存在安全隱患。文獻[7]建立了具有體系可靠性約束的隨機桁架結構優化設計數學模型，提出了一種通過可靠度分配和再分配的方法，解決了基于體系可靠性優化中可靠性求解的問題。文獻[8]采用隨機有限元法計算結構系統的響應量，通過對主要失效模式方程線性化研究，計算失效模式安全余量之間的相關系數，采用概率網絡估算技術計算出結構系統的失效概率。上述學者對結構體系可靠性優化概念和方法作了一定的研究，但是針對鋼桁梁這類具有明顯失效歷程的結構，尚無全面而深入的體系可靠性優化分析。本文作者從體系可靠度的角度出發，建立鋼桁梁結構體系可靠性優化的數學模型，提出基于遺傳算法和神經網絡的結構體系可靠性優化方法。最后應用于某懸索橋鋼桁梁結構體系可靠性優化設計中，通過兩種優化方案進行分析。

1 鋼桁梁結構體系可靠性優化的數學模型

1.1 體系可靠性優化的數學模型

工程結構優化設計一般以結構質量為目標函數，以應力或位移為約束函數[9]。針對鋼桁梁結構的體系可靠性優化設計，選取桁架質量為目標函數，以體系可靠指標為約束函數，其數學模型可表示為

式中：X 為設計變量；Wn為第n 個構件的質量；W 為結構總質量；g(X)為約束函數；βs和βo分別為結構體系可靠指標和目標體系可靠指標；Xu和Xl分別為設計變量上下限。

通過引入罰函數的方式，采用遺傳算法可求解此類約束優化問題。為了使罰函數簡單而又達到約束的目的，采用如下所示罰函數：

式中：p(x)為結構種群個體與約束產生的違反量；βc體系可靠指標的目標約束值；a 和b 為懲罰參數，并由試算得出；懲罰值m 隨著迭代次數的增加而減小；Ngen為當前迭代次數；Nmaxgen為最大迭代次數。

1.2 鋼桁梁結構的失效模式

根據鋼桁梁結構失效特點[10]，選取縱梁、橫梁彎曲失效E1、受壓腹桿屈曲失效E2和受拉腹桿拉應力失效E3這3 種失效模式為該類結構的主要失效模式，它們的表達式分別為

根據體系失效特點，Ei包含的相繼失效狀態表示為 Ei1， Ei2,…， Eik。其中， Eik表示第i 個失效模式的第k 個失效狀態，Es表示結構體系失效，則Ei和Es可表示為

由式(4)可知：單個失效模式是由各失效狀態并聯而成，而體系失效是由各失效模式串聯而成。根據PNET(概率網絡估算技術)[11]的要求，考慮失模式間的相關性，在構建失效樹時應盡可能地將相關性高的失效狀態歸為一類，并選擇最易失效的失效狀態作為代表。不同失效模式及不同荷載工況間的相關系數較低，因此采用β約界法篩選每層相關性較低的失效狀態，將其表示為失效樹的形式，如圖1 所示。

圖1 鋼桁梁結構的失效樹Fig.1 Failure tree for steel truss beam

2 鋼桁梁結構體系可靠性優化設計方法

2.1 基于遺傳算法的體系可靠性優化設計方法

針對鋼桁梁的體系可靠性優化設計，只要將優化設計模型與體系可靠度數學模型聯系起來，就可以實現其體系可靠性優化設計。將優化設計的數學模型以遺傳算法的形式作為主程序，體系可靠度的數學模型以罰函數方形式作為子程序，這樣實現了以體系可靠度為約束函數的優化設計，該方法的流程如圖2 所示。

圖2 結構體系可靠性優化設計流程圖Fig.2 Flow chart for optimization design of structural system reliability

遺傳算法的步驟有編碼、產生初始群體、計算適應度、選擇、交叉、變異等基本操作[12]。針對鋼桁梁結構的多維、高精度的連續函數優化問題，各步驟的參數選取如下：

選擇浮點編碼為編碼方式；按式(5)所示的隨機方法進行種群初始化；以造價或質量為適應度函數；選用輪盤賭選擇方法、多點交叉方法和變異等生成新個體的方法。

式中：Rand 表示隨機產生(0,1)范圍內的隨機數。

體系可靠度計算方法采用RBF-MC(RBF 神經網絡和Monte Carlo 抽樣技術聯合算法)。

2.2 基于RBF-MC 方法的鋼桁梁結構體系可靠性分析方法

鋼桁梁結構功能函數(如式(3)所示)是具有高次非線性的隱式功能函數，要找出所有的失效模式，并用傳統的FOSM(一次二階矩法)或MCM(蒙特卡羅法)實現其可靠度求解極其困難[13]。事實上，采用神經網絡和有限元方法可以映射出隨機變量與單元應力和節點位移關系，然后用MCM 對相應的神經網絡抽樣分析，可以求解且具有高次非線性的隱式功能函數的失效概率，然后由β約界法和PNET 方法得出結構失效樹，就可以實現體系可靠度的求解。

考慮到結構體系可靠性求解時，結構體系逐漸變化，按照β約界法的要求僅有少數主要失效模式，因此只需構建主要失效的神經網絡。神經網絡訓練完成且滿足精度要求后輸出，在遺傳算法主程序中被調用，因此神經訓練過程并不參與遺傳算法的循環過程，這也大大減小了計算時間。該方法的流程如圖3 所示。

圖3 RBF-MC 方法計算體系可靠度的流程圖Fig.3 Flow chart for calculating system reliability with RBF-MC method

構建神經網絡的目的是為了精確映射出結構各個隱式功能函數，即各隨機變量與有限元分析結果(應力、位移等)之間的關系。為了保證神經網絡能夠滿足計算精度要求，下面從樣點選取和神經網絡選取方面尋求更高效的神經網絡構建方法。

選取足夠多的神經網絡樣本點數據才能保證其擬合精度，但考慮到實際工程應用的要求，樣本點應盡量少。UD(均勻設計)[14]與正交設計相比，有更好的均勻性，且同樣試驗次數可安排較多的水平數，因此本文采用DPS(數據處理系統)[15]的均勻試驗設計功能，通過多次迭代實現具有多因素和更多水平數的均勻試驗設計方案。

選取逼近能力、分類能力、泛化能力和學習速度等方面均優于BP 神經網絡的RBF 神經網絡[16]，其核函數為高斯函數：

式中：cj和σj分別為RBF 網絡數據中的均值和標準差；T 為求范數的轉置矩陣。

如式(6)所示的神經元將依據其輸入距離高斯函數中心點的遠近來決定它的興奮程度。RBF 神經網絡可以根據精度要求逐步增加神經元數量，但為了提高RBF 網絡的泛化能力，避免陷入局部最優，要選取合適的梯度步長和精度要求。

實際工程結構一般存在大量的失效模式，通過β約界法可以尋找各個主要失效模式。再將各失效模式通過一定的串并聯關系，可以求解體系可靠度。神經網絡訓練完成后，在遺傳算法的主程序中調用該網絡，計算體系可靠度。

采用遺傳算法搜索驗算點[17]，然后在驗算點處采用重要抽樣蒙特卡羅方法得到失效概率為：

式中：I[g(X)]為示性函數；fx(vi)為驗算點處抽樣值vi在原分布函數處的概率密度；pV(vi)為vi的重要抽樣概率密度，一般采用正態分布函數值。為保證計算結果的可靠性，若βo為目標可靠指標，則樣本點數量N 應滿足以下關系[18]：

采用文獻[19]提出的修正β約界法，則候選失效單元應滿足以下要求：

式中：βi為各桿件的可靠指標；βmin為所有βi的最小值；Δβ在第一層次的失效單元選取時取3，以后取1。

3 某懸索橋鋼桁梁結構的體系可靠性優化分析

3.1 工程概況

某懸索橋的桁架式主梁結構如圖4 所示。每個標準梁段長14.5 m，梁高7.5 m，橋面寬27 m。橋面為雙向四車道，公路-I 級荷載。主梁材料為Q345 鋼材，彈性模量E=206 GPa，容重ρ=7.85×103kg/m3。主橫桁架的上、下橫梁和縱梁為箱形截面(見圖4(d))，腹桿為工字形截面(見圖4(e))，按照構造要求需滿足h2=w1，各桿件的截面初始參數為：w1=640 mm，h1=802 mm，w2=340 mm。

圖4 鋼桁梁結構圖示意圖Fig.4 Diagram of steel truss beam structure

3.2 鋼桁梁設計結構的體系可靠性分析

采用通用有限元軟件ANSYS 建立了3 個標準梁段的簡化有限元模型(如圖5 所示)。上弦桿、下弦桿上橫梁和下橫梁均為BEAM189 梁單元，斜腹桿和豎腹桿為LINK8 桿單元，在吊索位置施加簡支約束。

各桿件編號和失效位置如圖6 所示。

圖5 3 個標準梁段的鋼桁梁有限元模型Fig.5 Finite element model for steel truss beam with three standard segments

圖6 桿件編號和失效位置圖Fig.6 Bar code and failure locations

荷載工況為：自重+集中力。其中，集中力按車輛重力標準值取550 kN[20]，數量為4 個，橫向間距為3.375 m。集中力按影響線加載，按圖4(b)所示位置，取以下3 個工況：

工況1：考慮壓桿H2、拉桿H4和橫梁L1的失效，集中力加載位置為1，2，3 和4 號點。

工況2：考慮壓桿H6的失效，集中力加載位置為3，4，5 和6 號點。

工況3：考慮橫梁L2的失效，加載位置為3，4和5 號點。

由設計結構的內力分析可知：H1和H7的內力較小，可忽略其失效特性。H2和H4同為拉應力且荷載布置相同，取拉應力較大的H4桿件為代表。H3和H5同為壓應力且荷載布置相同，取壓應力較大的H4桿件為代表。按照以上3 個荷載工況與自重作用效應，鋼桁梁的靜力計算結果如表1 所示。

表1 鋼桁梁結構靜力計算結果Table 1 Static calculation results for steel truss beam structure

選取縱梁、橫梁彎曲失效E1、受壓腹桿屈曲失效E2和受拉腹桿拉應力失效E3這3 種失效模式。功能函數如式(3)所示，其中i=2，j=2，k=1，即彎曲失效桿件為L1和L2，屈曲失效桿件為H3和H6，拉應力失效桿件為H4。

選取橫梁截面高度h1、寬度w1、腹桿截面高度h2和集中力F 為隨機變量。其中h1，w1和h2服從正態分布，均值為設計變量值，變異系數ξ1=0.05；F 服從極值I 型分布，均值為550 kN，變異系數為ξ2=0.08[21]。

考慮鋼桁梁的失效歷程，當縱梁和橫梁發生彎曲失效時，在失效位置增加塑性鉸；當腹桿發生屈曲失效或拉應力失效時，刪除該失效單元。在每次失效狀態出現后，重新構建神經網絡，繼續加載分析，直至結構為變機動結構或出現過大變形。由此構建的失效樹如圖7 所示。

圖7 鋼桁梁結構失效樹Fig.7 Failure tree for steel truss beam structure

由圖7 可以看出：設計結構的最初失效狀態表現為H3和H6桿件的屈曲失效，最終失效狀態表現為L1和L2桿件彎曲失效后在跨中位置形成塑性鉸，而出現不適宜加載的過大變形。其中L1出現塑性較后位移為11.2 cm，L2出現塑性鉸后位移為12.4 cm。采用RBF-MC 方法可得出該結構的體系可靠指標βs=5.49。

3.3 優化參數與結果分析

考慮2 種獨立的優化方案：

方案1 是在保證結構體系可靠度情況下優化結構質量，即以標準梁段鋼桁梁的質量W 為目標函數，以原結構體系可靠指標βs=5.49 為約束函數；

方案2 是在保證結構質量不變的情況下，優化結構的體系可靠度，即以W 為約束函數，以βs為目標 函數。

由于h2=w1，因此設計變量有3 個，分別為橫梁截面高度h1、寬度w1和腹桿截面寬度w2。暫取設計變量范圍為自身值的一半：h1∈(320,960)，w1∈(410,1 203)，w2∈(170,510)。

根據均勻設計、有限元模型和RBF 神經網絡結構要求，本文選用的RBF 神經網絡參數如表2 所示。

表2 RBF 神經網絡參數Table 2 Parameter for RBF neural network

按照圖3 所示流程圖中神經網絡構建流程，首先在設計變量范圍內生成U200(2004)的均勻設計樣本，然后采用MATLAB 調用ANSYS 以后臺方式運行計算出各個樣本值對應的g(X)，最后采用MATLAB 的RBF工具箱構建神經網絡，測試網絡精度數據如圖8 所示。

由圖8 可以看出：本次訓練的神經網絡泛化能力較好，滿足精度滿足要求。該神經網絡在遺傳算法主程序中被調用，遺傳算法的參數如表3 所示。

遺傳算法是以目標函數的最大值為搜索目標，因此將2 個方案的適應數函數分別選為

圖8 神經網絡預測值與實際值對比Fig.8 Comparison of predicted and actual value of neural network

表3 遺傳算法參數Table 3 Parameters for genetic algorithm

在MATLAB 平臺采用GA 工具箱進行優化分析，優化過程如圖9 所示。

由圖9 可以看出：2 種方案分別在第20 代和第40代種群的適應度已經穩定并達到收斂，表明優化過程穩定，優化結果可靠。

2 種優化方案的優化結果與原設計方案的對比如表4 所示。

由表4 可知：方案1 優化后，縱、橫梁截面面積大幅減小，而腹桿截面面積小幅增加，致使鋼桁梁重量減小11.9%，而體系可靠指標基本無變化；方案2優化后，縱、橫梁截面尺寸小幅減小，而腹桿截面寬度大幅增加，致使縱、橫梁截面面積小幅減小，而腹桿截面面積大幅增加，達到了體系可靠指標有所提升而鋼桁梁質量基本不變的目的。

圖9 2 種方案的遺傳算法優化過程Fig.9 Iteration process for genetic algorithm of two schemes

表4 鋼桁梁桿件截面優化結果Table 4 Optimum result for steel truss beam section

4 結論

1) 體系可靠性優化考慮了結構的失效過程，適合鋼桁梁這類具有明顯失效歷程的結構可靠性優化分析。

2) 采用神經網絡方法求解具有隱式功能函數復雜結構的體系可靠度，然后將體系可靠度通過罰函數的方式引入到個體適應度計算中，通過遺傳算法可實現鋼桁梁結構體系可靠性優化。

3) 懸索橋鋼桁梁結構的最初失效狀態表現為腹桿的壓應力屈曲失效，最終失效狀態表現為縱梁和橫梁跨中的彎曲失效。

4)2 種方案的優化結果都表現為縱、橫梁截面面積的減小和腹桿截面面積的增加，這表明設計鋼桁梁結構的縱、橫梁的抗彎剛度較大，而腹桿屈曲強度儲備稍不足。

[1] 何旭輝, 余志武, 陳政清. 既有鐵路鋼桁梁橋基準有限元模型建立與驗證[J]. 振動與沖擊,2007,26(12)：117-121.HE Xuhui, YU Zhiwu, CHEN Zhengqing. Establishment and verification of the baseline 3d finite-element model of existing rail way steel truss bridge [J]. Journal of Vibration and Shock,2007,26(12)：117-121.

[2] 楊書儀, 劉德順, 文澤軍. 基于響應面法的橋梁主桁架結構優化設計[J]. 機械設計,2007,24(6)：14-16.YANG Shuyi, LIU Deshun,WEN Zejun. Structural optimization design of Bridge main truss based on response surface method[J].Journal of Machine Design,2007,24(6)：14-16.

[3] 郭海丁, 路志鋒. 基于BP 神經網絡和遺傳算法的結構優化設計[J]. 航空動力學報,2003,18(2)：216-220.GUO Haiding, LU Zhifeng. Structure design optimization based on BP-neural networks and genetic algorithms [J]. Journal of Aerospace Power,2003,18(2)：216-220.

[4] 黃小鋒, 王榮輝. 鋼桁梁制造和拼裝誤差對桁架內力的影響分析[J]. 科學技術與工程,2012,12(9)：4833-4838.HUANG Xiaofeng,WANG Ronghui.The analysis about internal force by the effect of error by steel truss girders’manufacturing and assembly [J]. Science Technology and Engineering, 2012,12(9)：4833-4838.

[5] 韓衍群, 葉梅新. 連續鋼桁結合梁橋橋面系受力狀態及與橋面系剛度的關系[J]. 中南大學學報(自然科學版),2008,39(2)：387-393.HANG Yanqun, YE Meixin. Relationship between load bearing and stiffness of floor system in continuous truss composite bridge [J]. Journal of Central South University (Science and Technology),2008,39(2)：387-393.

[6] 何嘉年. 基于體系可靠度的半剛性鋼框架結構優化設計研究[D]. 汕頭： 汕頭大學工學院,2010：97-113.HE Jianian. Study on optimal design of semi-rigid steel frame based on system reliability [D]. Shantou： Shantou University.College of Engineering,2010：97-113.

[7] 馬洪波, 陳建軍, 馬孝松, 等. 基于體系可靠性的隨機桁架結構優化設計[J]. 西安電子科技大學學報(自然科學版),2005,32(4)：93-598.MA Hongpo, CHEN Jianjun, MA Xiaoshong, et al. Structural optimization design of random truss structures based on system reliability [J]. Journal of Xidian University (Science and Technology),2005,32(4)：93-598.

[8] 李海波, 劉宗民, 楊洪瀾. 多隨機變量的桁架結構系統的可靠性分析及優化設計[J]. 強度與環境,2002,29(2)：57-64.LI Haibo, LIU Zhongmin, YANG Honglan. Reliability analysis and optimization design for truss structural systems with multiple random variables [J]. Structure & Environment Engineering,2002,29(2)：57-64.

[9] Lamberti L. An efficient simulated annealing algorithm for design optimization of truss structures [J]. Computers &Structures,2008,86(19/20)：1936-1953.

[10] 黃永輝, 王榮輝, 饒瑞. 考慮整體節點剛域影響的鋼桁梁橋空間受力計算分析[J]. 中國鐵道科學,2012,33(5)：8-14.HUANG Yonghui, WANG Ronghui, RAO Rui. The calculation and analysis of the spatial mechanical behavior for steel truss bridge considering the effect of integral joint rigid zone [J].China Railway Science,2012,33(5)：8-14.

[11] Thoft-Christensen P, Sorensen J D. Reliability of structural systems with correlated elements [J]. Applied Mathematical Modeling,1982,6：171-178.

[12] 孫仁范, 牟在根, 顏謀, 等. 遺傳算法在桁架結構優化設計中的應用[J]. 建筑結構學報,2004,25(3)：75-79.SUN Renfan, MOU Zaigen, YAN Mou, et al. Application of genetic algorithms in optimums design of truss structures [J].Journal of Building Structures, 2004,25(3)：75-79.

[13] 趙國藩. 結構可靠度理論[M]. 北京： 中國建筑工業出版社,2000：12-34.ZHAO Guofan. Structural reliability theory [M]. Beijing：China Building Industry Press,2000：12-34.

[14] 方開泰. 均勻試驗設計的理論、方法和應用： 歷史回顧[J]. 數理統計與管理,2004,23(3)：69-80.FANG Kaitai. The theory, method and application of uniform design： Historical review [J]. Application of Statistics and Management,2004,23(3)：69-80.

[15] Tang Q Y, Zhang C X. Data processing system (DPS) software with experimental design, statistical analysis and data mining developed for use in entomological research [J]. Insect Science,2013,20(2)：254-260.

[16] 朱勁松, 肖汝成, 何立志. 大跨度斜拉橋智能可靠度評估方法研究[J]. 土木工程學報,2007,40(5)：41-48.ZHU Jinsong, XIAO Rucheng, HE Lizhi. Reliability assessment of large-span cable-stayed bridges based on artificial intelligence[J].China Civil Engineering Journal,2007,40(5)：41-48.

[17] 張建仁, 劉揚. 遺傳算法和人工神經網絡在斜拉橋可靠度分析中的應用[J]. 土木工程學報,2001,34(1)：7-13.ZHANG Jianren, LIU Yang. Application of genetic algorithm and artificial neural network in the reliability analysis of cable-stayed bridge [J]. China Civil Engineering Journal, 2001,34(1)：7-13.

[18] 張明. 結構可靠度分析方法與程序[M]. 北京： 科學出版社,2009：148-153.ZHANG Ming. Structural reliability analysis method and program[M].Beijing：Science Press,2009：148-153.

[19] 董聰. 現代結構系統可靠性理論及其應用[M]. 北京： 科學出版社,2001：119-133.DONG Chong. Modern structural system reliability theory and its application[M].Beijing：Science Press,2001：119-133.

[20] JTG B01—2003. 公路工程技術標準[S].JTG B01—2003.Technical standard of highway engineering[S].

[21] 李揚海, 鮑衛剛, 郭修武, 等. 公路橋梁結構可靠度與概率極限狀態設計[M]. 北京： 人民交通出版社,1997：203-209.LI Yanghai, BAO Weigang, GUO Xiuwu, et al. Structural reliability and probabilistic limit state design of highway bridge[M].Beijing：China Communication Press,1997：203-209.